2016年第2届UPhO邀请赛试题

1 / 6 第二届 UPhO 邀请赛 命题人：蔡子星 审题人：唐鹏 考试说明： 1、 本次比赛邀请各重点中学物理竞赛选手参加，旨在加强校际交流，帮助同学进入考试状 态，锻炼考试做新题的心态。 2、 考试时间为 3 小时， 线上线下同步进行， 线上比赛请登录 注册答题， 4 月 2 日 12:00 至 4 月 5 日 12:00 为比赛时间。 线下比赛在 4 月 2 日至 4 月 5 日在各中学 举行，请在 4 月 5 日 12:00 前将试卷扫描件发送至 wuli。4 月 11 日在网 站公布比赛结果，和各省排名。 请只在答题纸作答，并填写答案，所有答案为三位有效数字的科学计数。可以使用非编程计 算器独立作答。 【题一】 疯狂的科学家想制造一条太空锁链。在地球赤道上两处，各立起来一根长柱子，柱子顶端到 地球球心的距离是R，忽略地球自转，地球半径为r，表面重力加速度为g。在两根柱子的 顶端之间连接一根质量均匀的链条，链条处于平衡状态。 （1）如果链条最低点到地心距离为 1 r，链条上拉力最大值为 1 F，拉力最小值为 2 F，求在端 点处链条切线与柱子的夹角； （2）接上一问，求链条的质量线密度。 【参数】 7 1 1.84 10 NF ， 6 2 8.83 10 NF ， 7 1.27 10 mR ， 6 1 8.91 10 mr ， 6 6.37 10r 2 9.8m/sg 2 / 6 【题二】 如果一个轻质的桌子，桌面是一个半径为 1 的圆，在圆周上的N等分点上有N个等长的桌 腿。桌腿可以被压缩但是不可以被拉伸。被压缩的桌腿可以视为劲度系数为k的弹簧。在桌 面上放一个重力为G的质点（Gkr）后，有些桌腿上会有应力，有些桌腿会悬空。 （1）4N ， 质点在某些区域的时候， 能使得恰好有一个桌腿悬空， 求出这个面积的大小 1 S （2）5N ，3mN，质点在某些区域的时候，能使得恰好有m个桌腿悬空，求出这 个面积大小 2 S 【参数】 21N ，15m 【题三】 LIGO 在 2016 年 2 月 11 日终于正式宣布发现高频引力波。这次探测引力波的仪器可以视为 一个巨大的迈克耳逊干涉仪。波长为10.6m激光在两条相互垂直的长度为4kml 通 道中运动200N 个来回后发生干涉，通过测量干涉图形可以判定光在两条路线中传播的 时间差。当有引力波通过的时候，时空结构会发生弯曲，相当于导致空间的长度发生变化， 相对变化比为，即原长为l的通道变为(1)l，从而引起干涉图像的变化。我们把称 为引力波的“振幅” （1） 假设通过两束光干涉图像能分辨的相位差为 8 10 ，则这个干涉仪的分辨精度 0 的数量级为多少？填入答案和 10 log最接近的整数 （2） 月球质量为m，地月距离为r，万有引力常数为G，光速为c，月球的引力场在距 离r带来的空间弯曲可以近似认为是 2 m Gm rc ，计算这一效应带来的相位改变 m 的数量 3 / 6 级。填入答案和 10 log m 最接近的整数 （3）由于黑洞合并产生的引力波的频率极高，所以低频的扰动实际上对结果影响不大。已 知引力波的能流密度为 2 jAG c f ，其中A为无量纲常数，f为应力波频率，通过量 纲分析计算得到 （4）计算（3）中的 （5）计算（3）中的 （6） 这次探测的事件发生在距离我们 13 亿光年星系。 两个质量分为29 S M和36 S M的黑洞 （其中 S M为太阳质量）在 0.2 秒内合并成为一个质量为62 S M的黑洞。合并的时候引力波 频率达到100Hz。 我们假设亏损的质量全部转成能量， 以引力波的形式放出， 取上一问1A， 估算引力波到达地球的时候的振幅 B 的数量级。填写和 10 log B 最接近的整数。 【参数】 112-2 6.67 10Nm kgG ， 22 7.35 10 kgm， 8 3.84 10 mr ， 8-1 3.00 10 msc ， 30 1.99 10 kg S M 【题四】 我们决定研究一下彩虹有几种。考虑一个球形的小液滴飘在空中，折射率为n 。一束光线 以入射角入射后，经过N次反射后出射，如图定义偏转角为 n 。假设平行光照射到一大 片小水滴上，如果( ) n 在某处出现极值，则在这个方向上有一片入射光都以相同的方向 出射，于是在这些方向就就会显著比其他地方亮，被称为第N级虹。在中文中，1N 被 称为虹，2N 被称为霓，3N 没有被命名。 （1） 对于给定的 0 1.33n 和 0 ，计算 10 () （2） 接（1）问，计算 20 () 4 / 6 （3） 对于任意的n和N，计算( ) N 取极值时对应的 Nm （4） 接上一问，计算( ) N 的极值 Nm （5） 接上一问，为了让这个现象出现，n能取到的最大值 Nm n （6） 对于一种偏振光， 从空气入射液体的时候， 光振幅的反射率为 1 coscos 1 coscos n r n ， 投射率为t，从液体入射空气的时候反射率为 rr，投射率为 t，并满足1ttrr ， 对于 0 nn，计算第 2 级和第 1 级虹光振幅平方的比值 21 /II （7） 接上一问，计算和第 3 级虹和第 1 级虹光振幅平方的比值 31 /II 【参数】 0 20.4，4N ，2.03n 【题五】 请注意这是一道水题。 一个质量为m的均匀圆柱， 放在一个质量为M的角度为的斜面上。 （1）地面和斜面之间固定，斜面上表面光滑，求圆柱加速度 1 a （2）地面和斜面之间光滑，斜面上表面光滑，求圆柱相对斜面加速度 2 a （3）地面和斜面之间固定，斜面上表面摩擦系数为，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦 系数的最小值 1m （4）求（3）中圆柱的加速度 3 a （5）地面和斜面之间光滑，斜面上表面摩擦系数为，发现圆柱在斜面上纯滚动，求摩擦 系数的最小值 2m （6）求（5）中圆柱的加速度 4 a 【参数】 2 9.8m/sg ，3.18kgm ，6.4kgM ，40.7 5 / 6 【题六】 K 介子可以在这个反应中生成： 0 pK （1）在质子静止参照系中，要求反应能够发生，求光子能量最小值 E （2）被撞击的质子可能在一个静止的原子核中，而原子核中的质子可能随机运动，最多可 能具有200MeV/c f p 的动量（费米运动） ，则光子的能量最小值为E （3）接第一问，假设 0 的飞行速度为c，飞行中衰变成为一个质子和 ，则 可能具 有的动量最大值 m p为多少（单位MeV/c） 。 （4）接上一问， 和 0 方向的最大夹角 m 为多少 【参数】 2 938MeV/c p M， 2 494MeV/c K M ， 0 2 1116MeV/cM ， 2 140MeV/cM 0.773 【题七】 鉴于热力学第二定律已经进入考纲， 我们还是考一考吧。 如图一坨流体发生气液相变的时候 形成的等温图，液态体积为 1 V，气态体积为 2 V，由于气液共存，所以流体体积可以从 1 V连 续变为 2 V。 在温度为T时， 饱和蒸气压为p。 在温度为T到TdT 之间构造一个可逆热机， 在图中沿ABCD循环， ,AB CD为等温过程，,BC DA为绝热过程， 这个循环是卡诺循环。 热力学第二定律告诉我们，这个循环的效率为 dWdT QT ，Q为相变吸热，dW为循环对 外 做 功 。 按 定 义 液 态 和 气 态 的 熵 变 21 Q SS T 。 带 入 表 达 式 后 我 们 发 现 2121 ()()dp VVdT SS 。由此可以计算饱和蒸气压随温度的变化关系 6 / 6 在超导态-正常态相变中也有类似的现象。正常态中，物体的磁矩0M ，超导态中 0 MB ，B为外磁场。外场对磁矩的做功可以表示为dWBdM。在温度为T时， ( ) C BB T为正常态，( ) C BB T为超导态，其中 2 0 2 0 1 C T BTB T ，而取等号的时候 则为混合态。( ) n S T和( ) s S T分别为正常态和超导态的熵。 类比上面的做法， 求出( ) n S T。 【参数】 0 0.144TB ， 6 0 2 1.25 10 N/A ，1.95KT ， 0 4.48KT 【题八】 如图有三个半径为 123 rrr 的同心金属球壳， 外球壳电压为U， 内球壳通过一根表面绝缘 的导线接地， 外壳和中间壳之间有相对介电系常数和电导率分别为 11 , r 的介质， 内壳和中 间壳之间为 22 , r 。经过足够长时间达到稳定 （1）求出从内球壳