Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版)

数字通信老师指定75道习题答案 leiqunlong译2.9 根据柯西分布有 当很大时， 所以有 (b) 当 当，因此有：2.10 (a) (b) (c)因为n, 不是高斯分布，因此中心极限定理不适用，原因是柯西分布没有有限的差异。2.11 假定 是实值随机过程。复值过程的处理也类似。(a)(b)当x(t), y(t)不相关时，同理因此(3)当x(t), y(t)不相关并且零均值时：2.12 随机过程x(t)的功率谱密度为：滤波器输出功率谱密度为：因此滤波器输出总功率为：2.14 令 因此 2.16 滤波器的传递函数为: (a) (b) 令a = RC, v =2f. 那么2.19 因为 输出序列的自相关： 这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数： 因此离散时间系统的频率响应为：综上，系统输出的功率密度谱为 ：2.20 已知功率密度谱为：2.21 本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。fd表示离散频率。(a) 因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。(b) 令fd = fT，则有：又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有：比较(1),(2):得(c) 从(3)式可以得出：否则出现混叠。2.22 (a)(b) 如果 那么： K=0 其他因此序列X(n)是白噪声序列，T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到为了得到一个谱平坦序列，最大的抽样速率应满足：(c) 可由 得到。 因此，2.23 假设 那么：这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换，因为：又 有：当f=0时：2.24由于G=1，有 对低通滤波器，可得到： 将H(f)代入可得下式3.4 要证 而利用不等式 当且仅当 可得因为3.6 通过定义，差熵为： 对均匀分布随机变量(a) a=1,H(X)=0(b) a=4,H(X)=log4=2log2(c) a=1/4,H(X)=log=-2log23.7 (a)(b)每信源字符的平均二进制个数为：(c)信源熵为：通过比较，信源熵要少于每个码字的平均长度。3.9 (a) (b)3.11 (a) P(x)可以通过 求得。 因此类似地可证明(b)利用不等式和，可以得到将不等式两边乘以P(x, y)并对x，y求和，即可得故有当 =1时取等号。(c) 从(b) 联立两个关系式可得： 当x，y独立取等号。3.13 对于平稳过程 和 中n是独立的，因此就有3.18 在给定的下，的条件互信息可定义为： 又因为 有：3.19 假设a0，已知Y = aX + b是线性变换，有 令 那么同理，当a0,上式可变为：当，最优门限接近，利用门限来简化分析，在很接近时，贝塞尔函数不能估算，用，x很大这种估算是有效的，这样SNR也很高，在这种情况下：如果SNR很高，这个整体还可进一步简化，在接近，被积函数是主要部分，因此，下限可以用取代，也就有：5.43 (a)(b)U1的方差：U1,U2的协方差：因为噪声分量是不相关且是零均值。同理，对任意的i，j都有：这也就说明了随机变量是不相关的，因为它们都是高斯过程，且统计独立。U3,U4是零均值高斯过程，随机变量服从瑞利分布，此外服从赖斯分布。(c) ,U1,U2的均值为，并且是统计独立的高斯变量，方差相同为：，W1服从非中心分布，PDF为： ，U3,U4有相同方差，零均值的高斯过程，因此W1服从中心分布，PDF：(d) 5.44 在n个再生中继器中，i个发生错误的概率服从二项分布为： 仅当奇数个中继器发生错误时，终端接收器输出端才有错误。因此整个错误概率为：偶数个中继器产生错误的概率：可得：(b) 展开，得到：当p1,可以忽略所有项，因此就有：5.47 (a)对于直径D的抛物面天线的增益： 如果假定有效因子为0.5，则(b) 接收功率：5.48 对于直径D的抛物面天线的增益：如果假定有效因子为0