四川成都实验外国语学校高三数学二诊模拟考试

成都实外高三二诊模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合 则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以根据集合与集合的表达式来确定集合与集合中所包含的元素，然后通过集合之间的关系的相关性质即可得出结果。【详解】因为集合，所以集合是所有的奇数表示的集合，因为集合，所以集合是所有的整数表示的集合，所以集合是集合的真子集，故选A。【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了两集合之间的关系，考查了推理能力，体现了基础性，提高了学生对于集合的理解，是简单题。2.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可【详解】由题意得，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限故选D【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题3.已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A. 众数为7B. 极差为19C. 中位数为64.5D. 平均数为64【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；极差是755718，B错误；中位数是64.5，C正确；平均数为60（31+1+2+7+7+12+15）65，D错误故选：C【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题4.函数的图像大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复5.等比数列各项均为正数，若则的前6项和为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及，可得q的值，计算即可.【详解】解：等比数列各项均为正数，且， ，可得q=2或q=-4(舍去)， =63，故选B.【点睛】本题考查了等比数列的性质及前n项和的公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再根据投影的定义可得所求结果【详解】=2，=5，向量与的夹角为，在方向上的投影为故选B【点睛】解答本题的关键利用投影的定义求解，其中先求出两个向量的数量积是必须的步骤，考查数量积的定义和数量积的运算，属于基础题7.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A可能垂直也可能不垂直，平行都有可能；B；D可能垂直，不垂直，或是平行都有可能；C，那么，那么，故C正确考点：线线，线面，面面位置关系8.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据二项式得出各项系数的和，然后根据二项式得出各项二项式系数的和，最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，即可得出结果。【详解】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，故选C。【点睛】本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式的各项系数的和以及各项二项式系数的和，考查计算能力，体现了基础性，提高了学生对于二项式的理解，是简单题。9.如果执行下边框图，则输出的数与输出的的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图得出数可以看作数列的前项和的结论，然后通过错位相减法计算出数列的前项和，即可得出输出的数与输出的的关系。【详解】由程序框图可知，由可得，综上所述，故选A。【点睛】本题考查了程序框图的相关性质以及错位相减法的使用，能否根据程序框图找出题目所给出的数之间的联系以及能否熟练使用错位相减法求和是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题。10.在中，角的对边分别是，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据三角恒等变换将转化为，然后利用将转化为，最后根据基本不等式的相关性质即可得出结果。【详解】因为，所以，即,因为，所以的最小值为，故选D。【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及基本不等式的使用，考查了推理能力，体现了基础性与综合性，提高了学生对于三角函数公式的使用熟练度，是中档题。11.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为A. 3B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】设，利用三角形知识得到，转化成，令，将转化成，问题得解。【详解】设，由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为，由抛物线定义得：又,所以 ，当且仅当三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令，可化为：，当且仅当，即：时，等号成立。故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题。12.已知，为中不同数字的种类，如 ，求所有的个的排列所得的的平均值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以确定的所有可能取值分别为，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出的平均值。【详解】由题意可知：当时，；当时，；当时，；当时，综上所述，所有的个的排列所得的的平均值为：，故选D。【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设满足条件，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】根据已知条件画出可行域，平移目标函数，得到最优解，可得答案.【详解】解：由题意，根据已知条件作出如下可行域：设z=2x+3y，即:，由图可知，当目标函数过点C时，z=2x+3y最小，由，可得C(1,0),故故答案：2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，相对简单.14.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，则圆C的方程为_【答案】【解析】分析：根据题意，列出关于圆心和半径的方程，求解即可。详解：设圆的方程为，根据题意可得：，联立求解可得.圆C的方程为。点睛：已知曲线类型，求参数利用待定系数法，根据题意列方程，对圆的参数圆心坐标和半径求解，是常见解法。15.由曲线 与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积.【详解】解： ,当x=1时，y=1， ,在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2， 直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），可得围成图形的面积：S=，故答案：.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.16.对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，设x为正实数，若为偶数，则称x为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为_【答案】【解析】【详解】注意当时，；因此为偶数当且仅当，也即这些区间的长度之和为.因此，x是幸运数的概率为.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.如图，正四棱柱中，点在上且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出的坐标以及向量，然后通过以及即可得出，最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以通过求出平面与平面的法向量来求出二面角的余弦值。【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，即可得出、，、。(1)因为,，所以，因为，所以平面；(2)设向量是平面的法向量，则，故，.令，则，等于二面角的平面角，。【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题。18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放周年大会. 年众志成城，40年砥砺奋进，年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展得壮丽史诗.会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放年变化的老照片，并从众多照片中抽取了张照片参加“改革开放年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：（1）求这位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出来人参加“纪念改革开放年图片展”表彰大会，现要从中选出人作为代表发言，设这位发言者的年龄落在区间45，55的人数是，求变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)首先可以通过频率分布直方图得出每个年龄段所对应的概率，然后通过平均数以及方差的计算公式即可得出结果；(2)首先可以通过题意以及分层抽样的相关性质得出在以及年龄段的人数，然后得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率，即可列出分布列并计算出数学期望。【详解】这位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为，；根据分层抽样的原理，可知这人中年龄在内有三人，在内有人，故可能的取值为：，所以的分布列为：Y0123P所以的数学期望为。【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列以及数学期望的相关性质，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查推理能力与计算能力，是中档题。19.已知函数 ，且.（1）求的单调递减区间；（2）若，求的值.【答案】(1) 单调递减区间为； (2) .【解析】【分析】（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间（2）结合条件求出，然后由可得结果【详解】（1） ，的最大值为1，最小值为又，且，函数的最小正周期为，由，得，的单调递减区间为（2）由（1）得，且，【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解20.已知椭圆: 的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】(1)首先可以通过抛物线与椭圆有相同的焦点得出椭圆的焦点坐标，然后通过列出等式并解出的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设两点坐标为并根据切线方程与椭圆交于两点并求出的值，然后根据的值写出的中点坐标以及的垂直平分线方程，最后写出并得出结果。【详解】(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点，设点P的坐标为则，解得（舍去），将点坐标代入抛物线方程式可得，又，联立可解得，所以椭圆的方程为；(2)设与抛物线相切的切点坐标为，将抛物线转化为可知，即切线斜率为，通过点斜式方程可知直线，整理得直线，与轴交点坐标与椭圆方程联立可得，设，所以，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即，因为所以，当且仅当时“”号，此时取最小值，最小值为。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。21.已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【解析】【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可【详解】（1），令，则f（x）exg（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）g（1）a10，所以f（x）0在（1，e）内无解所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点（2）当aln2时，f（x）ex（x+lnx+ln2），定义域为（0，+），令，由（）知，h（x）在（0，+）上单调递减，又，h（1）ln210，所以存在，使得h（x1）0，且当x（0，x1）时，h（x）0，即f（x）0，当x（x1，+）时，h（x）0，即f（x）0所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+）上单调递减，所以由h（x1）0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max0，又因为，所以1f（x）max0，所以若f（x）k（kZ）恒成立，则k的最小值为0【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的方程化为普通方程，的方程化为直角坐标方程（2）若曲线,相交于两点，的中点为，过点作曲线的垂线交曲线于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用代入法消去参数可得到曲线的普通方程，利用可得的直角坐标方程；