【苏教版高考数学导航(第轮)理数】第讲不等式的基本性质及证明.ppt

第十五章,选考内容,不等式的基本性质及证明,第84讲,利用均值不等式证明不等式,点评,要能够根据式子的结构特征构造应用均值不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件,【变式练习1】已知a,b,cR，求证,【解析】因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)a2+2ab+b2=(a+b)2，即a2+b2，两边开算术平方得,同理可得，三式相加，得,应用柯西不等式证明不等式,点评,要能够根据式子的结构特征构造应用柯西不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件,【变式练习2】已知，求证：a2+b2=1.,【证明】由柯西不等式，得,当且仅当时,上式取等号.所以,即a2b2=(1-a2)(1-b2)，于是a2+b2=1.,【例3】已知a+b+c=1，求证：.,不等式证明方法的应用,【解析】方法1：综合法因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1.所以.,方法2：比较法因为,所以.,点评,(1)综合法的思维特点是执因索果.基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与特征的不等式有着这样或那样的联系，作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.,(2)证明不等式的常用的方法有：比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.当问题比较复杂时，通常用分析法寻找证明的思路，而用综合法来叙述、表达整个证明过程.另外本题也可用柯西不等式证明如下：因为(12+12+12)(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1,即3(a2+b2+c2)1,所以,点评,【变式练习3】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.,【证明】方法1：综合法因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0，展开，得ab+bc+ca=.所以ab+bc+ca0.,方法2：分析法要证ab+bc+ca0，因为a+b+c=0,故只需证ab+bc+ca(a+b+c)2,即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，即(a+b)2+(b+c)2+(a+c)20,显然成立，所以原式成立.,方法3：因为a+b+c=0，所以-c=a+b,所以ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=,1.利用柯西不等式的关键在于正确理解柯西不等式，掌握它的各种结构，根据所给的式子，联想二维和三维柯西不等式，通过变形构造模型(有难度的通常要逐步调整去构造).,2.比较法证明不等式的步骤：作差变形判定，关键是变形.常见变形手段有因式分解、配方、通分、有理化及放缩法.3.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”，它们的论证顺序相反.常利用分析法从要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到起始条件.,4.反证法是假定原命题不成立，经过正确推理，最后得出矛盾，说明假定错误，从而证明了原命题成立.一般在利用综合法、分析法比较困难时才用反证法，即“正难则反”.反证法是证明不等式的间接方法.5.比较法、分析法、综合法和反证法四种方法是证明不等式的基本方法，特别提醒的是对较复杂的命题往往要运用多种方法，甚至利用函数法，换元法等.,2.(2011苏州中学期末卷)已知定义在区间-1,1上，设x1,x2-1,1，且x1x2.(1)求证：|f(x1)-f(x2)|x1-x2|；(2)若a2+b2=1，求f(a)+f(b)的最大值.,【解析】(1)证明：由题设有.因为|x1+x2|x1|+|x2|，所以|f(x1)-f(x2)|x1-x2|.,(2)因为a2+b2=1，由柯西不等式有，所以，当且仅当a2=b2=时取“=”.因为f(a)+f(b)=，所以f(a)+f(b)的最大值为6.,选题感悟：本题主要考查不等式的证明