备战高考数学 最新冲刺 立体几何1 理

用心 爱心 专心- 1 - 【备战备战 2012】2012】高考数学高考数学 最新专题冲刺最新专题冲刺 立体几何（立体几何（1 1） 理理 1 （2012 唐山市高三统一考试理）四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为 5，底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形，则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 （ ） A 5 5B 2 5 5C 4 5D 3 5 【答案答案】 A A 【解析解析】本题主要考查异面直线所成角和余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. CD 平行于 AB，则 CD 与 PA 所成角就是PAB；由余弦定理 PAB 222 5455 25252 PAABPB PA AB 2 （2012 唐山市高三模拟理）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的外接球的表面积为 （ ） A 16 3 B 8 3 C4 3 D2 3 【答案答案】 A A 【解析解析】本题主要考查空间几何体的三视图和球的表面积公 式. 属于基础知识、基本能力的考查. 这个几何体是如图所示的三棱锥， ，设外接球的半径为 R,则 22 2 3 1( 3) 3 RRR ，这个几何体的外接球的表 面积为 22 2 316 44 () 33 R 3 （2012 江西师大附中高三模拟理）如图甲所示，三棱锥P ABC 的高 8,3,30 ,POACBCACBMN、 分别在BC和PO上，且 用心 爱心 专心- 2 - ,2 (0,3)CMx PNx x ，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC 的体积 V与x的变化关系，其中正确的是（ ） 【答案答案】A】A 【解析解析】本题主要考查三棱锥的体积，三角形的面积公式，函数图像以及基本不等式的基本 运算. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查. 19 3 3 sin30 24 ABC S , 1927 9 344 P ABC V , 0,0, NAMC xV 13 3sin30 24 NAMC Sxx ( (0,3)x 1319 (92 )() 3422 NAMC Vxxxx (0,3)x 是抛物线的一部分，答案 A 4.(2012 三明市普通高中高三联考理)一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积是 A.6 B.12 C.24 D.36 【答案答案】B】B 【解析解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、棱锥的 体积公式. 属于基础知识、基本思维的考查. 由题意，多面体是一个四棱锥 E-ABCD,ED 垂直于平面 ABCD，ED=3,AB=4,AD=3,四边形 ABCD 是矩形 这个棱锥的体积 1 3 4 312 3 5(2012 厦门市高三模拟质检理)已知直线m、n和平面 、，若，m，n，要使n，则应增加的条件是 A. mn B. nm C. n D. n 【答案答案】B】B 【解析解析】本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系 . 属于基础知识、基本运 算的考查. 已知直线m、n和平面、，若，m，n，应增加的条件nm，才能 使得n。 6(2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的 用心 爱心 专心- 3 - 长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是 C 7(2012 厦门市高三质检)已知体积为 3的正三棱柱（底面是正三角 形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为 A.3 1 B.3 2 C.1 D. 3 4 【答案答案】C】C 【解析解析】本题主要考查正棱柱的体积、空间几何体的三视图. 属于基础知识、基本运算的考 查. 由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角形高为 3，故边长为2，设正三棱 柱的高为h，则有正三棱柱的体积公式， 1 3231 2 hh 8 （2012 金华十校高三模拟联考理）一空间几何体的三视图如图所 示 ，则该几何体的体积为（ ） A 53 3 B 55 3 C18 D 76 3 【答案答案】 B B 【解析解析】本题主要考查空间几何体的三视图、圆柱、圆台的体积计算公式. 属于基础知识、 基本运算的考查. 用心 爱心 专心- 4 - 【解析解析】本题主要考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的有关知识. 属于基 础知识、基本运算的考查. ,mnlm ln 需要m nA 才有l ，A 错误. 若 ,mnln l与m可能平行、相交、也可能异面，B 错误. 若 ,lm ln l与m可能平行、相交、也可能异面，D 错误. 10.(2012 三明市普通高中高三联考理)设、是三个互不重合的平面，m、n是两条 不重合的直线，下列命题中正确的是 A. 若 ， ，则 B. 若 /m， /n ， ，则m n C. 若 ，m ，则 /m D. 若 / ，m ， /m，则 /m 【答案答案】D】D 【解析解析】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 属于基础知 识的考查. 对于 A, 若 ， , , 可以平行，也可以不垂直相交 对于 B，若 /m， /n ， ，则 ,m n可以平行 对于 C, 若 ，m ，则m可以在平面 答案答案 D D 正确正确 用心 爱心 专心- 5 - 由三视图知，几何体是一个底面是边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1 的三棱柱。 1 21 11 11 112 3+ 2 2 S 三棱柱底面积侧面积 2S+S 12. （2012 年西安市高三年级第一次质检理） 个空间几何体 的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.48 B. C. D.80 【答案答案】C】C 【解析解析】本题主要空间几何体的三视图和棱柱的表面积计算公式 . 属于基础知识、基本运 算的考查. 由三视图可知几何体是一个平放的 直棱柱，底面是上底为 2，下底为 4， 高为 4 的直角梯形，棱柱的高为 4，因 此梯形的周长为2 176 该几何体的表面积为 13 （2012厦门模拟质检理 8）已如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心， M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是 A.D1O平面A1BC1 B. D1O平面MAC C.异面直线BC1与AC所成的角等于 60 用心 爱心 专心- 6 - D.二面角MACB等于 90 【答案】D 【解析】因为D1O平面A1BC1， D1O平面MAC, 异面直线BC1与AC所成的角等于 60 二面角MACB等于 90错误，选 D; 16 （2012宁德质检理 5）若 , 是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中 正确的是（ ） A若 ,/ /ll则 B若 , / / ,ll则 C若 ,l 与 的所成角相等，则 / / D若l上有两个点到 的距离相等，则 / /l 【答案】B 【解析】若 , / / ,ll则 ，此推理符合平面与平面垂直的判 定； 17 （2012宁德质检理 13）一个空间几何体的三视图如右所示， 则该几何体的体积 为 。 13、 【答案】4 用心 爱心 专心- 7 - 【解析】几何体是平躺的三棱柱， 4VSh 18.（2012韶关第一次调研理 12）如图BD是边长为3的ABCD为正方形的对角线， 将 BCD 绕 直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于 【答案】18， 【解析】 BCD 绕直线AB旋转一周后形成的几何体是圆柱去掉一个圆锥， 22 1 333318 3 V 19. (2012深圳中学模拟理 7)在半径为 R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最 大值是（ ） A 3 2 3 9 R B 3 4 3 9 R C 3 2 3 3 R D 3 4 9 R 【答案】A 【解析】解：设圆柱的高为 h,则圆柱的底面半径为 22 Rh ，圆柱的体积为 V= 22 ()Rh h = 32 hR h (0hR), 22 30VhR , 3 R h 时 V 有最大值为 3 2 3 9 VR 。 20.（2012海南嘉积中学模拟理 6）正四棱锥S ABCD- 的侧棱长为 2，底面边长为3， E为SA中点，则异面直线BE与SC所成的角是（ ） A、30 B、45 C、60 D、90 【答案】C 用心 爱心 专心- 8 - 【解析】取 AC 中点 F, 26 ,2, 22 EFBFAEAEF 中，由余弦定理得 0 1 cos,60 2 BEFBEF . 21.（2012海南嘉积中学模拟理 16）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的 体积为 . 【答案】 312 22. （2012黑龙江绥化市一模理 4）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方 23. （2012黑龙江绥化市一模理 8）如图，在三棱柱 111 ABCABC 中，侧棱垂直于底面， 用心 爱心 专心- 9 - 底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则 1 BB 与平面 11 ABC 所成的角为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 25.（2012浙江瑞安模拟质检理 2）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 5 3 3 B 4 3 3 C 5 3 6 D 3 【答案】A 【解析】几何体可以拼接成高为 2 的正三棱柱， 2 315 3 2213 433 V 26.（2012浙江瑞安模拟质检理 16）在正方体 !111 DCBAABCD 中, QPNM、 分别 是1111 CCDCAAAB、 的中点,给出以下四个结论: 用心 爱心 专心- 10 - 1 ACMN ； 1 AC /平面MNPQ； 1 AC 与PM相交； 1 NC 与PM异面 其中正确结论的序号是 . 【答案】 （1） （3） （4） 【解析】由图形可以观察出1 AC 与平面 MNPQ 相交于正方体中心 27.（2012泉州四校二次联考理 7）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 2 3 a B 2 6 a C 2 12 a D 2 24 a 【答案】B 【解析】由题意，球的直径是长方体的对角线，所以 22 64,62arSar 28.（2012泉州四校二次联考理 13）四棱锥P ABCD 的顶点P在底面ABCD上的投影 恰好是A， 其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形。则在四棱 锥P ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线 共有_对 【答案】6 【解析】因为 /,/,/mmm若则 ，此推理符合线面平行的判定定理。 30.（2012 浙江宁波市模拟理）下列命题中，错误的是（ ） （A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B）平行于同一平面的两个不同平面平行 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 AB CD 用心 爱心 专心- 11 - （C）若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线 （D） 如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线 垂直于平面 【答案】C 【解析】C 错，直线l不平行平面，可能直线l在平面内，故 在平面内不存在与l平行的直线。 31.（2012 浙江宁波市模拟理）如图是一个组合几何体的三视图， 则该几何体的体积是 . 【答案】 12836 【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个圆 柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为 1 3 4 6 16836 128 2 V 。 32.（2012 山东青岛市模拟理）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： 33.（2012 山东青岛市模拟理）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若 caba , 则bc；若 caba , 则bc；若a , b bc则ca . 其中正确的个数为 A0个B1个C 2个D 3个 【答案】B 用心 爱心 专心- 12 - 【解析】不对，b，c可能异面；不对，b，c可能平行；对，选。 34.（2012 山东青岛市模拟理）已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3， 则这个长方体的外接球的表面积为 . 【答案】14 【解析】因长方体对角线长为2 14914r ，所以其外接球的表面积 2 414Sr 35.（2012 吉林市模拟质检理）一个正方体的展开图如图 所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方 体中 A. CDAB/ B. AB与CD相交 C. CDAB D. AB与CD所成的角为 60 【答案】D 【解析】将平面展开图还原成几何体，易知AB与CD所成的角为 60 ，选 D。 36.（2012 吉林市模拟质检理）右图是一个空间几何体的 三视图，则该几何体的表面积是 . 【答案】 16 【解析】由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去 半球体，故所求表面积为 48 14216S 。 37.（2012 江西南昌市调研理）已知、为不重合的两个平面，直线 m，那么 “m”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 用心 爱心 专心- 13 - 侧视图如图所示，则其俯视图不可能为长方形；正方形；圆；椭圆.其中正确的是 （ ） A A B B C C D D 【答案】B 【解析】由三视图的成图原则可知，正视图、侧视图的宽度不一样，故俯视图正方形； 圆，选 B。 1 2 1 22 2 V ,选 B。 40.（2012 河南郑州市质检理）在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥 的外接球的表面积为 . 用心 爱心 专心- 14 - 【答案】43. 【解析】构造一个长方体，因为对棱垂直，故底面可看成一个正方形，不妨设长宽高为 , ,a a c，则3 2,7ac ，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其直径为体对角线，即 218 18743r ，所求表面积为 2 443Sr 。 41.（2012 北京海淀区模拟理）已知正三棱柱 ABCA B C- 的正（主）视图和侧（左）视 图如图所示. 设 ,ABCA B C 的中心分 别是 ,O O ，现将此三棱柱绕直线 OO旋转， 射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取 到任意一个实数） ，对应的俯视图的面积为 ( )S x ，则函数 ( )S x 的最大值为 ；最小正周期为 . 说明：“三棱柱绕直线 OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时， OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角. 【答案】8；3 【解析】由三视图还原可知，原几何体是一个正三棱柱横放的状态，则俯视图对应的是一个 矩形，由旋转的过程可知 ( )S x 取得最大值时俯视图投影的长为 4，宽为 2 的矩形，即 max ( )8S x= ，又每旋转3 个单位又回到初始状态，故周期为3 。 42.（2012 广东韶关市调研理）三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视 侧（左）视图正（主）视图 4 3 用心 爱心 专心- 15 - 1 22 2(222 2) 2124 2 2 s ，选 A。 43.（2012 金华十校高三模拟联考理）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BD1与平面 A1B1CD 所 成角的正切值是 。 用心 爱心 专心- 16 - 44 （本小题满分 12 分） SDAD，E是SA的中点，DESA， ABSAA，DE平面SAB 平面BED平面SAB 6 分 （）作AFBE，垂足为F 由（） ，平面BED平面SAB，则AF平面BED， 则AEF是直线SA与平面BED所成的角 A C B D E S F 用心 爱心 专心- 17 - 8 分 设AD2a，则ABa，SA2a，AEa， ABE是等腰直角三角形，则AFa 在 RtAFE中，sinAEF， 故直线SA与平面BED所成角的大小 4512 分 45.（2012 年西安市高三年级第一次质检理）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形 AB = 2, = 60. (I )求证:BD 丄平面 PAC; (II)若 PA =Ab，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【解析解析】 46 （本题满分 14 分） （2012 金华十校高三模拟联考理）如图，三棱锥 P ABC 中，PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是 PB 上一点， 且 CD平面 PAB。 （1）求证：AB 平面 PCB； （2）求二面角 CPAB 的余弦值。 【答案答案】 【解析解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推 理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法. 用心 爱心 专心- 18 - 47(本小题满分 12 分) (2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 理)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 A1B1C1，B1A1C1=90，D、E 分别为 CC1和 A1B1的中点，且 A1A=AC=2AB=2 (I)求证：C1E平面 A1BD； ()求点 C1到平面 A1BD 的距离 【解析解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. （）证明：取 1 AB 中点 F，连结 EF，FD 用心 爱心 专心- 19 - 1 1 , 2 EFB BA ,又 11 B BC CA , 11 1 2 C DC C , EF平行且等于 1 1 , 2 C D 所以 1 C EFD为平行四边形，4 分 1 /C EDF ，又DF 平面 1 ADB , 1 /C E 平面 1 ADB .6 分 （） 1 5ABAD ， 6BD ,8 分 所以 1 131 6521 222 A BD S , 11 1 11 2 1 1 3 23 B A C D V 1111 B A C DCA BD VV ，10 分 及 1 11 21 3 23 d ， 2 21 21 d . 所以点 1 C 到平面 1 ABD 的距离为 2 21 21.12 分 48.（2012 江西师大附中高三开学考卷理）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中 NM、 分别是 ACAB、 的中点，G是DF上的一动点. （1）求证： ;ACGN （2）当 GDFG 时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC，并给出证明. 用心 爱心 专心- 20 - 【解析解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维的考查. 证明证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC (1)连接DB，可知B、N、D共线，且ACDN 又FDAD FDCD， FD面ABCD FDAC AC面FDN FDNGN面 GNAC （2）点P在A点处 证明证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS/FC,AS/CM 面GSA/面FMC GSAGA面 GA/面FMC 即GP/面FMC 49.(2012 三明市普通高中高三联考理)如图，已知四棱锥 ABCDP 中，底面ABCD是直 角梯形， /ABDC， 45ABC ， 1DC ，2AB，PA平面ABCD，1PA （）求证： /AB 平面PCD； （）求证： BC 平面PAC； （）若M是PC的中点，求三棱锥M ACD 的体积 【解析解析】本题主要考查棱锥的体积公式、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维 的考查. 用心 爱心 专心- 21 - 证明：（）由已知 底面ABCD是直角梯形， /ABDC， 1 分 又AB 平面PCD, CD 平面PCD 3 分 AB平面PCD 4 分 （）在直角梯形ABCD中，过C作CE AB 于点E， 5 分 则 22 2ACADCD ， 222 ACBCAB BC AC 7 分 又PA 平面ABCD，PA BC 8 分 111111 ()(1 1) 3232212 MACDACD VSPA 12 分 50 （本小题满分 12 分） (2012 厦门市高三模拟质检理)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面 ABCD，ABBC，BDAC，E为PC的中点。 （）求证：ACPB； （）求证：PA平面BDE。 【解析解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推 理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法. 用心 爱心 专心- 22 - 51 （本小题共 12 分） （2012 武昌区高三年级元月调研理）如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1的侧棱 A1A 垂直于底面 ABCD底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形，四边形 A1B1C1D1是边长为 1 的正方形，DD1=2 （I）求证：平面 A1ACC1上平面 B1BDD1； （II）求侧棱 DD1与底面 ABCD 所成的角； （III）求四棱台 ABCDA1B1C1D1的体积。 【解析解析】本题主要考查了棱台的概念、直线与平面、平面与平面的垂直证明、直线与平面所 成角以及台体的体积公式. 属于中等题。考查了基础知识、基本运算、识图能力. 解：（）1 AA 平面 ABCD， BDAA 1 底面ABCD是正方形，BDAC 1 AA 与AC是平面11ACC A 内的两条相交直线， BD平面11ACC A BD平面11 B BDD ， 平面1 1 A ACC 平面 11 B BDD （）过1 D 作 ADHD 1于H，则 AAHD 11 / 1 AA 平面 ABCD， HD1 平面ABCD DHD1 为侧棱1 DD 与底面ABCD所成的角 在 DHDRt 1 中， 2, 112 1 DDDH ， 2 1 cos 1 DHD ， 60 1 DHD 用心 爱心 专心- 23 - （） 在 DHDRt 1 中，求得 3 1 HD 而 HDAA 11 ， 所以 3 37 3 1 22111 SSSSAAV 52、 （2012 浙江宁波市模拟理科）如图，在梯形 ABCD中，/ /ABCD，2CBDCAD ， 30CAB ，四边形ACFE为矩形，平面 ACFE 平面ABCD，3CF （）求证：BC 平面ACFE； （）设点M为EF中点，求二面角 CAMB 的余弦值 【解析】(1)证明： 60, 2ABCCBDCAD 则 4AB ， 12 2 AC ，则得 222 BCACAB ACBC ，面 ACEF 平面ABCD， 面 ACEF 平面ABCD AC BC 平面ACEF 7 分 （II）过C作 AMCH 交AM于点H，连BH, 则 CHB 为二面角 CAMB 的平面角，在 BHCRT 中， 13, 3HBCH ， 13 133 cosCHB ，则二面角 CAMB 的余弦值为 13 133 14 分 用心 爱心 专心- 24 - 则DEBE 4 分 （）作EHAB，因为面ABCD平面ABE，所以EH 面AC 因为AEBE ， 2AEEBBC ，所以 2EH 6 分 118 22 2 2 333 E ABCDABCD VEH S 8 分 （）因为BE BC ，BF 平面ACE于点F，所以F是EC的中点 设P是BE的中点，连接 ,MP FP10 分 所以MPAE ,FP DA 因为AE DA A ，所以MF面DAE，则点N就是点F12 分 54.（2012 吉林市模拟质检理）如图，在四棱锥 ABCDP 中，侧棱 PA底面ABCD，底 面ABCD为矩形，222 PAABAD，E为PD的上一点，且EDPE2 . （）若F为PE的中点，求证： /BF 平面AEC； （）求三棱锥 AECP 的体积. 用心 爱心 专心- 25 - 【解析】证明（1）E 为 BC 的中点，又 ABCP 为正三棱锥 用心 爱心 专心- 26 - 【解析】 （1）证明：证明： PB 底面ABC，且 AC 底面ABC， AC PB 1 分 由 90BCA ，可得 CBAC 2 分 又 PBCBB ，AC 平面PBC 3 分 注意到 BE 平面PBC， AC BE 4 分 BCPB ,E为PC中点，BE PC 5 分 PCACC ， BE 平面PAC 6 分 用心 爱心 专心- 27 - 57.（2012 河南郑州市质检理）如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABAD，ABCD，CD=3AB=3，平 面 SAD平面 ABCD，E 是线段 AD 上一点，AE=ED= 3，SEAD. （）证明：平面 SBE平面 SEC; （）若 SE=1，求三棱锥 E-SBC 的高. 【解