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2008年清华自主招生数学试题1、已知a、b、c都是有理数，+也是有理数，证明：、都是有理数2、（1）任意给定一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以构成一个三角形。（2）四面体一个顶点的三个角分别是， ， . 求由的面和的面所成的二面角。3、求正整数区间中，不能被3整除的数之和.4、已知，求的取值范围.5、已知，求.6、证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。 证明：假设面积大于4的矩形不覆盖原点外任何格点，则矩形面积范围在（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1），（1，0），（0，-1），（-1，0），（0，1）这8个点范围内，不满足面积大于4，如果只是覆盖这其中一点，则与“以原点为对称中心”矛盾，故原命题成立。2008年清华自主招生数学试题解析1、已知a、b、c都是有理数，+也是有理数，证明：、都是有理数解答：由题意知,（1）当至少有一个为零时，如，则是有理数设是有理数，则，平方得，即，所以是有理数，既而也是有理数，故命题成立；（2）当全不为零时，不妨设是无理数设是有理数，则，平方得，移项得，平方得，因为，所以，且，所以，且，又，将上两式代入并化简得，又，是有理数，这与是无理数矛盾，故是有理数，同理可得、都是有理数，故命题也成立。2、（1）任意给定一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以构成一个三角形。（2）四面体一个顶点的三个角分别是， ， . 求由的面和的面所成的二面角。（1）证明：如图所示四面体，不妨设，若时，则过顶点的三条棱可以组成一个三角形，所以命题成立；若时，因为，所以，所以故过顶点的三条棱可以组成一个三角形，所以命题也成立。（2）解答：如图所示,四面体中, 取，过点作面，设，则是的面与的面所成的二面角的平面角。则，所以，又作差化简得，所以，这就是的面与的面所成的二面角的余弦值。在此例中，代入上述公式得，所以由的面和的面所成的二面角是.3、求正整数区间中，不能被3整除的数之和.解1：在区间中，3的正倍数有个.故区间中不能被3整除的数之和为，在区间中，3的正倍数有个，故区间中不能被3整队的数之和为.综上，在区间中，不能被3整除的数之和为.解2：记不小于的最小的3的倍数为，则；记不大于的最大的3的倍数为，则.若在区间中没有3的倍数，则所求和为,若在区间中含有3的倍数，则所求和为.事实上，在区间中没有3的倍数时，.综上，在区间中不能被3整除的数之和为.4、已知，求的取值范围.解答：即，由，解得，即的取值范围是.5、已知，求.解答：由已知得：，.以上各式叠加：；即.令， .6、证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。 证明：假设面积大于4的矩形不覆盖原点外任何格点，则矩形面积范围在（1，1），（1，-1），（-1，-1），（-1，1），（1，0），（0，-1），
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