北京高三数学一模分类汇编10 复数推理与证明 理

2012北京市高三一模数学理分类汇编10：复数，推理与证明【2012北京市海淀区一模理】（9）复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数= . 【答案】【2012北京市房山区一模理】9.是虚数单位，则_. 【答案】【2012年北京市西城区高三一模理】8已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】本题可转化为二进制，集合中的二进制数为，因为，所以最大的二进制数为1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，则，8到15之间的所有整数都有集合中的数，所以所有元素之和为，选C.【2012北京市丰台区一模理】14定义在区间a，b上的连结函数，如果，使得，则称为区间a，b上的“中值点”。下列函数：；中，在区间0，1上“中值点”多于一个函数序号为 。（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】【2012北京市海淀区一模理】（14）已知函数则（）= ；（）给出下列三个命题：函数是偶函数；存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 【答案】 【2012北京市门头沟区一模理】9复数为纯虚数，则 【答案】1【2012北京市东城区一模理】（1）若，是虚数单位，且，则的值为 （A） （B） （C） （D）【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】1. 复数A. B. C. D. 【答案】A【2012北京市石景山区一模理】2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B 第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】，所以对应点在第四象限，答案选D.【2012北京市石景山区一模理】14集合 现给出下列函数：， 若 时，恒有则所有满足条件的函数的编号是 【答案】【解析】由可知,画出相应的图象可知，满足条件。【2012北京市朝阳区一模理】20（本小题满分13分） 已知各项均为非负整数的数列 ，满足，若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列设， （）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （）若数列，经过有限次变换，可变为数列设，求证，其中表示不超过的最大整数【答案】解：（）若，则； ； ； 若，则 ； ； ； 4分（）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：易知和是互逆变换 5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ，则必有（若，则还可作变换）反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为所以，同理令，则，所以，因为，故由归纳假设，有，再由与互逆，有，所以，从而唯一性得证 9分（）显然，这是由于若对某个，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，所以为整数，于是，所以为除以后所得的余数，即13分【2012年北京市西城区高三一模理】20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束【答案】（）解：数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束，各数列依次为； 3分（）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束 5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”当时，数列由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列其它情形同理，得证在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是（）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕 9分现将数列分为两类第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为，第二项最大()（其它情形同理） 当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为，为第一类数列 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数