中考数学冲刺：方案设计与决策型问题--知识讲解（基础）

选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 中考冲刺：方案设计与决策型问题中考冲刺：方案设计与决策型问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望】【中考展望】 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测 量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题 型主要包括： 1根据实际问题拼接或分割图形； 2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问 题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视 【方法点拨】【方法点拨】 解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找 到适合题意的最佳方案 解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据 所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 【典型例题】【典型例题】 类型一、利用方程（组）进行方案设计类型一、利用方程（组）进行方案设计 1学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动，准备租用 45 座大车或 30 座小车若租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元；若租用 2 辆大车 1 辆小车共需租车费 1100 元 (1)求大、小车每辆的租车费各是多少元； (2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案 【思路点拨】 (1)设大小车辆租车费用分别是x，y元，由题意，列出方程组，求解即可； (2)首先由题分析得出租车总数为 6 辆，再列方程组解出取值范围，分析即可得解 【答案与解析】 (1)设大、小车每辆的租车费分别是x、y元 则 21000 21100 xy yx 解得 400 300 x y 即大、小车每辆的租车费分别是 400 元、300 元 (2)240 名师生都有座位，租车总辆数6，每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数6，故租车 总数为 6 辆 设大车辆数是x辆，则租小车(6x)辆， 则可列方程组 4530(6)240 400300(6)2300 xx xx 解得 4x5. x是正整数，x4 或 5. 于是有两种租车方案，方案一：大车 4 辆，小车 2 辆，总租车费用为 2200 元；方案二：大车 5 辆，小车 1 辆，总租车费用为 2300 元故最省钱的租车方案是租大车 4 辆，小车 2 辆 【总结升华】考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用. 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 举一反三：举一反三： 【变式变式】某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 65. (1)求出该班男生与女生的人数； (2)学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：男生人数不少于 7 人；女生人数超过 男生人数 2 人以上请问男、女生人数有几种选择方案？ 【答案】 解：(1)设男生有 6x人，则女生有 5x人 依题意得：6x5x55， x5， 6x30,5x25. 答：该班男生有 30 人，女生有 25 人 (2)设选出男生y人，则选出的女生为(20y)人 由题意得： 202 7 yy y ， 解得：7y9， y的整数解为：7、8. 当y7 时，20y13， 当y8 时，20y12. 答：有两种方案，即方案一：男生 7 人，女生 13 人；方案二：男生 8 人，女生 12 人 类型二、利用不等式（组）进行方案设计类型二、利用不等式（组）进行方案设计 2温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销 售，要求运往C地的件数是运往A地件数的 2 倍，各地的运费如图所示设安排x件产品运往A地 (1)当n200 时， 根据信息填表： A地B地C地合计 产品件数(件)x2x200 运费(元)30 x 若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过 4000 元，则有哪几种运输方案？ (2)若总运费为 5800 元，求n的最小值 【思路点拨】 (1)运往B地的产品件数总件数n运往A地的产品件数运往C地的产品件数：运费相应 件数一件产品的运费； 根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过 4000 元列出不等式组，求得整数解 的个数即可； (2)总运费A产品的运费B产品的运费C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中得到 的x的取值求得n的最小值即可 【答案与解析】 (1)根据信息填表： A地B地C地合计 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 产品件数(件)2003x 运费(元)1 60024x50 x56x1 600 由题意得 20032 1600564000 xx x 解得 40x42. 6 7 x为正整数，x40 或 41 或 42，有 3 种方案，分别为： ()A地 40 件，B地 80 件，C地 80 件； ()A地 41 件，B地 77 件，C地 82 件； ()A地 42 件，B地 74 件，C地 84 件 (2)由题意得 30 x8(n3x)50 x5800， 整理得n7257x. n3x0，x72.5. 又x0，0x72.5 且x为正整数 n随x的增大而减小，当x72 时，n有最小值为 221. 【总结升华】 考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值 n 的最小 值. 举一反三：举一反三： 【变式变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和 2 台乙型污水处理设备，共花费 资金 54 万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的 75%，实际运行中发现，每台甲型设备每 月能处理污水 200 吨，每台乙型设备每月能处理污水 160 吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费 和电费为 1 万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为 1.5 万元.今年该厂二期工程即将完 成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理， 要求本次购买资金不超过 84 万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于 1300 吨污水. （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案； （3）若两种设备的使用年限都为 10 年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最 少？（总费用设备购买费各种维护费和电费） 【答案】 解：（1）设一台甲型设备的价格为 x 万元，由题意 3x+20.75x=54，解得 x12， 1275%9，一台甲型设备的价格为 12 万元，一台乙型设备的价格是 9 万元 (2)设二期工程中,购买甲型设备 a 台,由题意有 12a+9(8-a)84； 200a+160(8-a)1300，解得： 1 2 a4， 由题意 a 为正整数,a1,2,3,4 所有购买方案有四种,分别为 方案一:甲型 1 台,乙型 7 台；方案二:甲型 2 台,乙型 6 台 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 方案三:甲型 3 台,乙型 5 台；方案四:甲型 4 台,乙型 4 台 (3)设二期工程 10 年用于治理污水的总费用为 W 万元， W=12a+9（8-a）+110a+1.510（8-a） ， 化简得:W=2a192, W 随 a 的增大而减少 当 a4 时,W 最小（逐一验算也可） 按方案四甲型购买 4 台,乙型购买 4 台的总费用最少. 类型三、利用方程（组）类型三、利用方程（组） 、不等式（组）综合知识进行方案设计、不等式（组）综合知识进行方案设计 3在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造根据预 测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金 480 万元，改造三所A类学校和一所B类学校 的校舍共需资金 400 万元 (1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ (2)该县A、B两类学校共有 8 所需要改造改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财 政拨付资金不超过 770 万元，地方财政投入的资金不少于 210 万元，其中地方财政投入到A、B两类学 校的改造资金分别为每所 20 万元和 30 万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两 类学校各有几所 【思路点拨】 （1）等量关系为：改造一所 A 类学校和三所 B 类学校的校舍共需资金 480 万元；改造三所 A 类学校和 一所 B 类学校的校舍共需资金 400 万元； （2）关系式为：地方财政投资 A 类学校的总钱数+地方财政投资 B 类学校的总钱数210；国家财政投 资 A 类学校的总钱数+国家财政投资 B 类学校的总钱数770 【答案与解析】 解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元， 则 3480 3400 xy xy ，解得 90 130 x y . 答：改造一所A类学校的校舍需资金 90 万元，改造一所B类学校的校舍需资金 130 万元 (2)设A类学校应该有a所，则B类学校有(8a)所 则 2030(8) (90-20)(13030)(8) aa aa 210 770 ，解得 a a 3 1 ， 1a3，即a1,2,3. 答：有 3 种改造方案： 方案一：A类学校有 1 所，B类学校有 7 所； 方案二：A类学校有 2 所，B类学校有 6 所； 方案三：A类学校有 3 所，B类学校有 5 所 【总结升华】 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系理解“国家财政 拨付的改造资金不超过 770 万元，地方财政投入的资金不少于 210 万元”这句话中包含的不等关系是 解决本题的关键 举一反三：举一反三： 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 【变式变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖 品已知 5 个文具盒、2 支钢笔共需 100 元；4 个文具盒、7 支钢笔共需 161 元 (1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？ (2)时逢“五一” ，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔 10 支 以上超出部分“八折”优惠若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于x的函 数关系式； (3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过 10 件，请你分析买哪种奖品省钱 【答案】 解：(1)设每个文具盒x元，每支钢笔y元，由题意得 52100 47161 xy xy ，解得 14 15 x y . 答：每个文具盒 14 元，每支钢笔 15 元 (2)由题意知，y1关于x的函数关系式为y11490%x，即y112.6x. 由题意知，买钢笔 10 支以下(含 10 支)没有优惠，故此时的函数关系式为y215x. 当买 10 支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y215101580%(x10)， 即y212x30. (3)当y1y2，即 12.6x12x30 时，解得x50. 综上所述，当购买奖品等于 10 件但少于 50 件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于 50 件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过 50 件时，买钢笔省钱 类型四、利用函数知识进行方案设计类型四、利用函数知识进行方案设计 4深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，全部运往大运 赛场A、B两馆，其中运往A馆 18 台、运往B馆 14 台运往A、B两馆的运费如下表： 出发地 目的地甲地乙地 A馆800 元/台700 元/台 B馆500 元/台600 元/台 (1)设甲地运往A馆的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y(元)与x(台)的函数关系式； 出发地 目的地甲地乙地 A馆x(台)_(台) B馆_(台)_(台) (2)要使总运费不高于 20200 元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； (3)当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？ 【思路点拨】 （1）根据甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场 A、B 两馆， 其中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台，得出它们之间的等量关系； （2）根据要使总运费不高于 20200 元，得出 200 x+1930020200，即可得出答案； （3）根据一次函数的增减性得出一次函数的最值 【答案与解析】 解：(1) 出发地目的地甲地乙地 A馆x台(18x)台 B馆(17x)台(x3)台 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 依题意，得y800 x700(18x)500(17x)600(x3)， 即y200 x19300(3x17) (2)要使总运费不高于 20200 元， 200 x1930020200，解得x . 9 2 3x17，且设备台数x只能取正整数， x只能取 3 或 4. 该公司的调配方案共有 2 种，具体方案如下： 出发地目的地甲地乙地 A馆3 台15 台 B馆14 台0 台 出发地目的地甲地乙地 A馆4 台14 台 B馆13 台1 台 (3)由(1)和(2)可知，总运费y200 x19300(x3 或x4) 由一次函数的性质可知， 当x3 时，总运费最小，最小值为 ymin20031930019900(元) 【总结升华】 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用 x 表示出运 往各地的台数是解决问题的关键 类型五、利用几何知识进行方案设计类型五、利用几何知识进行方案设计 【高清课堂：方案设计与决策型问题 例 1】 5某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形 ABCD 是矩形，分别以 AB、BC、 CD、DA 边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为 628 米，矩形的边长 AB=y 米,BC=x 米.(注：取 =3.14) (1)试用含 x 的代数式表示 y； (2)现计划在矩形 ABCD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为 428 元,在四个半圆的区 域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为 400 元； 设该工程的总造价为 W 元，求 W 关于 x 的函数关系式； 若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说 明理由. 若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 BC 的长 不超过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请 列出所有可能的设计方案，