四川雅安高三数学第三次诊断考试文

四川省雅安市2019届高三数学第三次诊断考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解一元一次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案【详解】Bx|x2，ABx|-3x2=故选：B【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元一次不等式的解法，是基础题2.当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】当m1时，m10，从而可判断复数2+（m1）i在复平面内对应的点的位置【详解】m1，m10，复数2+（m1）i在复平面内对应的点（2，m-1）位于第四象限，故选：D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3.函数的图象的对称轴方程可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用ycosx的对称轴方程以及整体代入思想求出ycos（2x）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可【详解】ycosx的对称轴方程为xk，函数ycos（2x）中，令2xkx，kZ即为其对称轴方程上面四个选项中只有符合故选：B【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用4.已知向量，若向量，则实数（ ）A. B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的条件结合向量的数量积公式，求得m的值【详解】由题意向量（1，），（3，m），若向量，可得：，解得 m，故选：D【点睛】本题主要考查两个向量垂直的应用及数量积公式的应用，属于基础题5.直线：与抛物线：相切，则实数（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】把直线l与抛物线C的方程联立，利用判别式0即可得出【详解】联立化为x24x4b0 直线l与抛物线C相切，（4）24（4b）0，解得b1，故选A【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了将方程联立利用0解决问题的方法，属于基础题6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：该几何体是棱长分别为 的长方体中的三棱锥： ，其中： ，该几何体的表面积为： .本题选择B选项.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.7.若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A. -1B. 0C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的区域，由目标函数的几何意义求出zx2y的最大值【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由zx2y可得yxz，则表示直线yxz在y轴上的截距，且截距越小，z越大，结合图象可知，当zx2y经过点A时，z最大，由可得A（2，1），此时z4故选：D【点睛】本题考查线性规划，是线性规划中求最值的常规题型其步骤是作图，找点，求最值8.在区间中任取一个实数，使函数，在上是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数f（x）是增函数，解得1a2，由此利用几何概型能求出所求的概率【详解】函数f（x）是增函数，解得1a2，由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值a，则函数f（x）是增函数的概率为p故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型及分段函数单调性的应用，几何概型概率的值是常常通过长度、面积、或者体积的比值得到，本题属于中档题9.的三边长分别为，的面积为，则的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为，体积为，则四面体的内切球半径为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和从而四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，由此能求出四面体的内切球半径【详解】设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，r故选：C【点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证能力，是基础题10.若执行下边的程序框图，输出的值为5，则判断框中应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按流程图逐一执行即可。【详解】由流程图得：.要使得输出的值为5，则判断框中应填入的条件是：故选：B【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查观察能力及计算能力，还考查了对数运算知识，属于中档题。11.已知函数（是自然对数的底数），则的极大值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】分析：求函数的导数，令，先求出的值再求的极大值为即可得详解：函数的定义域为 ， ，则 令，得令，得，即函数 上单调递增，在上单调递减，故函数在出uqude极大值，极大值为 故选D.点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题12.已知点，直线：.若以、为焦点的椭圆与直线有公共点，则椭圆的离心率最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，结合已知条件，通过判别式推出a的范围，即可得到椭圆C的离心率的最大值【详解】椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别是F1（1，0），F2（1，0），可得c1，则，可得：（a2+b2）x2+4a2x+4a2a2b20，16a44（a2+b2）（4a2a2b2）0，可得：4a2（2a21）（5a2）0，解得a，e故选A【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的倾斜角为_【答案】【解析】试题分析：由直线方程可知斜率考点：直线倾斜角与斜率14.设是周期为2的奇函数，当时，则_【答案】【解析】是周期为2的奇函数，当时， 故答案为：-15.已知正三棱锥，点、都在半径为球面上，若、两两相互垂直，则球心到截面的距离为_【答案】【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为2，即PAPBPC2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC222ABC为边长为2的正三角形，SABC（2）2h球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为，故答案为【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，属于中档题.16.的内角，的对边长分别为，设为的面积，满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，可确定B，再利用正弦定理表示出a，c，代入已知等式中利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的性质确定出范围即可【详解】SacsinB，cosB，S（a2+c2b2），acsinB2accosB，tanB，又B（0，），B；又，ABC的内角和A+B+C，又A0，C0，得0A，由正弦定理，知a2sin，c2sin（），（1）a+2c2（1）sin+4sin（）2sin+2cos2sin（）（0x），又，2sin（）2，故答案为.【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是等差数列，且满足：，.数列满足：.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义构成方程组，即可求an的通项公式；（2）将代入中，利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1），解出，.（2），=.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，考查了等差、等比数列的求和公式的应用及分组求和法，考查计算能力18.某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y8784838281797775（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.参考公式：，；参考数据：，.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；（2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值【详解】（1）由题意得：，.故所求的线性回归方程为：.（2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：，.其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：，所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题19.如图，在五边形中，是以为斜边的等腰直角三角形.现将沿折起，使平面平面，如图，记线段的中点为.（1）求证：平面平面；（2）求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）推导出四边形OBCD为平行四边形，ABOD，EOAB，从而AB平面EOD，由此能证明平面ABE平面EOD（2）推导出平面，由，能求出结果【详解】（1）因为，是中点，所以，又，所以为平行四边形，而，故，故等腰直角三角形中有，而，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为平面平面，交线为，所以平面，所以等腰直角三角形，由知，所以，所以.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，是中档题20.过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点异于点时，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出椭圆方程，当直线过椭圆右焦点时，写出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段的长；（2）设出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，并求出点坐标，写出直线与直线的方程，并解此方程组，求得点的坐标，代入即可证明结论.【详解】（1）由已知得，得，椭圆的方程为，椭圆右焦点为，此时直线的方程为，由，解得，；（2）当直线与轴垂直时与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在，设直线的方程为代入椭圆的方程，化简得，解得，代入直线的方程，得，所以，的坐标为，又直线的方程为，直线方程为，联立解得，即，而的坐标为，即为定值.【点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.设函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求导，根据的正负解得x的范围，得出f（x）的单调性；（2）令h（x）为g（x）的分子部分，设x0为h（x）的零点，求出g（x）的最小值g（x0），根据x0的性质和基本不等式得出g（x0）关于a的函数m（a），再根据m（a）的单调性求出m（a）的最小值即可得出结论【详解】（1）若，则，.当时，单调递减，当时，单调递增.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由可知，当时，显然没有零点；当时，设，在单调递增，又h（0）a0，h（2）2ea0，h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，当x（0，x0）时，h（x）0，即g（x）0，当x（x0，+）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，g（x）的最小值为g（x0）alnx0，x0a，1，两边取对数可得x01lnalnx0，即lnx0lna+1x0，g（x0）a（lna+1x0）ax0alnaa2aalnaaaalna，（当且仅当x01时取等号），令m（a）aalna，则m（a）lna，当a（0，1）时，m（a）0，当a（1，e时，m（a）0，m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减当0ae时，m（a）0，当且仅当ae时取等号，由x0a可知当a1时，x01，故当ae时，x01，故g（x0）m（a）0，g（x0）0当0ae时，g（x）没有零点【点睛】本题考查了函数单调性与导数的关系，函数最值的计算，构造g（x）的最小值为关于a的函数是解题的难点，属于难题22.在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴