四川省成都市高三数学第二次诊断性检测试题理（含解析） (1)

四川省成都市2019届高三数学第二次诊断性检测试题 理（含解析）注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。2考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本大题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集，集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】进行交集、补集的运算即可【详解】UBx|2x1；A（UB）x|1x1故选：A【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算2.已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出c2，再根据1+b2c24，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程.【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c4，即c2，1+b2c24，b，双曲线C的渐近线方程为yx，故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3.已知向量,则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. C. 1D. 1【答案】A【解析】【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又，故选：A【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题4.已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件【详解】条件乙：，即为若条件甲：ab0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：ab0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。其中所有正确结论的编号为：（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得【详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确故选：C【点睛】本题考查了茎叶图，属基础题平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.6.若,且,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式将-()进行转化求解即可【详解】-()，sin（）0，0，则cos（），sin，cos，则sinsin-()sincos（）-cossin（）（），故选：B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将-()进行转化是解决本题的关键，是基础题7.已知是两条异面直线,直线与都垂直,则下列说法正确的是（ ）A. 若平面，则B. 若平面，则,C. 存在平面，使得,D. 存在平面，使得,【答案】C【解析】【分析】在A中，a与相交、平行或a；在B中，a，b与平面平行或a，b在平面内；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面，使得c，a，b；在D中，ab，与已知a，b是两条异面直线矛盾【详解】由a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，知：在A中，若c平面，则a与相交、平行或a，故A错误；在B中，若c平面，则a，b与平面平行或a，b在平面内，故B错误；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面，使得c，a，b，故C正确；在D中，若存在平面，使得c，a，b，则ab，与已知a，b是两条异面直线矛盾，故D错误故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。8.将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度,得到函数的图像,若函数的部分图像如图所示,则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象求出A，和的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象【详解】由图象知A1，（），即函数的周期T，则，得2，即g（x）sin（2x+），由五点对应法得22k+，k,得，则g（x）sin（2x），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）sin2（x）sin（2x）=，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，和的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键9.已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据f（x）的图象关于直线x1对称，即可得出f（2x）f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0x1时，f（x）x3，从而得出【详解】f（x）是奇函数，且图象关于x1对称；f（2x）f（x）；又0x1时，f（x）x3；故选：B【点睛】考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于xa对称时，满足f（2ax）f（x），以及已知函数求值的方法10.已知且为常数,圆,过圆内一点的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2xy0垂直，再由斜率的关系列式求解【详解】圆C：化简为圆心坐标为，半径为如图，由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直则，即a3故选：B【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.11.用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（ ）A. 479B. 480C. 455D. 456【答案】C【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分3种情况讨论：，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，此时有3A55360种情况，即有360个大于420789的正整数，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3A4472种情况，即有72个大于420789的正整数，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有A4424种情况，其中有420789不符合题意，有24123个大于420789的正整数，则其中大于420789的正整数个数有360+72+23455个；故选：C【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题12.某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,则区域内面积(单位：)的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，ABC是直三角形，DEF是等边三角形，可得CBA，B；设CED；DEx，那么BFE+；则CExcos，在三角形BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解DEF区域内面积的最小值【详解】ABC是直三角形，AB20m，AC10m，可得CB，DEF是等边三角形，设CED；DEx，那么BFE+；则CExcos，BFE中由正弦定理，可得可得x，其中tan；x；则DEF面积S故选：D【点睛】本题考查正弦定理，三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值问题，是中档题，二、填空题：本大题共4小题。把答案填写在答题卡相应位置上。13.已知复数,则_。【答案】【解析】【分析】根据复数的计算及模长意义即可求出【详解】复数z，则|z|，故答案为：【点睛】本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题14.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,若,则球的表面积为_。【答案】【解析】【分析】由题意得，构造以为边的正方体求其外接球即可求解【详解】由题知则以为边的正方体的外接球即为所求，设半径为R,则2R=,故球的表面积为故答案为：3【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15.在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离为,已知点,则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】d（O，C）|x|+|y|1，利用三角换元求最值即可得出【详解】d（O，C）|x|+|y|1，令 |x|=，|y|= ,则|x|，|y|故故答案为：【点睛】本题考查了三角换元法求函数最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是_.【答案】6【解析】【分析】设直线l的方程为：ykx+1，A（），B（）联立化为：x24kx40，利用根与系数的关系可得|AB|k（）+4对x24y两边求导可得：y，可得切线PA的方程为：y（x），切线PB的方程为：y（x），联立解得P点坐标，可得代入|PF|，利用导数研究函数的单调性极值即可得出【详解】设直线l的方程为：ykx+1，A（），B（联立，化为：x24kx40，可得：4k，4，|AB|k（）+44k2+4对x24y两边求导可得：y，可得切线PA的方程为：y（x）切线PB的方程为：y（x），联立解得：x（）2k，y1P（2k，1）|PF|PF|，令t2则|PF|tf（t），f（t）1，当t4, f（t）0;t4, f（t）0可得t4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）6当且仅当k时取等号故答案为：6【点睛】本题考查了抛物线的综合应用,标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.（1）求数列的通项公式（2）记,求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出【详解】（1）由题意，得.又， ，或， ，. . （2）由（），知. . . . .【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18.为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订中华人民共和国个人所得税法之后，发布了个人所得税专项附加扣除暂行办法，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22列联表：40岁及以下40岁以上合计基本满意153045很满意251035合计404080（1）根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分（单位：分）给予相应的住房补贴（单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲：;方案乙：.已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“类员工”的概率。附：，其中.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由列联表计算的观测值即可求解；（2）由题得8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况，进一步得到“类员工”的人数，再利用古典概型求解即可【详解】（1）根据列联表可以求得的观测值：. .有99%的把握认为满意程度与年龄有关（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为：积分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000560056005600900090009000由表可知，“类员工”有5名. 设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“类员工”的概率为.则 【点睛】本题考查独立性检验，古典概型计算，熟练计算是关键，是基础题19.如图，在等腰梯形中，分别为，的中点，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图所示的多面体在图中，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值。【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得EFAB，EFCD，折叠后，EFDF，EFCF，利用线面垂直的判定得EF平面DCF，从而得到EFMC；（2）由平面平面，得平面，得，进一步得，两两垂直.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，求解即可【详解】（1）由题意，可知在等腰梯形中，分别为，的中点，. 折叠后，. ，平面.又平面，. （2）平面平面，平面平面，且，平面，两两垂直.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.，.，.，.设平面，平面的法向量分别为，.由，得.取，则.由，得.取，则.， 二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间中直线与平面垂直的判定，空间向量求二面角，考查空间想象能力与思维能力，熟练计算是关键，是中档题20.已知椭圆的短轴长为，离心率为。（1）求椭圆的标准方程;（2）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点，为椭圆上位于轴上方的两点，且，记直线，的斜率分别为，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得：2b4，a2b2+c2联立解出即可得出椭圆C的标准方程（2）A（3，0），B（3，0），F1（1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：xmy1，M（），（0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M（）由根据对称性可得：.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y216my640，根据根与系数的关系及其，得0，联立解得m【详解】（1）由题意，得，.又，. 椭圆C的标准方程为 （2）由（1），可知，.据题意，直线的方程为 记直线与椭圆的另一交点为，设，.，根据对称性，得.联立，消去，得，其判别式，.由，得，即.由，解得， ，.直线的方程为，即.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题21.已知函数，.（1）若，求实数取值的集合；（2）证明：【答案】（1）.（2）见证明【解析】【分析】（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；（2）由（1），可知当时，即在恒成立. 要证，只需证当时，.构造，证明即可【详解】（1）由已知，有. 当时，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增. 在上有最小值 由题意，.令.当时，单调递增；当时，单调递减.在上有最大值. ，综上，当时，实数取值的集合为. （2）由（1），可知当时，即在恒成立.要证，只需证当时，.令.则.令.则.由，得. 当时，单调递减；当时，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.而，使得. 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增. 又，对，恒成立，即.综上所述，成立.【点睛】本题考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式，