材料力学 杆件的变形计算.ppt

第四章杆件的变形计算,直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗,第一节拉（压）杆的轴向变形,第四章杆件的变形计算,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形,L1,1,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,2,二、拉压杆的弹性定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,N(x),dx,x,3,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比（或横向变形系数）,泊松比、弹性模量E、切变模量G都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系,4,公式的适用条件,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）在计算杆件的伸长时，l长度内其FN、A、l均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,5,是谁首先提出弹性定律弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图),6,7,8,例题4-1：,如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。,9,1）求出轴力，并画出轴力图,2）求伸长量,mm,伸长,缩短,缩短,10,例题4-2:已知：l=54mm，di=15.3mm，E200GPa，=0.3，拧紧后，l0.04mm。试求：(a)螺栓横截面上的正应力(b)螺栓的横向变形d,11,解：1)求横截面正应力,2)螺栓横向变形,螺栓直径缩小0.0034mm,l=54mm，di=15.3mm，E200GPa，=0.3，l0.04mm,12,例4-3节点位移问题,如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F=80kN。,13,分析,通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。,因此，C节点变形后将位于C3点,由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧（以切代弧法），得到交点C0,14,解,1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）,拉,压,伸长,缩短,15,解,2）求AC和BC杆分别的变形量,16,解,3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0,C点总位移：,(此问题若用圆弧精确求解),17,第二节圆轴的扭转变形及相对扭转角,在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为dx的两个相邻截面之间有相对转角dj,取,单位长度扭转角用来表示扭转变形的大小,单位长度扭转角的单位:rad/m,抗扭刚度,越大，单位长度扭转角越小,18,在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j。,相对扭转角的单位:rad,当为常数时：,请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别,同种材料阶梯轴扭转时:,19,例4-4一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400Nm，T2=600Nm，T3=800Nm，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。,20,1）根据题意，首先画出扭矩图,2）AB段单位长度扭转角：,3）BC段单位长度扭转角：,综合两段，最大单位扭转角应在BC段为0.03978rad/m,21,例4-5图示一等直圆杆，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1O,求:1)最大切应力2）jAC,22,1）画出扭矩图,2）求最大切应力,首先要求出M的数值,23,24,25,第三节梁的变形,梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。,1、梁的变形,26,27,梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。,某截面的竖向位移，称为该截面的挠度,某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角,挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关，可以表示为关于x的函数。,挠度方程（挠曲线方程）,转角方程,1、梁的变形,第三节梁的变形,28,挠度和转角的正负号规定,在图示的坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角规定截面法线与x轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角q为正。,1、梁的变形,29,坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。挠度的符号规定：向上为正，向下为负。转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。,30,挠度和转角的关系,1、梁的变形,在小变形假设条件下,挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角,31,2、挠曲线近似微分方程,纯弯曲情况下梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:,横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。,高等数学中，关于曲率的公式,在梁小变形情况下，,32,2、挠曲线近似微分方程,梁的挠曲线近似微分方程最终可写为,33,用积分法求梁的弯曲变形,梁的挠曲线近似微分方程,对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁EI为常数）,再进行一次积分,可得到挠度方程,其中，C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。,34,边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数2n个=2n个边界条件+连续条件,35,积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。几何意义：C转角D挠度,36,边界条件,在约束处的转角或挠度可以确定,用积分法求梁的弯曲变形,37,连续条件,在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。,用积分法求梁的弯曲变形,38,积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,39,利用积分法求梁变形的一般步骤：建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；利用边界条件，连续条件确定积分常数；建立转角方程和挠曲线方程；计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。,40,例4-6如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。,用积分法求梁的弯曲变形,41,（1）按照图示坐标系建立弯矩方程请同学们自己做一下（时间:1分钟）,（2）挠曲线近似微分方程,（3）积分,用积分法求梁的弯曲变形,42,（4）确定积分常数由边界条件,代入上面两式,（5）列出转角方程和挠曲线方程，将C、D的值代入方程,用积分法求梁的弯曲变形,43,（6）求B点的挠度和转角,在自由端，x=l,用积分法求梁的弯曲变形,44,例4-7如图所示，简支梁受集中力F作用，已知EI为常量。试求B端转角和跨中挠度。,用积分法求梁的弯曲变形,45,（1）求约束反力,（2）列出弯矩方程,AC段,CB段,（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算,用积分法求梁的弯曲变形,46,AC段,CB段,用积分法求梁的弯曲变形,47,利用边界条件和连续条件确定四个积分常数,AC段,CB段,边界条件:,连续条件:,由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。即,代入上面的式子,用积分法求梁的弯曲变形,48,得到转角方程和挠度方程,AC段,CB段,（5）求B指定截面处的挠度和转角,若,用积分法求梁的弯曲变形,49,通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。,在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。,用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材7879页表4-2计算得出。,叠加法求梁的变形,50,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,51,结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。,=,+,52,查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。,叠加法求梁的变形,53,例4-8求图中所示梁跨中点的挠度及A点的转角。已知，梁的抗弯刚度EI为常数。,叠加法求梁的变形,54,=,+,叠加法求梁的变形,55,例4-9如图，梁的左半段受到均布载荷q的作用，求B端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI为常数。,叠加法求梁的变形,56,考虑其变形:,由于CB段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即CB仍为直线。根据几何关系可知：,由于在小变形的假设前提下,查表:,代入上面的计算式,叠加法求梁的变形,57,在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。,类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。,一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。,叠加法求梁的变形,58,例