数学选择分类汇编圆锥曲线

- 1 - 20102010 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编圆锥曲线圆锥曲线 （20102010 湖南文数）湖南文数）5. 设抛物线 2 8yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 （20102010 浙江理数）浙江理数） （8）设 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点.若在 双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长， 则该双曲线的渐近线方程为 （A）340 xy （B）350 xy （C）430 xy （D）540 xy 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （12）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点 F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则k （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由 ，得， - 2 - 即 k=，故选 B. （20102010 陕西文数）陕西文数）9.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，则p 的值为C （A） 1 2 （B）1（C）2（D）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为 2 p x，因为抛物线y22px（p0）的准线与 圆（x3）2y216 相切，所以2, 4 2 3p p 法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切与点（- 1,0） 所以2, 1 2 p p （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该 双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C） 31 2 （D） 51 2 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为： 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为： b a ，直线FB的斜率为： b c ，()1 bb ac ， 2 bac 22 0caac，解得 51 2 c e a . （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （7）设抛物线 2 8yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3 （B） 8 （C） 8 3 （D） 16 解析：选 B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则 4 |8 sin30 PF （20102010 辽宁理数）辽宁理数） (9)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐 - 3 - 近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B)3 (C) 31 2 (D) 51 2 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂 直的条件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= b x a 垂直，所以1 b b c a A，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以 15 2 e 或 15 2 e （舍去） （20102010 辽宁理数）辽宁理数）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为 垂足如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= (A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D) 16 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 【解析】抛物线的焦点 F（2，0） ，直线 AF 的方程为3(2)yx ，所以点( 2,4 3)A 、 (6,4 3)P，从而|PF|=6+2=8 （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （12）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k = （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【解析解析】B】B： 1122 ( ,), (,)A x yB xy ， 3AFFB ， 12 3yy ， 3 2 e ，设，设 2 ,3at ct ，b t ， 222 440 xyt ，直线，直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 。代入消去。代入消去x， 222 (4)2 30systyt ， 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ， - 4 - 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss ，解得，解得 2 1 2 s ， 2k （20102010 浙江文数）浙江文数） （10）设 O 为坐标原点， 1 F, 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab （a0，b0）的焦 点，若在双曲线上存在点 P，满足 1 FP 2 F=60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方程为 （A）x3y=0 （B）3xy=0 （C）x2y=0 （D）2xy=0 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 （20102010 重庆理数）重庆理数） （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B （20102010 山东文数）山东文数） （9）已知抛物线 2 2(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 （A）1x (B)1x (C)2x (D)2x 答案：B （20102010 四川理数）四川理数） （9）椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是w_w_w.k*s 5*u.c o*m （A） 2 0, 2 （B） 1 0,2 （C） 2 1,1 （D） 1,1 2 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m 而|FA| 22 ab c cc w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac - 5 - 即acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 又e(0,1) 故e 1,1 2 答案：D （20102010 天津理数）天津理数）(5)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是 y=3x,它 的一个焦点在抛物线 2 24yx的准线上，则双曲线的方程为 （A） 22 1 36108 xy （B） 22 1 927 xy （C） 22 1 10836 xy （D） 22 1 279 xy 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。 依题意知 22 222 3 69,27 b a cab ca b ，所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部 分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 （20102010 广东文数）广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离 心率是 A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 - 6 - （20102010 福建文数）福建文数）11若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点，点 P 为椭圆 上的任意一点，则OP FP A的最大值为 A2 B3 C6 D8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ，因为 0 22x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （8）已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则 12 | |PFPF A (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF - 7 - 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 | |PFPF A4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 | |PFPF A4 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）(9)已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点P在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60，则P到x轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 （20102010 四川文数）四川文数） （10）椭圆 22 22 10 xy a ab b的右焦点为F，其右准线与x轴的 交点为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，w_w w. k#s5_u.c o*m 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即acc2b2acc2 - 8 - 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e(0,1) 故e 1,1 2 答案：D （20102010 四川文数）四川文数）(3)抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 解析：由y22px8x知p4w_w w. k#s5_u.c o*m 又交点到准线的距离就是p 答案：C （20102010 湖北文数）湖北文数）9.若直线yxb与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围是 A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 （20102010 山东理数）山东理数）(7)由曲线 y= 2 x,y= 3 x围成的封闭图形面积为来源:W （A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 123 0 x -x )dx=（ 111 1-1= 3412 ,故选 A。 - 9 - 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 （2010 安徽理数）5、双曲线方程为 22 21xy，则它的右焦点坐标为 A、 2 ,0 2 B、 5 ,0 2 C、 6 ,0 2 D、 3,0 5.C 【解析】双曲线的 22 1 1, 2 ab， 2 3 2 c ， 6 2 c ，所以右焦点为 6 ,0 2 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 222 cab求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b ，从而得出错误结论. （2010 湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 2 34yxx有公共点，则 b 的取值范围是 A. 1,12 2 B. 1 2 2,12 2 C. 1 2 2,3 D. 12,3 9 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 22 (2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3） 到直线y=x+b距离等于 2，解得12 212 2bb 或，因为是下半圆故可得 12 2b （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确. （20102010 福建理数）福建理数） - 10 - A B C D 【答案】C 【解析】经分析容易得出正确，故选 C。 【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 （20102010 福建理数）福建理数）7若点 O 和点( 2,0)F 分别是双曲线 2 2 2 1(a0) a x y的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为 ( ) A3-2 3,) B32 3,) C 7 -,) 4 D