19872014年考研数学试题答案及评分参考1996

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 1 页 1996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 2 lim()8 x x xa xa ，则a ln2 . (2) 设一平面经过原点及点)2 , 3, 6( ，且与平面824zyx垂直，则此平面方程为 2x +2y3z = 0 (3) 微分方程 2 2 x yyye的通解为) 1sincos( 21 xcxcey x (4) 函数)ln( 2 yxu)在 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，-2，2)方向的方向导数 为 1 2 . (5) 设 A 是 4 3 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2,而 B = 301 020 201 ，则 r(AB) = 2 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 已知 2 )( )( yx ydydxayx 为某函数的全微分，则a等于 (D) (A) 1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2. (2) 设 xf有二阶连续导数, 且(0)0 f , 0 ( ) lim1 x fx x ,则 (B) (A) )0(f是 xf的极大值 (B) )0(f是 xf的极小值 (C) (0,(0)f是曲线 yf x的拐点 (D) )0(f不是 xf的极值, (0,(0)f也不是曲线 y = xf的拐点. (3) 设0 n a (1,2,)n ， 且 1n n a收敛,常数(0,) 2 ,则级数 2 1 ( 1) ( tan) n n n na n (A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C） 发散 (D) 敛散性与有关. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 2 页 (4) 设 xf有连续的导数，(0)0f，)0( f0， F x=,)()( 2 0 2 dttftx x 且当0x时， )( xF与 k x同阶无穷小，则k等于 (C) (A) 1. （B）2. (C) 3. (D) 4. (5) 四阶行列式 44 33 22 11 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于 (D) (A) 4321 aaaa- 4321 bbbb (B) 4321 aaaa+ 4321 bbbb (C)（ 2121 bbaa） （ 4343 bbaa） (D) （ 3232 bbaa） （ 4141 bbaa） 三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (1) 求心形线)cos1( ar的全长,其中0a. 解：解：( )sinra ， 2 分 22 ( )dsrrd 22 (1 cos )( sin )2 |cos| 2 adad 3 分 利用对称性，所求心形线的全长 0 0 22 cos8 sin8 22 sadaa . 5 分 (2) 设10 1 x, nn xx 6 1 (n=1,2,)，试证数列 n x极限存在，并求此极限. 证证：由 1 10 x 及 21 6164xx，知 12 xx. 假设对某正整数k有 1kk xx ，则有 112 66 kkkk xxxx ，故由归纳法知，对 一切正整数n，都有 1nn xx .即 n x为单调减少数列. 3 分 又由 1 6 nn xx ，显见0(1,2,) n xn，即 n x有下界. 根据极限存在准则，知lim n n x 存在. 4 分 令lim n n xa ，对 1 6 nn xx 两边取极限，得6aa.从而 2 60aa.因此 32aa 或.因为0(1,2,) n xn,所以0a .舍去2a ，故极限值3a . 5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 计算曲面积分 S zdxdydydzzx）（2,其中 S 为有向曲面 22 yxz，(10 z)， 其法向量与z轴正向的夹角为锐角. 解一：解一： 以 1 S表示法向量指向z轴负向的有向平面 22 1(1)zxy，D为 1 S在XOY 平面上的投影区域，则 1 (2)() SD xz dxdyzdxdydxdy . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 3 页 记表示由S和 1 S所围的空间区域，则由高斯公式知 1 (2)(2 1) S S xz dxdyzdxdydv 2 1 24 2111 3 000 0 3 36()6 242 r rr drdrdzrrdr . 5 分 因此 1 3 (2)() 22 S xz dxdyzdxdy . 6 分 解二： 以, yzxy DD表示 S 在,YOZXOY平面平面上的投影区域，则 (2) S xz dxdyzdxdy 2222 (2)()( 2)() yzyzxy DDD zyzdydzzyz dydzxy dxdy 222 4() yzxy DD zy dydzxy dxdy 2 分 其中 2 3 111 222 2 10 4 (1) 3 yz y D zy dydzdyzy dzydy 4 2 0 44 3 1sin cos 33 4 2 24 yt tdt ； 21 222 00 () 2 xy D xydxdydrrdr ， 5 分 所以 1 (2)4. 222 S xz dxdyzdxdy . 6 分 (2) 设变换 ayxv yxu2 可把方程06 2 22 2 2 y z yx z x x 简化为0 2 vu z ，求常数a. 解：解：,2 zzzzzz a xuvyuv . 1 分 2222 222 2 zzzz xuu vv , 2222 22 2( -2) zzzz aa x yuu vv , 2222 2 222 44 zzzz aa yuu vv . 4 分 将上述结果代入原方程，经整理后得 22 2 2 (105 )(6)0 zz aaa u vv . 依题意知a应满足 2 60,10 50aaa 且，解之得3a . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 7 分分) 求级数 2 2 2) 1( 1 n n n 的和. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 4 页 解：解：设 2 2 ( )(| 1) 1 n n x S xx n ， 1 分 则 2 111 ( )() 211 n n S xx nn ， 其中 1 221 111 11 nnn nnn xxxxx nnn . 23 111 (0) 1 nn nn xxx nxn . 3 分 设 1 1 ( ) n n g xx n ，则 1 11 11 ( )(| 1) 1 nn nn g xxxx nx . 于是 00 ( )( )(0)( )ln(1) (| 1) 1 xxdt g xg xgg t dtxx t . 从而 2 1 ( ) ln(1) ln(1) 222 xx S xxxx x 2 21 ln(1) (| 10) 42 xx xxx x 且. 5 分 因此 2 2 1153 ln2 (1)2284 n n s n . 7 分 六、六、(本题满分本题满分 7 分分) 设对任意0x,曲线)(xfy 上点)(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于 x dttf x 0 )( 1 ,求)(xf的一般表达式. 解：解：曲线( )yf x上点( ,( )x f x处的切线方程为( )( )()Yf xfx Xx. 1 分 令0X ，得截距( )( )Yf xxfx. 3 分 由题意，知 0 1 ( )( )( ) x f t dtf xxfx x . 即 0 ( ) ( )( ) x f t dtx f xxfx . 上式对x求导，化简得( )( )0 xfxf x， 5 分 即( )0 d xfx dx ，积分得 1 ( )x fxC. 因此 12 ( )lnf xCxC（其中 12 ,C C为任意常数）. 7 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 设)(xf在1 , 0上具有二阶导数，且满足条件axf)(，bxf)( ，其中ba,都是 非负常数，c是0,1内的任意一点.证明 2 2)( b acf. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 5 页 证：证： 2 ( )() ( )( )( )(),(*) 2! fxc f xf cf c xc 其中(),01cxc. 2 分 在()式中令0 x ，则有 2 1 1 ( )(0) (0)( )( )(0),01; 2! fc ff cf ccc 在()式中令1x ，则有 2 2 2 ()(1) (1)( )( )(1),01; 2! fc ff cf ccc 上述两式相减得 22 21 1 (1)(0)( )()(1)( ) 2! fff cfcfc . 5 分 于是 22 21 1 |( )|(1)(0)()(1)( ) 2! f cfffcfc 22 21 11 (1)|(0)|()|(1)|( )| 2!2! fffcfc 22 (1) 2 b aacc. 7 分 又因 22 (0,1),(1)1ccc，故|( )| 2 2 b f ca. 8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设 T AI ,其中I是n阶单位矩阵,是n维非零列向量, T 是的转置.证明： (1) AA 2 的充要条件是1 T ；(2) 当1 T 时,A是不可逆矩阵. 证证：(1) 2 ()()2 TTTTT AIII (2)(2) TTTT II . AA 2 即(2) TTT II ，亦即() TT I O，因为是非零列向量， 0 T ，故AA 2 的充要条件是10 T ，即1 T . 3 分 (2) 用反证法：当1 T 时AA 2 .若 A 可逆，则有 121 A AA A ，从而AI.这与 T AII 矛盾，故 A 是不可逆矩阵. 6 分 九、九、(本题满分本题满分 8 分分) 已知二次型 323121321321 66255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩为 2. (1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程 12 3 ( ,)4f x x x 表示何种二次曲面. 解：解：(1) 此二次型对应矩阵为A 513 153 33c ， 1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 6 页 因( )2r A ，故 513 |1530 33 A c ，解得3c .容易验证此时A的秩的确是 2. 3 分 这时，|(4)(9)IA ，故所求特征值为0,4,9. 6 分 (2) 由上述特征值可知， 123 ( ,)1f x xx表示椭圆柱面. 8 分 十、十、填空题填空题 (本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，满分满分 6 分分) (1) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 生产的概率是 3 7 . (2) 设, 是两个相互独立且均服从正态分布 2 1 (0,() ) 2 N的随机变量， 则随机变量| 的数学期望(|)E 2 . 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设, 是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知的分布律为 1 (),1,2,3 3 Pii. 又设max , ,min , XY . (1) 写出二维随机变量(, )X Y发分布律；(2) 求随机变量 X 的数学期望. 解：解：(1) Y X 1 2 3 1 1 / 9 0 0 2 2 / 9 1 / 9 0 3 2 / 9 2 / 9 1 / 9 4 分 (2) 13522 ()123 9999 E X 6 分 注：注：写对分布律中的 1 个数得 1 分，24 个得 2 分，57 个得 3 分，89 个得 4 分. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一、一、填空题填空题【 同数学一 第一题 】 二、二、选择题选择题【 同数学一 第二题 】 三、三、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 10 分分) (1) 计算积分dxdyyx D 22 ，其中 D=xyxxyyx2,0, 22 . 解：解：原式 2cos 4 00 dr rdr 3 4 0 8 cos 3 d 3 分 4 23 4 0 0 88110 (1 sin) sinsinsin2 3339 d . 5 分 (2) 【 同数学一 第三、 （1）题 】 (3) 【 同数学一 第三、 （2）题 】 四四 七七、 【 同数学一 第四 七题 】 八、八、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 求齐次线性方程组 0 0 0 543 321 521 xxx xxx xxx 的基础解系. 解：解： 1100111001 1110000101 0011100010 3 分 解得基础解系为 12 ( 1,0, 1,0,1),(1, 1,0,0,0) . 6 分 (2) 【 同数学一 第八题 】 九、九、(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 8 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 3 2 2) ( x exy , 则 | 0 x y 1/3. (2) 1 1 22 )1(dxxx 2 . (3) 052 yyy的通解为)2sin2cos( 21 xcxcey x . (4) ) 1 1ln(sin) 3 1ln(sinlim xx x x 2 . (5) 由曲线 1 yx x ,2x 及2y 所围图形的面积S 1 ln2 2 . 二、选择二、选择题：题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设当0x时，) 1( 2 bxaxex是比 2 x高阶的无穷小，则 （A） (A) 1 2 1 ba， (B) 11ba， (C) 1 2 1 ba， (D) 11ba，. (2) 设函数( )f x在区间),(内有定义，若当),(x时，恒有 2 ( )f xx，则0 x 必是( )f x的 （C） (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点，且(0) 0 f . (D) 可导的点，且(0)0 f (3) 设( )f x处处可导，则 （D） (A) 当lim( ) x f x 时，必有lim( ) x fx (B) 当lim( ) x fx 时，必有lim( ) x f x (C) 当lim( ) x f x 时，必有lim( ) x fx (D) 当lim( ) x fx 时，必有lim( ) x f x (4) 在区间),(内，方程 0cos 2 1 4 1 xxx （C） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有二个实根 (D) 有无穷多个实根 (5) 设( )( )f xg x、在区间 , a b上连续， 且( )( )g xf xm（m为常数） ， 则曲线( )yg x， ( )yf x，xa及xb所围成图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为 （B） (A) b a dxxgxfxgxfm.)()()()(2 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 9 页 (B) b a dxxgxfxgxfm.)()()()(2 (C) b a dxxgxfxgxfm.)()()()( (D) b a dxxgxfxgxfm.)()()()( 三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分) (1) 计算 2ln 0 2 1dxe x 解一：解一：原式 ln2 ln2ln2 22 200 0 11 1 x xxxx x e dx eedxee e 3 分 ln2 2 0 33 ln(1)ln(23) 22 xx ee . 5 分 解二：解二：令sin x et ，则 cos sin t dxdt t ， 原式 2 222 666 cos1 sin sinsin t dtdttdt tt 3 分 2 6 33 ln(csccot )ln(23) 22 tt . 5 分 (2) 求 x dx sin1 解一：解一：原式 2 1 sin cos x dx x 2 分 1 tan cos xC x . 5 分 解二：解二：原式 2 22 sec 2 (cossin)(1tan) 222 x dx dx xxx 3 分 2 (1tan) 2 2 2 (1tan)1tan 22 x d C xx . 5 分 (3) 设 2 0 22 () ( ) t xf u du yf t ,其中( )f u具有二阶导数，且( )0f u ，求 2 2 d y dx . 解：解： 222 ( ),4 ( )( ), dxdy f ttf tf t dtdt 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 10 页 所以 22 2 2 4 ( )( ) 4( ) ( ) dy dytf tf t dt tf t dx dxf t dt . 2 分 2222 22 14( )2( ) ( ) d yddyf tt ft dx dxdtdxf t dt . 5 分 (4) 求函数( )f x x x 1 1 在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式. 解：解： 2 ( )1 1 f x x ， ( ) 1 ( 1) 2! ( )(1,2,1) (1) k k k k fxkn x . 3 分 所以 1 21 2 2 ( )1 22( 1) 2( 1) (1) n nnn n x f xxxx (在 0 与x之间).5 分 (5) 求微分方程 2 xyy的通解. 解解一一：对应的齐次方程的特征方程为 2 0，解之得 0,1 ， 故齐次方程的通解为 12 x yCC e. 2 分 设非齐次方程的特解为 2 ()x axbx C，代入原方程得 1 ,1,2 3 abc . 因此，原方程的通解为 32 12 1 2 3 x yxxxCC e. 5 分 解二解二：令p y ，代入原方程得 2 ppx ， 2 分 故 22 00 22 xxxxxx pex e dxCex exeeC . 再积分得到 2 0 (22) x yxxc edx 32 12 1 2 3 x xxxCC e. 5 分 解三解三：原方程为 2 ()yyx，两边积分得 3 0 1 3 yyxC . 3 分 3 02 1 3 xx yexCe dxC 32 02 1 366 3 xxxxxx ex ex exeeC eC 32 12 1 2 3 x xxxCC e. 5 分 (6) 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22ab、，用过此柱 体底面的短轴且与底面成解（ 2 0 ）的平面截此柱体，得一 楔形体（如图） ，求此楔形体的体积 V. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 11 页 解一：解一：底面椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ，以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截 面为直角三角形，其一直角边长为 2 2 1 y a b ，另一直角边长为 2 2 1tan y a b ，故截面面 积 22 2 ( )1tan 2 ay S y b ， 3 分 楔形体的体积为 222 2 0 2 21tantan 23 ba ya b Vdy b . 5 分 解二：解二：底面椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ，以垂直于x轴的平行平面截此楔形体所得的截 面为矩形，其一边长为 2 2 221 x yb a ，另一边长为tanx，故截面面积 2 2 ( )21tan x S xbx a ， 3 分 楔形体的体积为 3 2222 2 22 0 0 22 21tantan1tan 33 a b xaxa b Vbxdxb aa . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 8 分分) 计算不定积分 . )1 ( 22 dx xx arctgx 解一：解一：原式 22 arctanarctan 1 xx dxdx xx 2 分 2 2 arctan1 (arctan ) (1)2 xdx x xxx 4 分 22 22 arctan1111 ()(arctan ) 212 x d xx xxx 6 分 2 2 2 arctan11 (arctan )ln 221 xx xC xx . 8 分 解二解二：令tanxt，则 原式 2 (csc1)ttdt = 2 分 2 cos1 cot sin2 t ttdtt t 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 12 页 2 1 cotln|sin | 2 ttttC 6 分 2 2 arctan|1 ln(arctan ) 2 1 xx xC x x . 8 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数 . 2,1612 , 21, , 1,21 )( 3 2 xx xx xx xf (1) 写出( )f x的反函数( )g x的表达式； (2) 问( )g x是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点. 解：解：(1) 由题设，( )f x的反函数为 3 1 1 2 ( )18 16 8 12 x x g xxx x x . 4 分 (2) ( )g x在(,) 内处处连续，没有间断点. 5 分 ( )g x的不可导点是 01xx 及. 8 分 （注：多写一个不可导点8x 扣 1 分） 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数( )yy x由方程1222 223 xxyyy所确定. 试求( )yy x的驻点，并判 别它们是否为极值点. 解：解：对原方程两边求导可得 2 320( )y yyyxyyx 2 分 令0y ，得y x .将此代入原方程有 32 210 xx .从而解得唯一的驻点1x . 5 分 ( )式两边求导，得 22 (32)2(31)210yyx yyyy . 因此 (1,1) 1 |0 2 y ，故驻点1x 是( )yy x的极小值点. 8 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 设( )f x在区间 , a b上具有二阶导数，且( )( )0f af b，( )( )0.fa fb 证明存在 ( , )a b和),(ba，使( )0f及0)( f. 证一：证一： 先用反证法证明存在( , )a b， 使( ) 0f. 若不存在( , )a b， 使( ) 0f ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 13 页 则在区间( , )a b内恒有( )0f x 或( )0f x . 不妨设( )0f x （对( )0f x ，类似可证） ， 则 ( )( )( ) ( )limlim0 xbxb f xf bf x f b xbxb ， 3 分 ( )( )( ) ( )limlim0 xaxa f xf af x f a xaxa . 从而( )( )0fa f b ，这与已知条件矛盾. 这即证得存在( , )a b,使得( )0f. 5 分 再由( )( )( )f aff b及罗尔定理，知存在 12 ( , )( , )ab和，使得 12 ( )()0ff. 又在区间 12 , 上对( )fx 应用罗尔定理知，存在 12 ( ,)( , )a b ，使( )0f . 8 分 证二：证二：不妨设( )0,( )0faf b （对( )0,( )0faf b 类似可证） ，即 ( ) lim0 xa f x xb ， ( ) lim0 xb f x xb . 故存在 11 ( ,)xa a和 22 (, )xbb ，使 1 ( )0f x 及 2 ()0f x ，其中 12 , 为充分小的正数. 显然 12 xx ，在区间 12 ,x x 上应用介值定理知， 存在一点 12 ( ,)( , )x xa b，使得( )0f. 5 分 以下同证一. 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设( )f x为连续函数. (1) 求初值问题 0 ( ) 0 |x yayf x y 的解( )yy x，其中a是正常数； (2) 若( )f xk(k为常数)，证明：当0x时，有 ( )(1). ax k y xe a 证一：证一：(1) 原方程的通解为( )( ) ( ) axaxax y xef x e dxCeF xC ， 2 分 其中( )F x是( ) ax f x e的任一原函数.由(0)0y得(0)CF ，故 0 ( ) ( )(0)( ) x axaxat y xeF xFef t e dt . 4 分 (2) 0 ( )( ) x axat y xef t e dt 6 分 0 x axat kee dt (1)(1),0 axaxax kk eeex aa . 8 分 证二：证二：在原方程的两端同乘以 ax e，得( ) axaxax yeayef x e. 从而()( ) axax yef x e ， 2 分 所以 0 ( ) x axat yef t e dt或 0 ( ) x axat yef t e dt . 4 分 （2）同证一 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1996 年数学试题参考解答及评分标准 1996 年 第 14 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设方程 y yx 确定y是x的函数，则dy (1 ln ) dx xy . (2) 设cxdxxxfarcsin)(，则 )(xf dx 2 3 1 (1) 3 xC. (3) 设 （ 00, y x） 是抛物线cbxaxy 2 上的一点， 若在该点的切线过原点， 则系数, ,a b c 应满足的关系是 2 0 0(),c aaxc b或任意. (4) 设 123 2222 123 1111 123 1111 n n nnnn n aaaa Aaaaa aaaa ， 1 2 3 n x x Xx x ， 1 1 1 1 B ， 其中(; ,1