吉林吉林大学附属中学高三数学第八次模拟考试理

吉林省吉林大学附属中学2017届高三数学第八次模拟考试试题 理（含解析）第卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D. 【答案】D本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】令,解得故3. 已知是上的奇函数，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数f(x)是奇函数，若x1+x2=0，则x1=x2，则f(x1)=f(x2)=f(x2)，即f(x1)+f(x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时，满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0，但x1+x2=40，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件，本题选择A选项.4. 在等比数列中，已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，解得：.本题选择B选项.5. 若,则直线必不经过A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sin0，直线过(0,sin)，(cos,0)两点，因而直线不过第二象限。本题选择B选项.6. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】阅读流程图，程序运行如下：首先初始化： ，进入循环结构：第一次循环： ，此时满足 ，执行 ;第二次循环： ，此时满足 ，执行 ;第三次循环： ，此时满足 ，执行 ;第四次循环： ，此时不满足 ，跳出循环，输出结果为： ，由题意可得： .本题选择C选项.7. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则rA. B. C. D. 【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为： ，又该几何体的表面积为16+20， ，解得r=2，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法8. 某游戏中一个珠子从的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下,从最下面的六个出口(如图所示1、2、3、4、5、6)出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为 A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A到3总共有种走法，每一种走法的概率都是12，珠子从出口3出来是.本题选择A选项.9. 设是平面上的两个单位向量，.若则的最小值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】，是平面上的两个单位向量，则的最小值为，故选C.点睛：本题考查了向量的模，数量积表示两个向量的夹角及向量模的最小值的求法，属于基础题；在求向量的模长时，最常用的方法就是对其进行平方，将其转化为向量的数量积，在该题中的最小值，即求其平方的最小值，其平方后变成关于的二次函数，利用二次函数的最值求法即可求.10. 0已知实数满足不等式组若直线把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】作出不等式组对应平面区如图(三角形ABC部分),A(0,1),B(1,1)，直线y=k(x+1)过定点C(1,0)，C点在平面区域ABC内，点A到直线y=k(x+1)的距离，点B到直线y=k(x+1)的距离，直线y=k(x+1)把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为1:2，解得 .本题选择A选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为为的中点，为坐标原点，则等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得 ，双曲线方程为，左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是MF1F2的中位线，ONMF1，由双曲线的定义知，MF2MF1=25，MF1=8.ON=4.本题选择D选项.12. 不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a(定值），则三棱锥ABCD的体积A. 随着A点的变化而变化 B. 随着由B点的变化而变化C. 有最大值，无最小值 D. 为定值【答案】D【解析】因为三条平行线是固定的，所以B到CD的距离是定值，所以三角形BCD的面积是定值，A到三角形BCD的距离也是定值，所以三棱锥ABCD的体积=定值.本题选择D选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13. 椭圆的短轴长为，则_【答案】2【解析】试题分析：由题意得考点：椭圆方程几何性质14. 有9个外表看上去一样的小球,其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_次可以确保把轻球挑出来【答案】2【解析】很明显一次无法完成任务.把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：若天平平衡，则轻球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则轻球就是第三个，若不平衡，轻的一边就是轻球；若天平不平衡，则轻球在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是轻球，若不平衡，轻的一边就是轻球；故答案为：215. 由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_.【答案】1，1，3，3.【解析】由题意知：x2+x3=4，x1+x4=4，容易得答案.考点：本题考查平均数与中位数及标准差的求解.16. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab).若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出：EF，利用以上结论，推想出下面问题的结果在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0_（利用m，n，S1，S2表示）【答案】.【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质；故由：“”，类比到关于OEF的面积S0与S1,S2的结论是：.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知的内角的对边分别为，（）若，求；（）若，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：(1)由正弦定理边化角可得；(2)由题意结合余弦定理可得.试题解析：（）由正弦定理得，于是或（舍去）.因为， 所以. （）由题意及余弦定理可知，由得，即， 联立解得.所以. 18. 为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.()求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；()用表示某位嘉宾抽奖的次数，求的分布列和期望【答案】（）3；（）分布列见解析，期望为【解析】试题分析：(1)利用题意结合对立事件公式可得；(2)利用题意可得的取值为，写出分布列，结合分布列可得期望为试题解析：（）设印有“美丽长春”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽长春”标志的概率是P()，由对立事件的概率：P(A)1P().即P()，解得n3. （）由已知，两种球各三个，可能取值分别为1，2，3， P(1)，P(2)，P(3)1P(1)P(2). 则的分布列为123P所以E()123. 点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1检验分布列的正误. 19. 如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.()设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；()证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，利用题意结合平面的法向量和直线的方向向量可得FG平面BOE；(2)设出点的坐标，利用空间直角坐标系可得点M到OA，OB的距离为.试题解析：（）如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3).由题意，得G(0，4，0)因为(8，0，0)，(0，4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n(0，3，4). 由(4，4，3)，得n0，即n.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE. （）设点M的坐标为(x0，y0，0)，则(x04，y0，3).所FM平面BOE，所以n.因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0). 在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组 20. （本小题满分12分）如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x01时，切线MA的斜率为.()求p的值；()当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).【答案】（）2;（）.【解析】解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为.故切线MA的方程为y=- (x+1)+.因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=- (2-)+=-, y0=-=-. 由得p=2.(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线段AB中点知x=, y=. 切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+, y=(x-x2)+. 由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-. 由得x2=y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.21. 已知函数,.（）请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；（）判断的图像是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；（）求证：【答案】（1）4035;（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意结合函数的周期性可得方程在区间上的根的个数为4035；(2)函数的对称轴为，由即可验证结论；(3)利用题意对数列进行求和可得 .试题解析：（）因为对于恒成. 所以与具有相同的根 有的周期为2所以内有个根，又对称性知道内有2017个根，所以在上具有个根. （） 具有对称性，猜想的对称轴是，下面进行验证： 猜想成立。所以存在对称轴. (3) 所以 请考生在第22