变量替换法巧解数学三角题_第1页
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文档简介

变量替换法 巧解数学三角题在三角函数问题中，通过引人变量进行替换，把问题转化成对新变量的讨论。这种替换可以架起已知通向未知的桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程。替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果。一、代数替换通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的。例1求cos36-cos72的值。解：设x=cos36，y=cos72，由得，又，则。因为，所以x+y0所以，即。例2已知a0，求y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。解：，设sinx+cosx=t，则且，代入已知式得：。（1）若，则当t=-a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为。（2）若，则当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为。二、整体替换用整体替换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。例3已知，求cosx+cosy的变化范围。解：设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：，（1）。（2）（1）+（2）得：，即，因为，所以，解得。所以。三、引入参数通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论。例5已知，其中，求tan。解：设，则，解得：。若，则，不合题意，舍去。若，则，故。例6求函数的最大值与最小值。解：设，cosx=s-t，由，得，因为，所以。于是有，因为，所以。所以函数y的最大值为，最小值为。四、降次换元如果所求问题的条件或结论中的各项次数较高，可用“代换法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。例7已知，求证：证明：设，则已知条件式化为，化简即得：ab=c。所以。例8已知，求证：。证明：设，则由得：，即，化简得：，即a=b，所以有。故。五、三角替换对于有些三角问题，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别致，解题过程简捷巧妙。例9求函数的值域。解：由题意知：，即。设，其中，则。当时，因为，所以，即。当时，因为，所以，即。综上述，所求函数的值域为。例10锐角、满足条件，求证。证明：由已知可设：，则，（1），（2）（1）+（2）得：，所以，所以，因为、为锐角，所以，所以，即有。例11已知，求证：。证明：由已知可设：，则，（1），（2）（
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