2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及答案

2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题说明：本试卷共30小题，共100分在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分1、设复数，则=（ ）A0B1C1/2D3/22、设an为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+qk+l”是“ap+aqak+al”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3、设A,B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点若OAOB，则（ ）A|OA|OB|2B|OA|+|OB|2C直线AB过抛物线y=x2的焦点DO到直线AB的距离小于等于14、设函数f(x)的定义域为(1,1)，且满足：f(x)0，x(1,0)；，x,y(1,1)，则f(x)为（ ）A奇函数B偶函数C减函数D有界函数5、如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)kx有（ ）A2个极大值点B3个极大值点C2个极小值点D3个极小值点6、ABC的三边分别为a,b,c若c=2，C=，且sinC+sin(BA)2sin2A=0，则（ ）A b=2aBABC的周长为CABC的面积为DABC的外接圆半径为7、设函数，则（ ）Af(x)有极小值，但无最小值Bf(x)有极大值，但无最大值C若方程f(x)=b恰有一个实根，则D若方程f(x)=b恰有三个不同实根，则8、已知，已知AB=(x1,y1),(x2,y2)，则（ ）ABC， D9、已知非负实数x,y,z满足，则的最小值为（ ）A1B2C3D410、设数列an的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（ ）Aan可能为等差数列Ban可能为等比数列Can的任意一项均可写成an的两项之差D对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）A甲B乙C丙D丁12、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则A到平面A1BD的距离为（ ）ABCD13、设不等式组 所表示的区域为D，其面积为S，则（ ）A若S=4，则k的值唯一B若S=1/2，则k的值有2个C若D为三角形，则0414、ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则（ ）A0B15C21/2D29/215、设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(AB)=0.2，则（ ）AP(A)=0.4BP(BA)=0.3CP(AB)=0.2DP(A+B)=0.916、过ABC的重心作直线将ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）A最小值为3/4B最小值为4/5C最大值为4/3D最大值为5/417、从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）A105种B225种C315种D420种18、已知存在实数r，使得圆周x2+y2=r2上恰好有n个整点，则n可以等于（ ）A4B6C8D1219、设复数z满足2|z|z1|，则（ ）A|z|的最大值为1B|z|的最小值为1/3Cz的虚部的最大值为2/3Dz的实部的最大值为1/320、设m,n是大于零的实数，向量a=(mcos, msin)，b=(ncos, nsin)，其中,0,2)定义向量，记=，则（ ）ABCD21、设数列an满足：，则（ ）AnN* ，ancosBB tanAcotBC a2+b2c2D a3+b3c325、设函数f(x)的定义域是(1,1)，若f(0)=f(0)=1，则存在实数(0,1)，使得（ ）A f(x)0，x(,)B f(x)在(,)上单调递增C f(x)1， x(0,)D f(x)1， x(,0)26、在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(1,0)若对于y轴上的任意n个不同点P1,P2,Pn，总存在两个不同点Pi,Pj，使得|sinAPiBsinAPjB|1/3，则n的最小值为（ ）A3B4C5D627、设非负实数x,y满足2x+y=1，则的（ ）A最小值为4/5 B最小值为2/5 C最大值为1D最大值为28、对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）A存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29、从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ）