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微积分下册第二章(多元函数微分学),多元函数的概念、极限与连续,教学要求：,1.理解多元函数的概念;,2.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.,2.1.1n维空间点集的有关概念(讲解教材45页定义2.1-2.4),2.区域,例如，,即为开集,连通的开集称为开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,3.聚点,(1)内点一定是聚点；,注意:,(2)边界点可能是聚点；,(0,0)既是边界点也是聚点.,(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,(0,0)是聚点但不属于集合.,边界上的点都是聚点也都属于集合,1.二元函数的定义,2.二元函数的定义域,(1)使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集.,(2)使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集.,(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.,(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则.,Solution.,所求定义域为,注意:平面区域通常用字母D表示.,Solution.,故所求定义域为,Solution.,Solution.,3.二元函数的几何意义,一般曲面,如图,4.多元函数的定义,一个自变量.,两个自变量.,三个自变量.,n个自变量.,n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.,注意.,(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如,在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.,(2)多元函数也有分段函数，如,(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.,5.函数有加减乘除数乘及复合运算(略),1.二元函数的极限,描述性定义,精确定义,利用点函数给出的定义,2.二元函数极限的计算,计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型.,Proof.,原结论成立,Proof.,原结论成立,Solution.,由夹逼准则得，,Solution.,3.确定极限不存在的方法,在(0,0)处时,一般选择下列极限方式：,Solution.,其值随着k的不同而改变.,故所求极限不存在.,4.多元函数的极限,利用点函数的形式有n元函数的极限,1.连续性定义,2.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,(1)最大值和最小值定理,(2)介值定理,(3)多元连续函数的和、差、积、商、复合函数仍为连续函数.,(4)多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.,(5)一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,(6),Solution.,Solutio
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