高中数学《函数的表示法》学案3 北师大版必修1

函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势. 2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1（1）已知是一次函数, 且,求的解析式；（2）已知,求；（3）已知满足，求思路剖析根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解.解题示范（1）（待定系数法）设，则 ，即.比较系数，得，解得， 或 .或.（2）法1（换元法）：令t=（ t1），则, （1）法2（配凑法）：，又 1， (1).（3）（方程法） -，将中换成，得 -，2-，得 ，.回顾反思求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数的表达式，求 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量的取值范围；（3）方程法：只已知关于及的一个条件要求，可通过条件再寻找关于及的另一个方程，利用解方程组求出.请思考：若本题中把换成，你能求的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时，常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D再回到A.设表示P点的行程，表示PA的长，求关于的函数关系式.思路剖析视P点所处的正方形边的位置分别计算PA的长.解题示范如图 ，当P在AB边上运动，即时, PA=；当P在BC边上运动，即时， PA=； D P C P A P B当P在CD边上运动，即时，PA=；当P在DA边上运动，即时，PA=4-.P 回顾反思由于表示的是线段PA的长度，而表示的是P点从A点出发后所走的路程，从而计算PA长度的方式应随着P点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA时需对P点的位置进行分类讨论，故不可能用关于的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3作出函数（1）=|；（2）=|2-2|-1的图象.x-1 O 1 2 321-1-2思路剖析找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范（1） 当0时，= 当0时，=-（) 作图步骤： 作出函数=的图象将上述图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方（原在轴上方的部分保留不变），即得=|x2-2x-1|的图象（如图）. （2）当x0时 = 当x0向左,k0向上,k0向下）得图象. （2）对称变换： 用于研究函数的图象与、及的图象之间的联系：函数的图象与的图象关于轴对称；函数的图象与的图象关于轴对称；函数的图象与的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数的图象与与的图象之间的联系： 将的图象在轴上方的部分不变，下方部分以轴为对称轴向上翻折即得的图象；将的图象在轴右方的部分保留不变，去掉轴左方的部分，以轴为对称轴将右方部分向左翻折即得的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D()=,我们就作不出它的图象.例4对于任意的实数，规定取4-，+1，三个值中的最小值.（1）求与的函数关系式，并画出此函数的图象.（2）为何值时，最大？最大值是多少？ 思路剖析所谓是4-，+1，三个值中的最小值，是对于同一个值而言的，从图象上反映应是三个函数4-，+1，的图象中处于最下方的那一个.A B解题示范（1）在同一坐标系中作出三个函数4-，+1，的图象.设函数的图象分别与函数+1，4-的图象交于A、B两点，由解得A(1, 2)；由解得B(3, 1). 与的函数关系式是，其图象为实线部分. （2）由图象可知，当 = 1时, 最大，其最大值为 = 2 . 回顾反思求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5已知函数 . （1） 当(-2，6)时，其值为正；时，其值为负，求, 的值及()的表达式； （2） 设，k为何值时，函数F ()的值恒为负值？思路剖析利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解.解题示范（1）显然.当(-2，6)时，其值为正；时，其值为负,-2,6是方程的两个根， 解得 = - 4 ，= - 8 （2） 欲使函数F ()的值恒为负值，显然,故 ，解得 k - 2当k 0的解集即为=的图象在轴上方部分的横坐标的取值范围；不等式0(的解集为，则是方程0的两个根；若是方程0的两个根，则不等式0(的解集为.2、设=(),由二次函数的图象可直观地得到：当时，恒成立；当时，恒成立，反之也成立.【能力训练】一、 选择题1、已知，那么的解析式为（）A、B、C、D、2、在克%的盐水中，加入克%的盐水，浓度变成%，则与的函数关系式是（）A、B、C、D、3、tdOtdOtdOtdO某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（） A、 B、 C、 D、 4、函数-2的图象可由函数的图象经过（）得到. A、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 5、函数的图象与函数的图象关于（） A、轴对称B、轴对称C、原点对称D、以上都不对二、填空题6、已知 ，则. 7、已知()=，则(2+1)= .8、已知，则.9、将长为的铁丝折成矩形，设矩形的长为，则面积关于的函数关系式是 _ ，其定义域是 _.10、已知()=,若()=10，则= .三、解答题11、（1）已知()是一次函数，且满足3(+1)-2(-1)=2+17,求()；（2）设二次函数()满足(+2)= (2-)，且方程()=0的两实根的平方和为10，的图象过点(0,3)，求()的解析式.12、已知 (0)， 求.13、(1) 已知，求.(2)设 求(). 14、作出下列函数的图象： (1) ； (2) ；(3) 15、讨论函数的图象与的图象的关系.【素质提高】16、已知函数()满足()= ()+ ()且(2)=，(3)= ，则(36)= . 17、讨论关于的方程的实数解的个数.18、设函数()=2-4-4的定义域为-2, -1，对任意R，求函数()的最小值()的解析式，并画出的图象.2.2函数的表示法1、C2、B