吉林长春吉林实验中学高三数学上学期第三次月考理

吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考数学（理）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】,故选B.2.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】【分析】解出集合A的解集为，故，根据集合间的包含关系得到结果.【详解】集合,若，故，故.故答案为：D.【点睛】判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系;已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析.3.我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的的值，当，满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解.【详解】模拟执行程序，可得，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，满足条件，退出循环，输出的值为4.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的的值是解答的关键，属于基础题.4.函数的最大值为（）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】注意到， ，其中，. 选C.5. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： 该四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,故体积,四个侧面是底边为2,高为的等腰三角形,故,侧面积为,故选B考点：1三视图；2几何体的表面积与体积6.世界华商大会的某分会场有，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）A. 12种B. 10种C. 8种D. 6种【答案】D【解析】【分析】该题要求甲、乙两人被分配到同一展台，故采取捆绑法进行求解，然后利用排列组合知识进行求解即可。【详解】甲、乙两人被分配到同一展台，甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上的全排列，即有种，甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数种。故选：【点睛】本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个展台至少1人”的要求，属于基础题。7.已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：将记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，满足题中条件为，即，所以满足条件的基本事件有共6个基本事件，所以所求的概率为，故选D考点：古典概型8.在平行四边形ABCD中, AD = 1, E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .【答案】【解析】设AB的长为，因为 ， ，所以 =+1+=1，解得，所以AB的长为.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.9.已知数列的首项，数列为等比数列，且若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出an=b1b2bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21【详解】数列an的首项a1=2，数列bn为等比数列，且， 故选：C【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用10.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的取值范围。【详解】设，则只需求直线在轴上的截距范围。画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为，当直线过点时截距最小，且为1，所以的取值范围是。故选：【点睛】本题主要考查线性规划应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法。11.已知函数，则的小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可。【详解】函数为偶函数， ，当时， ，函数在上递增，即，故选：【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，求函数的导数，利用函数的单调性是解决本题的关键12.等腰直角内接于抛物线，其中为抛物线的顶点，的面积为16，为的焦点，为上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等腰直角三角形的顶点，利用可求得，进而可求得，由求得P=2。做抛物线的准线，与x轴的交点为N（-1,0），MA垂直于准线，由抛物线的定义得|MF|=|MA|，设到准线的距离等于，化简为，换元，利用基本不等式求得最大值。【详解】设等腰直角三角形的顶点，则，由得：，即，即关于轴对称直线的方程为：，与抛物线联立，解得或，故，的面积为16，；焦点，设，则，设到准线的距离等于，则令，则（当且仅当 时，等号成立）故的最大值为，故选：【点睛】本题考查抛物线的性质，求得，关于轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则_【答案】10【解析】分析：先对方程两边求导得，再令x=1即得解.详解：对方程两边求导得，令x=1得101=10.故答案为：10.点睛：（1）本题主要考查导数和二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和观察分析推理能力.(2)解答本题的关键是对方程两边求导得.14.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的表面积为_【答案】【解析】【分析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，求出球的半径，求出球的表面积【详解】如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，所以，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题15.已知方程的两根分别为、且，且_【答案】【解析】【分析】由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求【详解】方程两根、， 又，结合，故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题16.已知，若偶函数满足（其中为常数），且最小值为1，则_【答案】【解析】【分析】利用函数是偶函数，确定，利用基本不等式求最值，确定的值，即可得到结论【详解】由题意，为偶函数，故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列的各项均为正数，公比为；等差数列中，且的前项和为，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为，联立方程组求得，由此求得通项公式；（2）化简的表达式得到，利用裂项求和法求其前项和.试题解析：（1）设数列的公差为，（2）由题意得：，.18.随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化某机构随机调查了个人，其中男性占调查人数的已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有人的休闲方式是运动（1）完成下列列联表：运动非运动总计男性女性总计n（2）若在犯错误的概率不超过的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”， 那么本次被调查的人数至少有多少？（3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）运动非运动总计男性女性总计 (2)140；(3)56【解析】试题分析：（1）依据某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动即可完成表格；（2）将表格中的数据代入，得到，解出即可；（3）由（2）知，即为所求（1）依题意：被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则列联表如下：运动非运动总计男性女性总计 (2) 由表中数据，得要在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，则，所以，解得 又，且，故本次被调查的人数至少是140人(3) 由(2)可知，所以，本次被调查的人中至少有56人的休闲方式是运动考点：独立性检验的基本思想及其初步应用19.如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一、取中点，连接，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面；法二、证明平面，转化为证明平面平面，在中，过作，垂足为，连接，由已知底面，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，则结论得证；（2）连接，证得，进一步得到平面平面，在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，为的中点，且，又，且，且，则，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面， 平面；法二、在中，过作，垂足为，连接，在中，由已知，得，则，中， ，由余弦定理得：，而在中， ，即，则平面由底面，得，又，则平面， 平面平面，则MN平面；（2）解：在中，由，得，则，底面，平面，平面平面，且平面平面， 平面，则平面平面在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角在中，由是的中点，得，在中，由，得，直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题20.设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为0（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，求四边形面积的最大值【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用的最小值为0，可得，即可求椭圆的方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值【详解】（1）设，则，由题意得， 椭圆的方程为；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得：设， 当时，设直线倾斜角为，则， ，当时，当时，四边形是矩形，所以四边形面积最大值为2【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想21.已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在，使得成立成立，求实数的取值范围【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围试题解析：(1)函数的定义域为，当时，；当时， 在上单调递增，在上单调递减(2)假设存在，使得成立，则.对于，当时， 在上单调递减，即.当时，在上单调递增，即.当时，若，则，在上单调递减；若，则，在上单调递增，即.(*)由(1)知，在上单调递减，故，而不等式(*)无解综上所述，的取值范围为22.平面直角坐标系中，曲线：.直线经过点，且倾斜角为，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值【答案】（）（t为参数）；（）或或.【解析】试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用，化简表达式，得到曲线的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出的值.试