FE-Ch01.1-2加权余量PPT课件.ppt

学生成绩评定方法：,平时成绩：上机实验（4次）20%；上机考试题：20%期末成绩：60%,1,学习目的1、对有限元方法有一个初步了解，可以用ANSYS解决一些实际问题。,2、继续学习有限元方法，可以用各种CAD软件构造网格后导入ANSYS，计算较大规模问题。,3、较为深入学习有限元方法，可以按照各种理论编写用户接口程序，解决具有专业特点的新问题。,2,学习参考教材,教材1：“有限元法基本原理和数值方法”王勖成等著，清华大学出版社，2002。,教材2：“有限单元法”王勖成著，清华大学出版社，2004。,参考资料：“TheFiniteElementMethod”，Fifthedition,Authors:O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.,3,什么是有限单元法？,Thefiniteelementmethod(FEM)maybebroadlydefinedasanumericaltechniqueforobtainingapproximatesolutionstodifferentialequations.,Andsincemanyofthemathematicalmodelsemployedbyengineerscontaindifferentialequations，thismethodisofinteresttoengineersinawidevarietyofdisciplines.,4,第一章预备知识,第一篇基本部分,5,1.1引言,弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。,计算机的出现引起了力学学科的变革,应用数值法求出近似解。有限单元法是其中一种数值法。有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工业中。,一、有限单元法的发展历史,6,通常建立物理问题应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。,尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,7,在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。,8,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,9,我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。,10,从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：,另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。,二、算法与有限元软件,11,有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。,转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）,三、有限元应用实例,12,金属成形过程的分析（用Deform软件完成）分析金属成形过程中的各种缺陷。,型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲。,螺旋齿轮成形过程的分析,13,复杂形状工件的组织转变预测预测工件的组织分布和机械性能,二分之一工件的有限元模型,14,淬火3.06min时的马氏体分布,淬火3.06min时的温度分布,15,1）建立实际工程问题的计算模型利用几何、载荷的对称性简化模型建立等效模型2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面：物理场耦合问题大变形网格重划分3）前处理（Preprocessing）建立几何模型（GeometricModeling，自下而上，或基本单元组合）有限单元划分（Meshing）与网格控制,四、有限元分析的基本方法,16,4）求解（Solution）给定约束（Constraint）和载荷（Load）求解方法选择计算参数设定5）后处理（Postprocessing）后处理的目的在于分析计算模型是否合理，提出结论。用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；最大最小值分析；特殊部位分析。,17,有限元分析的步骤:,离散化：,单元分析：,整体分析：,求应力：,小结,18,1.2微分方程的等效积分形式-加权余量法,一、连续介质问题微分方程的一般表示,且，应满足边界条件：,表示对独立变量(时间，空间)的微分算子,19,注：若,表示线性微分算子，,即指：方程中未知函数及其各阶导数,都是一次的，这种方程,称为线性微分方程。,20,方程的分类：,1）稳态问题（平衡问题边值问题）,与时间无关,场函数解,21,2）瞬态问题（传播问题，初边值问题）,、可以理解为时空域，t为开域(0,),t=0时可称为初值条件,22,3）特征值问题,齐次方程,23,二、微分方程的等效积分形式,边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质(基本)边界条件(狄里克雷边界条件，即：边界上函数的导数值已知)、自然边界条件(黎曼边界条件，即：边界上函数值已知)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。,24,因此有：,同样，在边界上：,结合（3）式和（4）式：,25,对任意上述积分式均成立，则表明积分形式与微分方程的定解问题等价。,26,即（5）式是等效于满足微分方程（1）和边界条件（2）的积分形式。当然（5）必须是可积的。,27,(I)对和的限制：单值，可积(有限)in,on.,(II)对于则取决于：,取决于算子中微分的阶数2m,则要求具有2m-1阶连续性，或连续。(可积性),28,例：图1：为一个连续函数，,图2：在x方向有一个一阶不连续点，但一阶导可积。,图3：二阶导数趋于无穷，使积分不能进行。,29,三、微分方程等效积分的弱形式,目的：降低对未知函数的连续性的要求,形式：对等效积分形式中进行m次分部积分。,可得：,（6）,此时均为m阶微分算子。,分部积分公式:,30,意义：,1)降低了对的连续性的要求。,2)对连续介质问题，便于有限元构造单元和插值函数,且可得到对称的系统矩阵,3)代价是提高对任意函数和的连续性要求。,31,4)在物理上更符合实际问题对连续性的要求,例：简支梁弯曲问题,上面微分方程的等效积分形式,32,弱形式：,对等效积分形式要求在域内，w三阶导数连续，很难实现。,如果采用对等效积分弱形式要求在域内，则w一阶导数连续即可。,33,4)若和取特定函数，则为加权余量法的不同格式。,注：分部积分法,34,自然边界条件线性微分算子。,设：定解问题,线性微分算子。,基本边界条件线性微分算子。,四、加权余量法的基本思想,基于等效积分的近似方法。,35,五、加权余量法步骤,3）完备性。n时,1.构造近似解,未知待定系数，形函数，且应满足：,1）一定的连续条件,2）线性独立。N1Nn,36,当n有限时，方程存在偏差（余量）,37,2.加权意义上为零，形成求解方程组（等效积分的弱解形式）,即：,或：,为权函数,(预先设定)线性无关。,作用：强迫余量在某种平均意义上为零。,38,取(j=1,2,n),39,3.加权余量法的关键(两种函数的选择),1）与等效积分形式不同：一个是精确解，,而加权余量法得到的为是近似解。,a)近似表达式为有限项。,b)对某些特定的权函数。(非任意),40,2）试函数：如能满足一定的域内条件或边界条件，使问题简化，且有一定的精确度。,3）权函数：不同的权函数，涉及不同的计算格式。,例如：,41,采用使余量的加权积分为零的等效积分的“弱”形式。来求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。它是求微分方程近似解的一种有效方法。,注：权函数：不同权函数的选择涉及不同的计算格式。,42,六、加权余量法的几种常用方案,1.配点法,取：,则有：,注：Dirac函数,为了讨论方便，不失一般性，认为以满足边界条件，仅剩域内积分；为线性微分算子。,43,所以上式可表示为：,44,矩阵式：,或：,其中：,这种方法相当于简单地强迫若干个在域内的点上余量等于零。说明：Aij非对称，不用求积分。,45,即：,试取权函数,2.最小二乘法,最小二乘法是加权余量法的一种。标准最小二乘法是：要使域内每一点的残数（或误差）的平方和最小，或平方的积分最小。,46,对上式求偏导：,上式展开的矩阵形式：,其中：，,可见，矩阵对称，但需要数值积分。,47,3.最小二乘配点法,显然，权函数为：,矩阵对称，无积分。,48,4.Galerkin（伽辽金）法,非对称、系数矩阵含积分运算。,49,说明：,如果要形成有限元格式，则希望得到对称系数矩阵，同时希望积分中的微分阶数降低。,Galerkin加权余量法（见后）,50,对Galerkin法,运用格林公式：,51,如果L为二