天津高三数学份联考试卷

天津市2019届高三4月份联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，然后再求出集合的补集，然后再根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】由于，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，熟练掌握补集、交集的运算公式是解决问题的关键.2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解出不等式x-20，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.【详解】由x-21，得1x0，得x1或x2；所以“x-20”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3.若变量x，y满足约束条件x+y-10x-y-102x-y+40，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. -2D. 不存在【答案】B【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，结合z的几何意义可得最值.【详解】作出可行域如图：可得目标函数在点A处取到最大值，联立x+y1=02xy+4=0解得A(-1,2),此时zmax=2xy=0，故最大值为0.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划.线性规划问题求解方法注意可行域确定及z的几何意义.4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）A. 21B. 58C. 141D. 318【答案】C【解析】经过第一次循环得到的结果为S=20+12=1，k=1+1=2；经过第二次循环得到的结果为S=21+22=6，k=2+1=3；经过第三次循环得到的结果为S=26+32=21，k=3+1=4；经过第四次循环得到的结果为S=221+42=58，k=4+1=5；经过第五次循环得到的结果为S=258+52=141，k=5+1=6，此时输出结果.故选C.5.抛物线y2=ax(a0)的准线与双曲线C:x28y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为22，则a的值为 ( )A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【详解】抛物线y2=ax(a0)的准线为x=a4， 双曲线C:x28-y24=1的两条渐近线为y=22x， 可得两交点为a4,2a8,a4,2a8， 即有三角形的面积为12a42a4=22，解得a=8，故选A【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题6.y=sin(2x+3)的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(12,0)中心对称（ ）A. 向左平移12个单位B. 向左平移6个单位C. 向右平移12个单位D. 向右平移6个单位【答案】C【解析】【分析】设出将函数y=sin（2x+3）的图象平移个单位得到关系式，然后将x=12代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可【详解】假设将函数y=sin（2x+3）的图象平移个单位得到y=sin（2x+2+3）关于点（12，0）中心对称将x=12代入得到sin（6+2+3）=sin（6+2）=06+2=k，=12+k2，当k=0时，=12，向右平移12，故选：B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且对任意x1，x2（0，3)都有f(x2)-f(x1)x2-x10，若a=23，b=log23，c=eln4，则下面结论正确的是（ ）A. f(a)f(b)f(c)B. f(c)f(a)f(b)C. f(c)f(b)f(a)D. f(a)f(c)f(b)【答案】C【解析】【分析】由条件f(3-x)=f(3+x)，可知函数f(x)关于x=3对称，由对任意x1，x2（0，3)都有f(x2)-f(x1)x2-x10，可知函数在x（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到a，b，c的大小【详解】因为f(3-x)=f(3+x)，得函数f(x)关于x=3对称，又对任意x1，x2（0，3)都有f(x2)-f(x1)x2-x10，所以函数f(x)在x（0，3)时单调递减，因为0a=2320=1b=log23fbf2，又c=eln4=4，f4=f2，所以fc=f2，所以f(c)f(b)0)为圆C:(x3)2+y2=1的切线，则k_【答案】22【解析】【分析】由于直线与圆C相切，利用圆心C到直线的距离公式求出圆C到直线的距离等于半径，即可求出结果.【详解】因为直线l:y=kx(k0)为圆C:(x-3)2+y2=1的切线，所以圆心C到直线的距离为3k1+k2=1，又k0，所以k=22，故填22.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则不等式f(x)x0的解集是_ 【答案】(,1)(1,+)【解析】【分析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，则f1=f0=f1=0，则可以将定义域R分为，1，1，0，0，1，1，+四个区间结合单调性进行讨论，可得答案【详解】依题意，当x0时，xf(x)-f(x)0，所以xfxfxx20，得函数gx=fxx在0，+上为增函数；又由gx=fxx=fxx=gx，得函数gx=fxx在R上为偶函数；函数gx=fxx在，0上为减函数，又f1=0，所以g1=0，g1=0，作出草图，由图可知fxx0解集是，11，+，故答案为，11，+.【点睛】本题综合考查了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题.13.已知a1,b1，若loga2+logb16=3，则log2(ab)的最小值为_【答案】3【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可【详解】令x=loga2,y=logb16，则a=21x,b=24y,x+y=3，所以log2ab=log2a+log2b=1x+4y，所以1x+4y=131x+4yx+y=131+4+yx+4xy135+2yx4xy=3，当且仅当x=1,y=2时取等号，故log2(ab)的最小值为3.【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用14.已知函数fx=xlnx，x0x+1x+2，x0时f(x)=1+lnx，令f(x)=1+lnx=0，得x=1e，可知函数f(x)在0，1e上单调递减，在1e,+上单调递增，所以f(x)min=f(1e)=-1e；当x0x+1x+2，x0-1e-a20g0=14e20，得1ea54e.故答案为：1e,54e【点睛】本题考查函数的单调性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分布是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.cos(B)=23，c=1，asinB=6csinA.（）求边a的值；（）求cos(2B+3)的值.【答案】（）53（）415118【解析】【分析】（）由已知利用诱导公式，可求cosB得值，利用正弦定理化简已知等式可求得b的值，再根据余弦定理可解得a的值；（）利用同角三角函数的基本关系式可求得sinB的值，根据二倍角公式可求得sin2B,cos2B的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.【详解】（）由cos(-B)=23，得cosB=-23，因为c=1，由asinB=6csinA，得ab=6ca，b=6 ，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得3a2+4a-15=0，解得a=53或a=-3（舍）a=53（）由cosB=-23得sinB=53sin2B=-459，cos2B=-19cos(2B+3)=cos2Bcos3-sin2Bsin3=415-118【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为23和13，每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.() 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；() 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记=XY，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（）1627；（）答案见解析.【解析】【分析】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai.由题意求解“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率即可；(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai.由题意可知可取0,3,4.求得相应的概率值，列出分布列，最后求解数学期望即可.【详解】(1)设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件Ai.易知“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率：PA0+PA1=C40130234+C41131233=1681+3281=4881=1627.(2)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai.由题意可知可取0,3,4.P(=0)=PA0+PA4=C40130234+C44134230=1681+181=1781，P(=3)=PA1+PA3=C41131233+C43133231=3281+881=4081，P(=4)=PA2=C42132232=2481.故的分布列为：034P178140812481E()=01781+34081+42481=83.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望的求解，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，ADBC，ABC=90，PA面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1（）若M为PC的中点，求证DM面PAB；（）求证：面PAB面PBC；（）求AC与面PBC所成角的大小【答案】（1）见解析（2）见解析（3）30.【解析】【分析】（1）取PB中点N，连接MN和NA，由中位线定理可知，MN/BC且MN=12BC，再根据平行线的传递性可知，MN/AD且MN=AD所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM/AN，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（2）由线面垂直的判定定理即可证明BC面PAB，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（3）ANPB，ANBC，PBBC=B，所以AN面PBC，所以ACN即为AC与面PBC所成角，再根据正弦定理即可求出结果.【详解】（1）取PB中点N，连接MN和NA， MN/BC且MN=12BC，AD/BC且AD=12BC,则MN/AD且MN=AD所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM/ANDM面PAB， AN面PAB，所以DM/面PAB； （2）BCAB，BCPA，ABPA=A所以BC面PAB， 又BC面PBC，所以面PAB面PBC； （3）ANPB，ANBC，PBBC=B，所以AN面PBC，所以ACN即为所求. AN=2，AC=22，sinACN=12，所以AC与面PBC所成角的大小为30.【点睛】本题主要考查线面平行判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面角的求法，熟练掌握这些判定定理是解题的关键，本题属于基础题.18.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=1n14n2+4n1anan+1，求数列bn前n项和T2n；（）若对于nN*，T2n222恒成立，求范围.【答案】（1）an=2n1（2）T2n=114n+1（3）3或1【解析】【分析】（1）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1S4，将d=2,S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d代入，即求出结果 （2）由（1）可知bn=(-1)n-1+(-1)n-1(12n-1+12n+1)，由于2n为偶数，再采用裂项相消即可求出结果；（3）由（2）可知，T2n=1-14n+11，解不等式即可求出结果.【详解】（1）d=2,S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,S1,S2,S4成等比S22=S1S4，解得a1=1,an=2n-1. （2）bn=(-1)n-1+(-1)n-1(12n-1+12n+1) T2n=0+1+13-13-15+-14n-1-14n+1=1-14n+1 （3）T2n=1-14n+11 2-2-21； 3或-1【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组与“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，F1GH的周长为8过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P.（）求椭圆的标准方程；（）若AMN的面积为1827，求直线MN的方程；（）证明：点P在定直线上【答案】（）x24+y23=1；（）x-y-1=0；（）见解析.【解析】【分析】（）利用三角形周长和通径列出关于a,b,c的方程，即可得解；（）利用待定系数法设出直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出AMN的面积公式，求出系数；（）求出点P的坐标可得结论.【详解】（）|GH|=2b2a=3，4a=8，解得：a=2，b=3；所以椭圆方程为：x24+y23=1（）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，=144（k2+1）0，x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3；|MN|=12(k2+1)4k2+3；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为d=3|k|k2+1，S=18|k|k2+14k2+3=182717k4+k2-18=0k=1；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0当直线MN斜率k不存在时，S=122b2a(a+c)=921827（舍）综上：直线MN方程为：x-y-1=0（）设AM：y=k1（x+2）（k10），与椭圆联立：(4k12+3)x2+16k12x+16k12-12=0，xAxM=16k12-124k12+3xA=-2xM=6-8k124k12+3，yM=12k14k12+3同理设BN：y=k2（x-2）（k20），可得xN=8k22-64k22+3，yN=-12k24k22+3，所以MN的方程为：y-yMx-xM=yN-yMxN-xM，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）（k2-3k1）=0，k1k20，k2=3k1又因为AM与NB交于P点，即yp=k2(xp-2)yp=k1(xp+2)，xp=2(k1+k2)k2-k1，将k2=3k1代入得xP=4，所以点P在定直线x=4上.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线方程的求解.方程求解一般是利用待定系数法.定值问题综合性较强，难度稍大一些.20.已知函数f(x)=2lnxx2.（1）求f(x)在点P(2,f(2)处切线方程； （2）若函数y=f(x)与y=m在1e,e内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（3）令g(x)=f(x)nx，如果g(x)图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)，AB中点为C(x0,0)，求证:g(x0)0.【答案】（1）3x+y22ln2=0（2）m2e2,21e21（3）见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出斜率和切点，然后再根据点斜式即可求出结果；（2）利用导数求出函数在1e,e的单调性，根据函数的单调性做出草图，即可求出实数m的取值范围；（3）由点A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)在g(x)图象上，把点的坐