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2016年北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题文科生做前5题，理科生做后5题，每题20分1设关于x的方程sin2x+cosx+a=0在实数范围内有解，求实数a的取值范围2设a,b,c均为正数且a,b,c成等差数列，判断，是否成等差数列，并说明理由3设a,b,c为实数，证明：对任意实数x都有(xa)2+(xb)2c当且仅当(ab)22c4已知复数z1,z2满足z1与z1+z2有相同的模且，其中a为非零实数，求的值5一条直线与双曲线交于A,B两点，与此双曲线的渐近线交于C,D两点，证明：线段AC与BD的长度相等6设,均为锐角，满足sin2+sin2=sin(+)，求+的值7已知ABC的面积为1，D,E分别是边AB,AC上的点，F为线段DE上的一点，设AD:AB=x,AE:AC=y,DF:DE=z且y+zx=1求BDF的面积的最大值并求出此时x,y,z的值2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案1题中方程有解即a=sin2xcosx有解，从而有2由题意知ba=cb= (ca)/2，所以从而得，是等差数列3对题中不等式整理得2x22(a+b)x+(a2+b2c)0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式=4(a+b)28(a2+b2c)=42c(ab)20,等价于2c(ab)2，命题得证4由题意知：，化简得因为，所以，代入上面的式子得于是有5以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近线方程可以表示为其中=1时为双曲线，=0时为渐近线设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有两式相减得同样有因为A,B,C,D四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD；当此直线的斜率k存在且不为零时，有即AB的中点与CD的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到6显然当+=/2时，等式成立；由已知条件知sin2+sin2=sincos+cossin ,整理得sin(sincos)=sin(cossin).若+/2，则有sincos与cossin同号若它们同为正，则有sincos=sin(/2),cos=sin(/2)sin,从而有/2, /2,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾综上，+=/27如图，连结BE：由三角形的面积公式S=absinC可以得到SADE=xySABC=xy, SBCE=(1y)SABC=1y,所以有SBDE=1xy(1y
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