吉林长春高中数学毕业班第一次调研测试 理新人教A

吉林省长春市2013年高中数学毕业班第一次调研测试试题 理（扫描版）新人教A版2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. B3. A4. A5. A6. C 7. B 8. B9. D10. C11. B12. C简答与提示：1. B由可得，又中，则即，则，因此，故选B.2. B 由题意可知：，因此，化简得，则，由可知，仅有满足，故选B.3. A由于要取，中最大项，输出的应当是，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.4. A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为 ，故选A.5. A由题意可计算得；，综上，故选A.6. C由与可得，因此，所以，故选C.7. B由题意中，由正弦定理可知，由此，故选B.8. B命题中 与关于原点对称，故为真命题；命题中取极小值时，则，故为假命题，则为假命题，故选B.9. D，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，解得，故选D.10. C当时，三点为等腰三角形的三个顶点，其中，从而圆心到直线的距离为1，此时；当时，又直线与圆存在两交点，故，综上的取值范围为，故选C. 11. B由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率设则，时，当增大，减小，导致减小. 故选B.12. C对于，假设，则，则，因此错误；对于，假设，则，又，则，因此也错误，而和都是正确的，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 315. 16. 604简答与提示：13. 由题可知，即为求区域内的点与点连线斜率的取值范围，由图可知.14. 由正弦定理与余弦定理可知，可化为，化简可得，又且，可计算得.15. 设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.16. 由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得，所以，则；将代入得，而，所以，因此函数；(6分)(2)由于，所以，所以的取值范围是.( 12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)由题 -可得，则.(3分)当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此.(6分)(2)，(8分)所以，(10分) (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) ，且O为中点，又侧面底面，交线为，平面.(4分)xA1BCOC1B1yzA(2) 如图，以O为原点，分别以OB、OC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知，.，令平面的法向量为，则，而，可求得一个法向量，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.(8分)(3) 存在点为线段的中点.证明：连结交于点，连结、，则为的中点，从而是的一条中位线，而平面，平面，所以平面，故的中点即为所求的点. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设，由可知 (1分)又，即 (2分)代入得：. 又，可得，故所求椭圆方程为(4分)(2)设直线，代入，有.设，则. (6分)若轴上存在定点满足题设，则， (9分)由题意知，对任意实数都有恒成立， 即对成立.解得， (11分)在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得：；(2分)(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；(4分)(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.从而函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，函数在上为减函数，；当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， . 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.(8分)(3) 令，显然，则. 构造函数，. 令得，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值. 当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点. 函数的大致图像如图所示：根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线与函数的图像有三个公共点. 因此或，即或，从而的取值范围是. (12分)22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD为M的直径，连接，则，由点G为弧BD的中点可知，故，所以有，即.(5分)(2)由(1)知，故，所以，即 (10分)23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于：由，得，进而；对于：由（为参数），得，即.(5分)(2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)24.