四川遂宁第二中学学高二数学上学期期中

1 四川省遂宁市第二中学四川省遂宁市第二中学 2019-20202019-2020 学年高二数学上学期期中试题学年高二数学上学期期中试题 （考试时间（考试时间 120120 分钟，总分分钟，总分 150150 分）分） 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.直线的倾斜角为（ ）013 yx A. B. C. D. 0 30 0 45 0 60 0 120 2无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ） m :120l mxym A. B.C.D. -2 1 ，2, 12,12, 1 3.圆和圆的位置关系是（ ）02: 22 1 xyxO04: 22 2 yyxO A.相交 B.外离 C.外切 D. 内切 4若直线与圆有公共点，则实数的取值范围（ ）20 xya 2 2 11xya A B 2525a 2525a C D55a55a 5已知两条直线 m，n，两个平面 ，给出下列四个说法： mn，mn；，m，nmn； mn，mn；，mn，mn. 其中正确说法的序号是( ) A B C D 6如果 ac0 且 bc0，那么直线 axbyc0 不通过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7直线 2x3y60 关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A3x2y60 B2x3y70 C3x2y120 D2x3y80 8.若 x,y 满足约束条件的取值范围是（ ） x0 x+y-30z2 x-2y0 xy ，则 A. 0,6B. 0,4C. 6, D. 4, +） +） 2 9下列命题中，错误的是（ ） A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两条直线一定平行 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.若直线 不平行于平面， ，且l不在平面，则在平面内不存在与 平行的直线 l内l 10已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最 22 :680C xyx1yx 小值为( ) A1B2CD 23 11.曲线4)2(41 2 xkyxy与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. 12 5 , 0 B. , 12 5 C. 4 3 , 3 1 D. 4 3 , 12 5 12在平面直角坐标系中，点满足， 4,0A 1,0B ,0P a bab 2APBP 则的最小值为（ ） 22 41 ab ABCD 49 3 2 9 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13经过点 P(2，1)和点 Q(3，)的直线与倾斜角是 45的直线平行，则a _.a 14.经过点,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程3, 4P 表示） 15如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90，F是AC的中点，E是PC上 的点，且EFBC，则_. PE EC 3 16在棱长为 1 的正方体中，点是对角线上的动点（点与 1111 ABCDA B C D M1 AC M 不重合） ，则下列结论正确的是_. 1 AC、 存在点存在点，使得平面，使得平面平面平面； 存在点存在点，使得，使得平面平面； M 1 ADM 1 BC D MDM / / 11 BCD 的面积不可能等于的面积不可能等于； 1 A DM 3 6 若若分别是分别是在平面在平面与平面与平面的正投影的面积，则存在点的正投影的面积，则存在点， 12 ,S S 1 ADM 1111 A B C D 11 BBC C M 使得使得. . 12 SS= 三解答题：三解答题：( (本大题共本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 17 （本小题满分 10 分） （1）求过点(2,1)且与直线 2xy10 垂直的直线方程； （2） 求过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线 方程 18已知圆 C 的圆心在直线 x2y3=0 上，并且经过 A（2，3）和 B（2，5） ，求圆 C 的标准方程 4 19如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点(1) 求证：PQ平面DCC1D1； (2)求证：ACEF. 20. 电视台为某个广告公司特约播放两套片集，其中片集甲播映时间为，广告时 20min 间为，收视观众为万；片集乙播映时间为，广告时间为，收视观 1min6010min1min 众为万.广告公司规定每周至少有广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于 206min 的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？ 86min 21（文科）. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面 PABCDABCDPAD ，且，为的中点， （1） ABCD2PAAD120PABPAD EPDAEEC 求证：平面；（2）求三棱锥的体积 /PBEACBACE 21（理科）.如图，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形， 5 ADBC，AD2BC2，BCDC，BAD60，平面 PAD底面 ABCD，E 为 AD 的中点， PAD 为正三角形，M 是棱 PC 上的一点(异于端点) (1)若 M 为 PC 的中点，求证：PA平面 BME； (2)是否存在点 M，使二面角 MBED 的大小为 30.若存在，求出点 M 的位置；若不存在，说 明理由 22 . 已知点，均在圆上. 1 51,0P 2 51,0P 3 1,1P C （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求的长； C 310 xy CAB AB （3）设过点的直线 与圆相交于、两点，试问：是否存在直线 ，使得以 1,0 lCMNl 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. MNOl 6 遂宁二中高遂宁二中高 20212021 级级 2019201920202020 学年第一学年第一 学期半期考试学期半期考试 数学答案数学答案 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.C 2 A 3.A 4 C 5. C 6. C 7. D 8. D 9【9【解析解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另 一个平面相交，故 A 正确；平行于同一直线的两个平面有两种位置关系，可能平行，也可 能相交，B 错误；如果一个平面内存在直线垂直于平面，则平面一定垂直于平面 ，故 C 正确若直线 不平行于平面，且 不在内，则 与相交，则在平面内 lll 不存在与 平行的直线；故选 B l 10. A 11.D 12【解】，化简得，则 2APBPQ 22 22 421abab22 4ab ，由基本不等式得 22 1 44 ab ， 222222 22222222 4141559 2 4444444 abbaba abababab 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D. 22 2ab 22 41 ab 9 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13 4 14.或430 xy70 xy 15【15【解析解析】在三棱锥PABC中，因为PA底面ABC，BAC90，所以AB平面APC. 因为EF平面PAC，所以EFAB，因为EFBC，BCABB， 所以EF底面ABC，所以PAEF，因为F是AC的中点，E是PC上的点， 所以E是PC的中点，所以1.答案：1. PE EC 7 16【解】 如图 当是中点时，可知也是中点且， M1 AC M 1 AC 11 BCBC 111 ABBC ，所以平面，所以，同理可知，且 1111 ABBCB 1 BC 11 ABC 11 BCAM 1 BDAM ，所以平面，又平面，所以平面平 1 BCBDB 1 AM 1 BC D 1 AM 1 ADM 1 ADM 面，故正确； 1 BC D 如图 取靠近的一个三等分点记为，记，因为 1 AC AM 1111 ACB DO 1 OCACN ，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为 11 ACACA 11 1 2 OCC N ACAN N 1 AC 1 C N 中点，又为中点，所以，且， 1 MC O11 AC 1 AMNOA 11 ADBCA 111 AMADA ，所以平面平面，且平面，所以平面 1 NOBCC 1 ADM A 11 BCD DM 1 ADMDM A ，故正确； 11 BCD 8 如图 作，在中根据等面积得：，根据对称性可知： 11 AMAC 11 AACA 1 126 33 AM ，又，所以是等腰三角形，则 1 6 3 AMDM 2AD 1 ADMA ，故错误； 1 22 1623 2 2326 A DM S A 如图 设，在平面内的正投影为，在平面 1 AMaAC 1 ADM 1111 DCBA 111 AD M 1 ADM 内的正投影为，所以， 11 BBC C 12 BCM 111 1 12 2 222 A D M a SSa ，当时，解得：，故正确. 故 12 2 121 2 22 222 B CM a SSa 12 SS= 1 3 a 填：. 三解答题：三解答题：( (本大题共本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 17解：（1）与 2xy10 垂直的直线方程可设为 x2ym0.又直线过点(2,1)， 所以 22m0，m0.故所求直线方程为 x2y0. （2） 联立得Error!，解得Error!， 两直线交点为(0,4)，又与 2x+y-1=0 平行的直线的斜率为2， 所求直线方程为y42x，即 2xy40. 18 【解】由已知，线段 AB 的中垂线所在直线与直线 x2y3=0 的交点即为圆 C 的圆心 9 线段 AB 的斜率为：KAB=，线段 AB 的中垂线所在直线的斜率为=2， 又线段 AB 的中点为（0，4） ， 线段 AB 的中垂线所在直线方程为：y+4=2x，即 2x+y+4=0 由，求得，圆 C 的圆心坐标为（1，2） 圆 C 的半径 r 满足：r2=（2+1）2+（3+2）2=10， 圆 C 的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10 19 【解】(1)如图所示，连接CD1. P、Q分别为AD1、AC的中点PQCD1. 而CD1平面DCC1D1，PQ/平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1. (2)如图，取CD中点H，连接EH，FH. F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH/D1D. 而D1D面ABCD，FH面ABCD，而AC面ABCD，ACFH. 又E、H分别为BC、CD的中点，EHDB.而ACBD，ACEH. 因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC平面EFH， 而EF平面EFH，所以ACEF. 21. 【解】设片集甲、乙分别播映、集，设收视观众为万人， x y z 则变量、满足的约束条件为，目标函数为. x y 6 211186 , xy xy x yN 6020zxy 作出可行域如下图所示： 10 平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距 6020zxy6020zxy 2,4A x 最大，此时取得最大值，（万） ， z max 60 220 4200z 答：电视台每周片集甲播映集，片集乙播映集，其收视率最高. 24 文科 21.【解】 （1）证明：连接，交于点，连接 BDACOEO 为的中点，为的中点，为的中位线， ，且 EPDOBDEOPBD/PB EO 1 2 EOPB 又平面，平面，平面 EO EACPB EAC/PBEAC （2）在中， PAB2PAAB120PAB 由余弦定理得， 222 2cos12012PBPAABPA AB 2 3PB 3EO ，且为的中点，在中， AEECOAC22 3ACEOABO 22 1BOABAO 在平面内，作，交的延长线于 PADPFADDAF 平面平面，平面平面,平面 PAD ABCDPADABCDADPF ABCD 11 即为点到平面的距离点为的中点， PFPABCDEPD 点到平面的距离是长度的一半在中， EABCDhPFPFA ， 3 sin6023 2 PFPA 1111 (3) 2232 B ACEE ACBP ABCABC VVVS 理科 21【解析】 (1)证明：如图，连接AC交BE于点F，连接CE. 由题意知BCAE，且BCAE，故四边形ABCE为平行四边形，F为AC的中点，在PAC 中， 又由M为PC的中点，得MFPA.又MF平面BME，PA平面BME，PA平面BME. (2)连接PE，则由题意知PE平面ABCD. 故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Exyz， 则E(0,0,0)，P(0,0，)，B(，0,0)，C(，1,0)设(01)， 则M(， (1)(， (1)， (，0,0) 取平面DBE的法向量n1(0,0,1)，设平面BME的法向量n2(x，y，z)， 则由 得 令y，得n2.又由cos30，得 ， 即M.故存在点M满足要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点 2