江苏省2016年专转本高等数学模拟试卷及解答

江苏省 2016 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 模拟卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上） 1当0 x 时， 2 e(1) x axbx+ 是比 2 x 高阶的无穷小，则 A A 1 1 2 ab=， B11ab=， C 1 1 2 ab= = ， D11ab= =， 解 依题意 2 2 000 e(1)e2e212 0limlimlim 222 xxx xxx axbxaxbaa xx + =，得 1 2 a =，又由 0 lim(e2)10 x x axbb = =，得到1b =答案：A 2设曲线 1 ( )sinf xx x =，则曲线 A A有且仅有水平渐近线 B有且仅有垂直渐近线 C既有水平渐近线，又有垂直渐近线 D既无水平渐近线，又无垂直渐近线 解 由 11 lim( )lim sinlim1 xxx f xxx xx =， 知曲线又一条水平渐近线1y =， 0 1 lim( )lim sin0 xx f xx x =， 没有垂直渐近线答案：A 3设 ( ) 0 ( ) 00 f x x F xx x = = ， ， ， 其中( )f x 在0 x = 可导，(0)0(0)0ff=， ，则0 x =是( )F x 的 A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D第二类间断点 解 000 ( )( )(0) lim( )limlim(0)0(0) xxx f xf xf F xfF xx =，0 x =是( )F x的可去间断点答案：B 4设(e ) x yf= ，则dy = A(e )d x fx B(e )de xx f C (e )de xx f D(e )e de xxx f 解 dd (e )(e )d(e ) xxx yf f =，答案：B 5设()f x y， 连续函数，则二次积分 1 4 00 d( cossin ) df rrr r ，可化为 C A 2 2 1 2 0 d()d x x xf x yy ， B 2 2 1 2 00 d()d x xf x yy ， C 2 2 1 2 0 d()d y y yf x yx ， D 2 2 1 2 00 d()d y yf x yx ， 2 2 2 1yx= yx= 6下列级数中绝对收敛的是 C A 1 ( 1) 21 n n n n = + B 1 1( 1)n n n = + C 2 1 ( 1)n n n = D 1 ( 1)n n n = 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7已知 2 lim8 x x xa xa + = ，则a = ln2 解 3 3 3 23 8limlim1e ax x a x a x a a xx xaa xaxa + =+= ，3ln83ln2a =，ln2a = 8曲线 2 3 1xt yt = + = 在2t = 的切线方程为 37yx= 解 当2t =时，58xy=， 2 d 3 d y t t =， d 2 d x t t =， 2 d d33 d d d22 d y yt t t x xt t =， 2 d 3 d t y x = =， 切线方程为83(5)yx=，即37yx= 9定积分 1 2 1( 1) 1dxxx += 2 解 111 222 111 (1) 1d1d1d 2 xxxxxxxx +=+= 10已知a b ，都是单位向量，且a 与2ab 垂直，则a 与b 的夹角等于 3 解 由2aab ，得0(2 )212aaba aa ba b= ， 1 2 a b= ， 1 cos( , ) 2| a b a b a b = ，所 以a 与b 的夹角等于 3 11设 sin() e xy z =，则dz = sin() decos()( dd ) xy zxyy xx y=+ 解 sin() ecos() xy z xyy x = ， sin() ecos() xy z xyx y = ， sin() dddecos()( dd ) xy zz zxyxyy xx y xy =+=+ 、 12幂级数 2 1 ( 1) 2 n n n n x n = 的收敛域为 2,2 解 1 2(1) 221 2 ( 1) (1)2 limlim ( 1)212 2 n n n n nn n n x xnxn n x n + + + + = + ， 2 2x ，|2x ， 当2x = 时 ， 幂 级 数 为 2 11 ( 1)( 1) = 2 nn n n nn x nn = 收敛，当2x =时，幂级数为 2 11 ( 1)( 1) = 2 nn n n nn x nn = 收敛，因而收敛域为 2,2 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 13 求极限 20 esin1 lim 11 x x x x 解 20000 2 esin1esin1ecos lim=limlimlim(esin )1 1 11 () 2 xxx x xxxx xxx x x x x =+= 14 设函数( )yy x=由方程1exyyx= +所确定，求 0 d d x y x = ， 2 2 0 d d x y x = 解 当0 x =时，1y =，方程两边同时对x求导得ee () xyxy yxyxy=+，将此式再对x求导得 2 e ()e ()e ()e () xyxyxyxy yyxyyxyxyxyxyyxy=+， 因 而 将0 x=，1y =代 入 得 0 d =1 d x y x = ， 2 2 0 d 2 d x y x = = 15 已知( )f x的一个原函数为 sin x x ，求不定积分 3 ( )dx fx x 解 依题意有 2 sincossin ( )() xxxx f x xx =，于是 333332 ( )dd ( )( )( )d( )3( )dx fx xxf xx f xf x xx f xx f x x= 32322 sinsinsin ( )3d( )3(d) xxx x f xxx f xxx xxx = 33 ( )3( sin2 sin d )( )3 sin6cosx f xxxx xx f xxxxc=+ 3 2 cossin 3 sin6cos xxx xxxxc x =+ 2 cos4 sin6cosxxxxxc=+ 16 计算定积分 2 1 1 2 2 1 d x x x 解 设sinxu=，则当 1 2 x=时， 4 u =；当1x=时， 2 u =于是有 22 2 4 44 22 1 1 222 2 1cos1 dd(1)d( cot)1 sinsin4 xx xuuuu xxx = = 17 求 通 过 两 平 面 1 220 xyz+=：和 2 32210 xyz+ =：的 交 线 ， 并 与 平 面 3 32360 xyz+=：垂直的平面方程 解 平面 1 与 2 交线的方向向量21147 322 ijk sijk= + ，依题意所求平面的法向量 41717911 323 ijk nijk= = ，令1z =，得平面 1 与 2 交线上一点(1 1 1)，于是所求平面方程 为17(1)9(1)11(1)0 xyz=，即1791130 xyz+= 18 设函数( )( ) xy zyfx yx =+，其中函数f，具有二阶连续偏导数，求 22 2 zz xy xx y + 解 设 x u y =， y v x =，则( )( )zyf uxv=+，于是 2 1 () zfy yxyfx xxxyx =+=+ y f x =+； 22 222233 11111 ()() zfyyy yfyf xxxxxxyxxxyx =+=+ ； 2 222 111 ()() zfxyxy yff x yyyxyyxxxyx =+= += 则 222 2322 1 ()()0 zzyxy xyxfyf xx yyxyx +=+= x f u y x v y 19 已知函数ee xx yyx =，是二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy+=的两个特解，求微 分方程2e x ypyqy +=的通解 解 依题意二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy+=的特征方程有两相等的实根 12 1rr= ， 因 而特征方程为 2 (1)0r +=， 即 2 210rr+ =， 因而线性微分方程为22e x yyy +=， 由于1= 是 特征二重根，设特解 *2ex yAx =， *22 2ee(2)e xxx yAxAxAxAx = = +， *22 ( 22 )e(2)e(42 )e xxx yAxAAxAxAxAxA = + +=+ ，代入方程得22A=，即有1A=， 则 *2ex yx =，所求方程的通解为 2 12 ()ee xx ycc xx =+ 20计算二重积分 22 (+)d d D xyx y ，其中D是由yx= ， 2222 420 xyxxy+=+=，所围成在第一、 第二象限的平面闭区域 解 3 42 22cos 2233 0000 (+)d ddddd D xyx yrrrr = 3 2 4 0 22cos 44 0 00 11 d 44 rrr = 2 4 0 34cosd = 3 19 34 4 2 24 = 四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 21 过点(1 0)P，作曲线2yx=的切线求（1）切线方程； （2）曲线、切线及x轴所围成的平 面图形的面积； （3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积 解 （1）设切点坐标为 00 (,2)xx ，于是切线方程为 00 0 1 2() 22 yxxx x = ，由于切线经过点(1 0)P， 得 00 0 1 2(1) 22 xx x = ，解得 0 3x =，所求切线方 程为 1 1(3) 2 yx =，即 11 22 yx= （2）平面图形面积 1 1 232 0 0 11 2(21)d() 33 syyyyyy=+=+= 1 1 2 3 （3） 3 3 2 2 2 221 (2)d(2 ) 3326 x Vxxxx = 1 11 222452 00 0 16 (2)(21) d(43)d(23 ) 55 y Vyyyyyyyyy =+=+=+= 22 设曲线( )yf x=上一点()x y，处切线的斜率为 2 4 y x x +，且曲线经过(1 1)，点，试求： （1）函数( )f x的表达式； （2）函数( )f x的单调区间与极值； （3）曲线( )yf x=的凹凸区间与拐点 解 依题意有 2 4 y yx x = +，即有 2 4 y yx x =则 1 ( )p x x = ， 2 ( )4q xx=，于是 11 ()d()d ( )d( )d 22 e( )ed)e( 4ed)(2) xx p xxp xx xx yq xxcxxcxxc =+=+=+ （1）曲线经过(1 1)，点，代入得1c = ，函数( )f x的表达式为 3 ( )2f xxx= （2） 2 ( )61fxx=，令( )0fx=得驻点 1 1 6 x = ， 2 1 6 x =， x 1 (,) 6 1 6 11 (,) 66 1 6 1 (,) 6 + ( )fx + 0 0 + ( )f x 极大值 6 9 极小值 6 9 由表可知：函数在 1 (,) 6 、 1 (,) 6 +内单调增加；而在 11 (,) 66 内单调减少在 1 6 x = 取得极大值 16 () 96 f =，在 1 6 x =取得极小值 16 () 96 f= （3）( )12fxx=，令( )0fx=得0 x =，当0 x ，故曲 线在(,0)内是凸的，在(0,)+内是凹的，点(0,0)是曲线的拐点 五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23 证明不等式 22 1ln(1)1xxxx+ 证明 设 22 ( )1ln(1)1f xxxxx= +， 2 22 ( )ln(1) 11 xx fxxx xx =+ + 2 ln(1)xx=+，令( )0fx=得唯一驻点0 x =，又(0)10 f = ，故( )f x在0 x =处取得极小值，从 而( )f x在0 x =处取得最小值(0)0f=，因而有( )0f x ，即有 22 1ln(1)1xxxx+ 24设 1 0 ( )(