备战高考数学 历真题04 数列 理

最新模拟【2011年高考试题】1. (2011年高考四川卷理科8)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( )（A）0 （B）3 （C）8 （D）11答案：B5. (2011年高考湖北卷理科13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升答案： 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。【答案】2000【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时.6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，则 解析：74. ，故7.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_9. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和. 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，10.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和.所以.综上，数列的前n项和为.11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较与的大小.【解析】（） 则 ，（） 因为，所以当时， 即；所以当时，；当时， .12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。【解析】：（）构成递增的等比数列，其中，则 并利用等比数列性质得，（）由（）知，又所以数列的前项和为13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可得.当n=3时,可得.（）证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意14. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.15. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1） ；（2） .答案：2; 1093解析：（1）由题意知，所以2；16. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数n,【解析】（1）由令，当当时，当17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：()求数列的通项公式；()若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：（）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时，综上，数列的通项公式为（）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（）知，对于任意的，且成等差数列；当时，若存在，使得成等差数列，则，即，由（）知，的公比r+1=2，于是对于任意的，且，从而，即成等差数列.综上，对于任意的，且成等差数列.18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（）小问5分，（）小问7分） 设实数数列的前n项和满足 （）若成等比数列，求和 （）求证：对有。解析：（）由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得， （）证明：有题设条件有，19(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d为非零实数，an = C1n d+2Cn2d2+(n1)Cnn-1d n-1+nCnndn(nN*).(I) 写出a1,a2,a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan (nN*)，求数列bn的前n项和Sn解析：（1）20.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，（）21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：22(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求23(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得24(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。解：（I）由解得所以（II）由（I）可知因为函数的最大值为3，所以A=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为25(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。【2010年高考试题】（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】（2010辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。（2010江西理数）5.等比数列中，=4，函数，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。（2010江西理数）4. （ ）A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。（2010重庆理数）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 （2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5 （B）或5 （C） （D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_mA35 B.33 C.31 D.294C设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即1.（2010安徽理数）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= A 2 B. C.4 D.6（2010福建理数）3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为_. 【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为（2010福建理数）11在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 【答案】【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若m，相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。（2010北京理数）（20）（本小题共13分）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）. 证明：（I）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(II)设， ，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差为8的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.所以Sn2综上所述，Sn12分（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。（）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比数列。（）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得当1时，可知1，k从而所以是等差数列，公差为1。（）证明：，可得，从而=1.由（）有所以因此，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则+所以(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综合（1）（2）可知，对任意,有证法二：（i）证明：由题设，可得所以由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：因为所以。所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。从而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同证法一。（2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）已知数列中， .（）设，求数列的通项公式；（）求使不等式成立的的取值范围 .（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。（2010湖南理数）21（本小题满分13分）数列中，是函数的极小值点（）当a=0时，求通项； （）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。（2010湖北理数）（） 2. （2010安徽理数）20、（本小题满分12分） 设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。【2009年高考试题】8(2009福建理3)等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于A1 B C 2 D 3答案：C解析：且.故选C9(2009广东理)已知等比数列满足，且，则当时， 答案：C答案： B 解析：，。3(2009辽宁理14)等差数列的前项和为，且则 答案： 解析：，=。4(2009福建理15)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_.答案：5 解析：由题意可设第次报数，第次报数，第次报数分别为，所以有，又由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。5(2009浙江理11)设等比数列的公比，前n项和为，则_. W解析：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，8(2009山东理20)等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。()求r的值。()当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解：:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,(2)当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.9(2009广东理21)已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为()求数列的通项公式；()证明： 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 10(2009江苏17)设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足(1)求数列的通项公式及前项和；(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项.解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。(1)设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前项的和(2) (方法一)=,设，则=, 所以为8的约数因为是奇数，所以可取的值为，当时，是数列中的项；当时，数列中的最小项是，不符合。所以满足条件的正整数(方法二)因为为数列中的项，故为整数，又由(1)知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。11(2009安徽理21)首项为正数的数列满足.()证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；()若对一切，都有，求的取值范围。解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。因此，对一切都有的充要条件是或。12(2009天津理22)已知等差数列的公差为d(d0)，等比数列的公比为q(q1)。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (1)若= 1，d=2，q=3，求 的值；(2)若=1，证明(1-q)-(1+q)=，n；(3) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。()解：由题设，可得所以， ()证明：由题设可得则 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 若，取i=n 若，取i满足且由(1),(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此当同理可得，因此综上，【2008年高考试题】4.(2008广东卷理2)记等差数列的前项和为，若，则( )A16 B24 C36 D48答案：D解析：，故7.(2008广东理2)记等差数列的前项和为，若，则( )A16B24C36D48答案：D 。解析：， ，故。点评：本小题主要考查等差数列前n项和公式。1.(2008江苏10)将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行(n 3)从左向右的第3 个数为 答案：解析：前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为3.(2008海南宁夏卷理17)已知数列是一个等差数列，且，。(1)求的通项；(2)求前n项和的最大值。解：()设的公差为，由已知条件，解出，所以()所以时，取到最大值4.(2008山东理19文20)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足1=(n2).()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；()上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.()证明：由已知，()解：设上表中从第三行起，每行的公比