天津部分区高三数学质量调查试卷二理

天津市部分区2019年高三质量调查试卷(二)数学(理工类)参考公式：如果事件A，B互斥，那么.如果事件A，B相互独立，那么.柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高.一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集，集合，则=（ ）A. 0，4B. 0，1，4C. 1，4D. 0，1【答案】B【解析】【分析】先求全集，再求交集，最后根据补集得结果.【详解】因为，,所以= 0，1，4，选B.【点睛】本题考查交集与补集概念，考查基本求解能力，属基础题.2.设变量x，y满足约束条件2x+y20,xy10.x+2y40.，则目标函数z=x+y最小的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数表示的直线，结合图象确定最优解，即得结果.【详解】作可行域，则直线z=x+y过点A(1,0)时取最小值1，选D.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ） A. 3B. 1C. 0D. -1【答案】C【解析】解：当i=1时，s=12+1=3；当i=2时，s=31+1=4；当i=3时，s=40+1=1，当i=4时，s=1(1)+1=0，故选C。4.若a=log215，b=log24.5，c=20.6，则a，b，c的大小关系为（ ）A. abcB. acbC. bacD. cab【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与指数函数单调性确定大小.【详解】因a=-log215=log25log24.5=blog24=2，c=20.6bc，选A.【点睛】本题考查利用对数函数与指数函数单调性比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为（ ）A. x216y29=1B. x24y23=1C. x29y216=1D. x23y24=1【答案】A【解析】【分析】根据坐标原点到交点距离等于半径得c，再根据交点在渐近线可得a,b关系，解得a,b即可.【详解】因为以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径c，即c=32+42=5,因为(4，3)在双曲线渐近线x2a2-y2b2=0上，所以16a2-9b2=0，因为a2+b2=c2=25,所以a2=16，b2=9，即双曲线的方程为x216-y29=1，选A.【点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“sinAsinB”是“ab”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得sinAsinBa2Rb2Rab ，所以“sinAsinB”是“ab”的充要条件，选C.7.如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AE=3EO，则ECED的值是（ ）A. 45B. 1516C. 14D. 58【答案】B【解析】【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果.【详解】ECED=EO+OCEO+OD=EO+OCEO-OC=EO2-OC2=142-1=-1516,选B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数f(x)=log12(x+1),1x0x2+2x,x0，若关于x的方程f(x)=m(mR)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a+b+c的取值范围是（ ）A. (12,1)B. (34,1)C. (34,2)D. (32,2)【答案】D【解析】【分析】先作图，再确定a，b，c关系以及范围，即得结果.【详解】作图可得，a-12，0，b+c=2，所以a+b+c(32,2)，选D.【点睛】本题考查函数与方程，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题。9.已知i是虚数单位，则1i3+i=_.【答案】1525i【解析】【分析】根据复数除法运算法则求解.【详解】1-i3+i=(1-i)(3-i)10=2-4i10=15-25i.【点睛】本题考查复数除法运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.10.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C种型号的产品中抽取_件.【答案】30【解析】【分析】根据分层抽样确定抽取数.【详解】由题意得从C种型号的产品中抽取90600400+800+600=30件.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为6，则四棱锥的体积为_.【答案】83【解析】试题分析：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为2，所以棱锥的高为h=62=2V=13Sh=13222=83考点：棱锥的体积12.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为2xy+1=0，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为=2sin，则直线l与圆C的位置关系为_.【答案】相交【解析】【分析】先将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离与半径大小关系确定位置关系.【详解】因为圆C的方程为=2sin，所以x2+y2=2y,x2+(y1)2=1，因此圆心到直线距离为051，所以直线与圆C相交.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.13.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=3，b=23，则ABC周长的最大值是_.【答案】63【解析】【分析】根据余弦定理以及基本不等式求最值.【详解】因为b2=a2+c22accos3，所以12=a2+c2ac=(a+c)23ac(a+c)23(a+c2)2=(a+c)24，当且仅当a=c时取等号，因此(a+c)248,a+c43,a+b+c63，即ABC周长的最大值是63.【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有_种.【答案】84【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为2,2，3,1两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为2,2，3,1两组，故有C42C43A22+C42C22A22A22=84.故答案为：84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.三、解答题(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知函数f(x)=cosx(sinx-3cosx)，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在区间3,23上的单调性.【答案】(1) T=，其最大值为132. (2)见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求周期与最值，（2）根据正弦函数性质求单调性.【详解】解：（1）由题意，得f(x)=cosxsinx-3cos2x=12sin2x-32(1+cos2x) =12sin2x-32cos2x-32 =sin(2x-3)-32. 所以f(x)的最小正周期T=22=，其最大值为1-32. （2）令z=2x-3,则函数y=sinz的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ. 由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ. 设A=3,23,B=x-12+kx512+k,kZ，易知AB=3,512. 所以，当x3,23时,f(x)在区间3,512上单调递增；在区间512，23上单调递减.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.16.某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。【答案】(1) P(A)=518 (2)见解析【解析】【分析】（1）先分类，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后求和得结果，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果.【详解】解：（1）设事件A为“甲恰好闯关3次才闯关成功概率”，则有P(A)=121-2323+(1-12)1223=518，（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为2,3,4， 所以，P=2=1223+1212=712，P(=3)=121-2323+(1-12)1223+121313=13， P=4=1-12121-23=112. 从而234P71213112E()=2712+313+4112=52.【点睛】本题考查分布列以及数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，DC平面ABC，EB/DC，AC=BC=EB=2DC=4，ACB=90，P、Q分别为AE，AB的中点.(1)证明：PQ/平面ACD (2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值；(3)求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小。【答案】(1)见证明；(2) 105 (3) 45【解析】【分析】（1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角，即得异面直线所成角，（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】解：（1）证明：因为P,Q分别是AE,AB的中点，所以，PQ/BE,PQ=12BE， 又DC/BE,DC=12BE，所以，PQ/DC，PQ平面ACD，DC平面ACD， 所以，PQ/平面ACD. （2）因为DC平面ABC， ACB=90.以点C为坐标原点，分别以CD,CA,CB的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则得C(0,0,0),A(0,4,0),B(0,0,4),D(2,0,0),E(4,0,4)， 所以AB=(0,-4,4),DE=(2,0,4)， 所以cosAB,DE=ABDEABDE=105，所以异面直线AB与DE所成角的余弦值105. （3）由（）可知AB=(0,-4,4)，AE=(4,-4,4)，设平面ABE的法向量为n=x,y,z,则nAB=0nAE=0，-4y+4z=04x-4y+4z=0 所以n=(0,1,1).由已知可得平面ACD的法向量为以CB=(0,0,4)，所以cosn,BC=nBCnBC=22. 故所求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小为45.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求异面直线所成角与二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.18.各项均为正数的等比数列an满足a2=3，a42a3=9.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=(2n1)log3a2n+2(nN*)，数列1bn的前n项和为Tn，证明：Tn12.【答案】(1) an=3n1 (2)见证明【解析】【分析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简bn，再利用裂项相消法求和，即证得结果.【详解】解：（1）设等比数列an的公比为q，由a4-2a3=9a2=3得a2(q2-2q)=9a2=3，解得q=3或q=-1. 因为数列an为正项数列，所以q=3， 所以，首项a1=a2q=1， 故其通项公式为an=3n-1.（2）由（）得bn=2n-1log3a2n+2=(2n-1)(2n+1)所以1bn=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)， 所以Tn=1b1+1b2+1bn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12-14n+2b0)的一个焦点为F1(1,0)，上顶点为B1，原点O到直线B1F1的距离为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点T在圆x2+y2=2上，点A为椭圆的右顶点，是否存在过点A的直线l交椭圆C于点B（异于点A），使得OT=147(OA+OB)成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1) x24+y23=1 (2) 存在满足条件的直线，其方程为y=32x2.【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得a，b即可，（2）设直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理解得B点坐标，再根据条件得T点坐标，代入圆方程，解得直线斜率，即得结果.【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1-1,0知:c=1，即a2-b2=1. 又因为直线B1F1的方程为bx-y+b=0，即bb2+1=32，所以b=3. 由解得a2=4.故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1. （2）假设存在过点A的直线适合题意，则结合图形易判断知直线的斜率必存在，于是可设直线的方程为y=kx-2， 由x24+y23=1y=kx-2，得3+4k2x2-16k2x+16k2-12=0.（*）因为点A是直线与椭圆C的一个交点，且xA=2所以xAxB=16k2-123+4k2，所以xB=8k2-63+4k2，即点B8k2-63+4k2,-12k3+4k2. 所以OA+OB=16k23+4k2,-12k3+4k2，即OT=14716k23+4k2,-12k3+4k2.因为点T在圆x2+y2=2上，所以2716k23+4k22+-12k3+4k22=2， 化简得48k4-8k2-21=0，解得k2=34，所以k=32. 经检验知，此时（*）对应的判别式0，满足题意. 故存在满足条件的直线，其方程为y=32x-2.【点睛】本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20.设aR，函数f(x)=lnxax.（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线方程；（2）若f(x)无零点，求