湖北宜昌第一中学高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学情分析】 本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用但是，学生作为初学者不清楚向量的数量积数数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望【教学目标】 （1）懂得平面向量数量积的含义及其物理背景；（2）会进行平面向量数量积的运算； （3）会用数量积判定两个向量的垂直关系；（4）能运用数量积求两个向量夹角的余弦值【教学重点】 平面向量数量积的概念和性质及运算律的探究和应用【教学难点】 平面向量数量积的定义及对运算律的探究、理解，平面向量数量积的灵活应用【教学过程】教学流程师生互动设计意图情境一问题：回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？生：W (其中是和的夹角)师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫情境二问题：定义向量数量积弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？问题：如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？1、 仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：,即（其中是与的夹角）（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影2、 规定：零向量与任意向量的数量积为03、 （1）数量积运算的符号取决于与的夹角的大小；（2）两个向量的数量积是一个数，它与两个向量的长度及其夹角有关； （3）符号不能写成或的形式； （4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上4、 探究其性质：（1）（与都是非零向量）； 设置情境：若，则向量与至少有一个是零向量类比a,b属于实数时，若ab=0等价于a=0或b=0而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用（2）当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，特别地或 (与二次根式性质类比)，这是求向量长度的又一方法从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望使学生从感性到理性去认知数量积的定义通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义同时加深对投影的认识引导学生通过自主研究，明白两个向量的夹角决定它们的数量积得符号，进一步从细节上理解向量数量积得定义类比推广得到数量积得运算积得运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识情境三由学生自主学习来完成书本例题1从例1得出性质和数量积的几何意义通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引发学生对和的大小关系进行一般的研究比较情境四给学生2到3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结学生通过自主阅读，总结并发表自己的看法，老师可以有争对性进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探究情境五运算律和运算时紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律 1.回顾实数运算中有关乘法的运算律，类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究已知向量、和实数，则；2.对向量数量积的运算律进一步研究（1）成立吗？显然，等式左边与向量共线，右边与向量共线，而向量与不一定共线，因此结论不一定成立；（2）由能否推出？（反例：当，时，有，但不能得到）结合实数a,b,c(b0),有ab=bca=c进行类比，辨析通过类比、探究使学生得出数量积德运算律，进一步培养学生学习的逻辑和研究问题的能力.老师可以通过学生的讨论进行纠正，理解不同的运算具有不同的运算律，体会学到数学的法则与法则之间的区别与联系同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识情境六例2、例3、例4的教学1.老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比2.让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用1.要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工2.学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律来的优越性3.上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化【教学反思】 本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算，使得学习内容直观、生动，抓住重点使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达