内弹道学第三章 内弹道方程组的解法.ppt

内弹道学,第三章内弹道方程组的解法,1,膛内结构:口径d、炮膛横断面面积S、药室容积W0和弹丸全行程长lg等装填条件:弹丸重量q、装药量、火药力f、火药气体的余容、燃烧速度系数u1、火药密度、火药的形状特征量(、)等,内弹道解法：为了研究膛内的压力变化规律和弹丸速度变化规律，首先我们就必须列出能够体现瞠内主要矛盾的方程，从而组成所谓内弹道方程组，这样的方程组也就能够反映出各种矛盾的互相依存和互相制约的关系。如果再用一定的数学方法，将这样的方程组解出P-l、v-l、P-t及v-t的弹道曲线，那么这样的弹道曲线实际上也就是所谓压力变化规律和速度变化规律的具体表现。这样的一个过程，我们就称为内弹道解法。,2,分析解法：从弹道方程组利用数学解析的方法，直接或者间接解出P=P(l)、v=v(l)、P=P(t)和v=v(t)的函数关系。表解法：在一定的条件下预先将弹道解编成数值表，应用时只需要经过简单的运算和查表就可以求得弹道解。计算机解法：通过计算机编程求弹道解。,3,3.1内弹道方程组,基本假设：,1火药的燃烧服从几何燃烧定律；2不论是火药的燃烧还是弹丸运动都是在平均压力的条件下进行的；3火药的燃烧速度与压力成正比；4.无论是火药燃烧期间或燃烧结束之后，燃烧生成物的成分始终保持不变；5.用考虑各种功次要功；6.膛壁的热散失忽略不计;7.不计及弹带逐渐挤进膛线的过程，而假定弹带全部挤进膛线达到到挤进压力P0时弹丸才开始运动。,4,3.1内弹道方程组,根据以上假设，单一装药内弹道学方程组归纳如下：,（1）形状函数：（2）燃速方程：（3）弹丸运动方程：（4）内弹道基本方程：,弹丸速度与行程关系式：,（3.1）,式（3.1）即为内弹道方程组，方程组中共有P、v、l、t、和Z六个变量，有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。,5,3.2内弹道方程组的解法,在上一篇讲述射击过程时，曾经根据射击现象的特点将射击过程划分为三个不同的阶段，即前期、第一时期和第二时期。在这三个不同阶段之间又是互相联结的，前期的最终条件就是第一时期的起始条件，而第一时期的最终条件又是第二时期的起始条件。因此，对于这三个阶段就应该根据各阶段的特点，按顺序地作出各阶段的解法。,一、前期的解法,根据假设7，弹丸是瞬时挤进膛线，并在压力达到挤进压力P0时才开始运动。所以这一时期的特点应该是定容燃烧时期，因此,6,3.2内弹道方程组的解法,在这一时期中，火药在药室容积W0中燃烧，压力则由PB升高到P0，与P0相应的前期结束的瞬间标志火药形状尺寸的诸元也将相应地为0、0及Z0。这些量既是这一时期的最终条件，又是第一时期的起始条件。所以，这一时期解法的目的，实际上就是根据已知的P0分别解出0、0及Z0这三个前期诸元。,首先根据定容的状态方程解出0：,忽略PB,7,3.2内弹道方程组的解法,求得了0后，应用1.7所给出的及Z的公式分别计算出0及Z0,求出了这三个诸元之后，即可以作为起始条件进行第一时期的弹道解。,二、第一时期的解法,第一时期是射击过程中最复杂的一个时期，它具有上面所建立的内弹道方程组所表达的各种射击现象。,8,3.2内弹道方程组的解法,内弹道方程组中共有P、v、l、t、和Z六个变量，其它各量都是已知常量，有五个独立的方程，如取其中一个变量为自变量，则其余五个变量作为自变量的函数，可以从上述方程组中解出，方程组是封闭的。在选择自变量时，我们应以自变量是否有已知的边界条件作为选择的主要标准。在第一时期的所有变量中，只有及Z这两个变量的边界条件是已知的，即从0到l，Z从Z0到l。从数学处理来讲，选择Z作为自变量比选择方便。因此，在现有的弹道解法中大多是采用Z作为自变量。不过在具体解方程组时。由于z的起始条件Z0同Z总是以Z-Z0的形式出现，所以令x=Z-Z0。则所解出的各变量都将以x的函数形式来表示。,9,3.2内弹道方程组的解法,1解速度的函数式,将燃速方程和弹丸运动方程联立消去Pdt,从起始条件v=0及Z=Z0积分到任一瞬间的v及Z,因x=Z-Z0，于是,该式表明，在一定装填条件下，弹丸速度与火药的已燃厚度成比例。,10,3.2内弹道方程组的解法,2解火药的已燃部分的函数式,将Z=x+Z0代入形状函数中导出,由于,并令，从而导出,11,3.2内弹道方程组的解法,3解弹丸行程的函数式,将弹丸运动方程和内弹道基本方程联立消去SP得,再将以上导出的及代入,则式中的右边仅表示为x的函数,12,3.2内弹道方程组的解法,令,B是各种装填条件组合起来的一个综合参量，我们称之为装填参量，它是无量纲的，但是它的变化对最大压力和燃烧结束位置都有显著的影响，因此它是一个重要的参量。,又令,则上式即简化成如下形式,13,3.2内弹道方程组的解法,式中,将上式对等号两边进行积分得,下面我们即分别导出这两个积分。首先导出右边的积分。对于这样的积分式，我们可以采用部分分式的积分方法。为此，我们将被积函数写成如下形式,14,3.2内弹道方程组的解法,并得到如下的等式,从这样的等式建立了以下的方程组,式中,15,3.2内弹道方程组的解法,于是就得到如下的积分,式中,16,3.2内弹道方程组的解法,最后求得,如令,而b又是的函数，所以式中的仅是参量和变量的函数。这是一个比较复杂的函数。为了计算方便起见，很有必要预先编好以及为头标的函数表,利用这样的表就可以直接查表得相应的值。我们再讨论左边的积分问题。,17,3.2内弹道方程组的解法,在左边的积分中，根据的公式可知,l是或x的函数，显然，除非我们将l当作某种常量来处理，否则积分是繁琐的。在第一章里，导出l公式时曾经指出，在一定的装填密度情况下，随着的变化，l只是在不大的范围内变化。这样，就使我们在进行以上积分时，完全可以将l当作如下的平均值来处理,式中,18,3.2内弹道方程组的解法,于是可得如下积分,从而求得以下弹丸行程函数,或,19,3.2内弹道方程组的解法,4压力函数式,从内弹道学基本方程可以得出,将前三式代入有,20,3.2内弹道方程组的解法,5最大压力Pm的确定,最大压力条件式,由内弹道方程可以导出最大压力的条件式,式中,21,3.2内弹道方程组的解法,代入上式即得,于是就解出,从上式可以看出，为了确定xm必须预先巳知Pm,可是Pm又正是所要求的值。因此,在这种情况下,我们就必须采用逐次逼近法。,22,3.2内弹道方程组的解法,首先估计一个Pm代入上式,求出xm的一次近似值，然后即以分别解出各相应的、以及各近似值，如果所解出的正好与所给定的Pm相同或很接近，即表明就代表了实际压力。如果不一致，我们还必须将求得的代入上式，求出xm的二次近似值，然后再重复整个计算过程，求出Pm的二次近似值,但通常只需要进行二次近似计算，就可以求出足够准确的Pm值。在正常情况下，按照上式计算出的xm值都应该小于xk=1-Z0。这就表示在火药燃烧结束之前出现最大压力。,23,3.2内弹道方程组的解法,6燃烧结束瞬间的各弹道诸元,由于燃烧结束点的各弹道诸元既是第一时期的最终条件，又是第二时期的起始条件，所以燃烧结束点的诸元是必须计算出来的。在火药燃烧结束瞬间的条件为,因此可列出、及各诸元的表达式为：,式中,24,3.2内弹道方程组的解法,三、第二时期的解法,在第二时期中，由于火药已经燃完，不再有火药燃烧的现象，因此这一时期的基本方程组为,在这个方程组中，有v、l及P三个变量。为了解出这些变量的函数关系，必须指定其中一个变量作为自变量。由于这一时期是从燃烧结束点一直到炮口，所以就起始条件而言，这三个变量的起始条件都是已知的。但是就最终条件而言，只有l是已知的，即所谓弹丸全行程长lg。显然，在这种情况下，选择l作为自变量是恰当的，把v和P作为l的函数来表示。,25,3.2内弹道方程组的解法,1.速度的函数式,将以上两个方程消去SP，得到如下的微分式,从而可以进行如下的积分,26,3.2内弹道方程组的解法,积分后求得,式中,极限速度,于是求得,27,3.2内弹道方程组的解法,2压力的函数式,求出了之后，将给定的l所求得的v分别代入内弹道基本方程，即求得相应的压力,为了计算方便起见，我们也可以采用另一种形式的公式，即根据燃烧结束点的压力公式,28,3.2内弹道方程组的解法,整理得,炮口处,我们即求得第二时期的P-l及v-l曲线，再加上第一时期的P-l及v-l曲线，从而求得整个的P-l及v-l曲线。,29,3.2内弹道方程组的解法,四、时间曲线的计算,根据以上的解法，我们仅能解出P-l和v-l曲线。但是在实际应用方面，无论是炮架设计还是引信设计，都要应用到P-t曲线。由于我们已经解出v-l曲线，而根据速度的定义进行如下的积分,即可求得时间t。为了求得这样的积分，我们必须从已知的v-l曲线转化为曲线并进行图解积分，如图,30,3.2内弹