天津高中数学第8讲三角函数寒假课程学案新人教

1 第八讲第八讲 三角函数三角函数 一、知识梳理 1.任意角：按逆时针旋转所成的角为正角，按顺时针旋转所成的角为负角. 2.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第 几象限角. 第一象限角的集合为36036090 ,kkk 第二象限角的集合为36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为180 ,kk 终边在y轴上的角的集合为18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk 3.与角终边相同的角的集合为360,kk 4.长度等于半径长的弧所 对的圆心角叫做1弧度. 5.半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l r . 6.弧度制与角度制的换算公式：2360 ，1 180 ， 180 157.3 . 7.若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr， 2Crl， 2 11 22 Slrr. 8.设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，, x y 22 0r rxy 则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x . 9.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 10.同角的三角函数关系： （1） 2222 sin1 cos,cos1 sin ； 22 sincos1 2 （2） sin sintancos,cos tan . sin tan cos 11.函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限.） （1），cos 2cosk，tan 2tankk.sin 2sink （2），coscos ，tantan.sinsin （3），coscos，tantan .sinsin （4），coscos ，tantan .sinsin （5），cossin 2 .sincos 2 （6），cossin 2 .sincos 2 12两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1）coscoscossinsin； （2）coscoscossinsin； （3）sinsincoscossin； （4）sinsincoscossin； （5） tantan tan 1tantan tantantan1tantan； （6） tantan tan 1 tantan tantantan1 tantan 13.二倍角的正弦、余弦和正切公式： （1）sin22sincos 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 （2） 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式： 2 sin2cos1 , 2 cos2cos1 22 降幂公式： 2 cos21 cos 2 ， 2 1 cos2 sin 2 （3） 2 2tan tan2 1 tan 3 二、方法归纳 （1）在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小. （2）弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制. （3）三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式.重视用数学定义解题.数形结合.充分利用 单位圆中的三角函数线帮助解题； （4）利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即t 2 k 与 之间函数值关系（kZ） ，其规律是 “奇变偶不变，符号看象限” ；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.等价变换. 熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题； 三、典型例题精讲 例例 1 1、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且x), 4(yP ，则_. 5 52 siny 答案：8 解析：r， x2y216y2 sin，sin ，解得y8. 2 5 5 y r y 16y2 2 5 5 跟踪训练：跟踪训练：已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=xxy2cos2 A B C. D. 4 5 3 5 3 5 4 5 答案：B 解析：解法 1：在角终边上任取一点P（a，2a） （a0） ，则r2 2a2（2a）25a2， |OP| cos2 ，cos22cos21 1 . a2 5a2 1 5 2 5 3 5 解法 2：tan2，cos2 . 2a a cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 3 5 例例 2 2 、若角的终边落在直线上，则的值等于（ ） 0 yx cos cos1 sin1 sin 2 2 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 或 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22220 答案： D 解析：， 2 2 sinsin1 cossin coscoscos 1 sin 当是第二象限角时，； sinsin tantan0 coscos 当是第四象限角时，. sinsin tantan0 coscos 4 例例 3 3、已知是第二象限的角，则=_. 2 1 tancos 答案： 2 5 5 解析：， 1 tan 2 2 5 cos 5 例例 4 4、已知为第二象限的角，则 . 3 sin 5 a tan2 答案： 24 7 解析：因为为第二象限的角，又， 所以， 3 sin 5 4 cos 5 sin3 tan cos4 所以 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 变式训练：若，且，则的值等于（ ）) 2 , 0( 4 1 2cossin 2 tan A. B. C. D. 2 2 3 323 答案：D 解析：因为 sin2cos2sin212sin21sin2cos2， cos2 ，sin21cos2 ， 1 4 3 4 ，cos ，sin，tan，故选 D. (0， 2) 1 2 3 2 sin cos3 例例 5 5、cos300 （A） （B）- （C） （D） 3 2 1 2 1 2 3 2 答案： C 解析： 1 cos300cos 36060cos60 2 例例 6 6、已知，则（ ） 2 sin 3 )2cos( （A） （B） （C） （D） 5 3 1 9 1 9 5 3 答案：B 解析： 3 2 sin 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 5 例例 7 7 、若= -，是第三象限的角，则=（ ）sin 4 5 ) 4 sin( （A）- （B） （C） （D） 7 2 10 7 2 10 2 - 10 2 10 答案： A 解析：由已知得， 3 cos 5 所以. 32327 2 sin()sincoscossin 444525210 变式训练：已知，cos（）=，sin（+）=，求 sin2的值_. 2 4 3 13 12 5 3 答案： 65 56 解法一：，0.+， 2 4 3 4 3 2 sin（）=. 5 4 )(sin1)cos(, 13 5 )(cos1 22 sin2=sin（）+（+） =sin（）cos（+）+cos（） sin（+） . 65 56 ) 5 3 ( 13 12 ) 5 4 ( 13 5 解法二：sin（）=，cos（+）=， 13 5 5 4 sin2+sin2=2sin（+）cos（）=，sin2sin2=2cos（+） 65 72 sin（）=， 65 40 sin2= 65 56 ) 65 40 65 72 ( 2 1 例例 8 8、如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点CP 不在上）且半径相等. 设第 段弧所对的圆心角为，则PCi(1,2,3) i i _ . 232311 coscossinsin 3333 6 答案： 1 - 2 解析： 232312311 coscossinsincos 33333 又，所以. 123 2 123 1 cos 32 例例 9 9、若，则的值等于（ ）3tan 2 sin cos2 A2 B3 C4 D6 答案： D 解析： 因为2tan6，故选 D. sin2 cos2 2sincos cos2 2sin cos 例例 1010、若，则= （ ） 1 sin 63 2 cos2 3 A B C D 9 7 3 1 3 1 9 7 答案：D 解析： 9 7 1) 6 (sin2)2 3 cos()2 3 (cos)2 3 2 cos( 2 例例 1111、观察下列等式： cos2a=2-1; 2 cos a cos4a=8- 8+ 1; 4 cos a 2 cos a cos6a=32- 48+ 18- 1; 6 cos a 4 cos a 2 cos a cos8a=128- 256+ 160-32+ 1; 8 cos a 6 cos a 4 cos a 2 cos a cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1. 10 cos a 8 cos a 6 cos a 4 cos a 2 cos a 可以推测，m n + p= . 答案：962 解析：因为所以； 1 22 , 3 82 , 5 322 , 7 1282 , 9 2512m 观察可得，所以 m n + p =962.400n 50p 例例 1212、若实数、满足，则称比接近.xymxmymxym 7 （1）若比 3 接近 0，求的取值范围； 2 1x x （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；ab 22 a bab 33 ab2ab ab （3）已知函数的定义域.任取，等于和( )f x,Dx xkkZ xRxD( )f x1 sin x 中接近 0 的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性1 sin x( )f x （结论不要求证明）. 答案解析：（1） x（2，2） ； （2）对任意两个不相等的正数a、b，有， 22 2a babab ab 33 2abab ab 因为， 22332 |2|2|()()0a babab ababab abab ab 所以， 2233 |2| |2|a babab ababab ab 即a2bab2比a3b3接近；2ab ab （3） ，kZ， 1sin ,(2,2) ( )1 |sin|, 1sin ,(2,2) xxkk f xx xk xxkk f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，最小正周期T， 函数f（x）的最小值为 0， 函数f（x）在区间单调递增，在区间单调递减，kZ,) 2 kk (, 2 kk 四、课后练习 1.设是方程的两个根，则的值为（ ）tan,tan 2 320 xxtan() （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 2.若，则（ ） 4 2 ， 3 7 sin2 = 8 sin （A） （B） （C） （D） 3 5 4 5 7 4 3 4 3.已知，(0，)，则=sincos2tan (A) 1 (B) (C) (D) 1 2 2 2 2 4.设为锐角，若，则的值为 4 cos 65 ) 12 2sin( a 5. ， （）求的值.（）求.0, 14 13 )cos(, 7 1 cos且 2 2tan 8 6. 求函数的最大值与最小值. 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 7在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A、 B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 , 105 （）求 tan（）的值；（）求的值2 8. 已知函数.（）求的定义域； （）设为第四象限的角，且 12sin(2) 4 ( ) cos x f x x ( )f x ，求的值.tan 4 3 ( )f 9.已知的值.) 3 2sin(, 2 , 0cos2cossinsin6 22 求 9 10. 已知. 4 , 2 , 10 2 4 cos xx （）求的值；xsin （）求的值. 3 2sin x 【参考答案】 1.【答案】A 【解析】因为是方程的两个根，tan,tan 2 320 xx 所以，3tantan2tantan 所以，选 A.3 21 3 tantan1 tantan )tan( 2.【答案】D 【解析】因为，所以， 2 , 4 , 2 2 02cos 所以， 8 1 2sin12cos 2 又，所以，选 D. 8 1 sin212cos 2 16 9 sin 2 4 3 sin 3.【答案】A 【解析一】sincos2,2sin()2,sin()1 44 ，故选 A 3 (0),tan1 4 ， 【解析二】 2 sincos2,(sincos)2,sin21, ，故选 A 33 (0, ),2(0,2 ),2,tan1 24 4.【答案】. 17 2 50 10 【解析】为锐角，即，.0 2 2 = 66263 ， 4 cos 65 3 sin 65 . 3 424 sin 22sincos=2= 3665 525 A A . 7 cos 2 325 sin(2)=sin(2)=sin 2coscos 2sin 12343434 aaaa . 2427217 =2 25225250 AA 5.【解析】 （）由，得， 1 cos,0 72 2 2 14 3 sin1 cos1 77 ， sin4 37 tan4 3 cos71 于是. 22 2tan2 4 38 3 tan2 1tan47 14 3 （）由，得.0 2 0 2 又， 13 cos 14 2 2 133 3 sin1 cos1 1414 由得， coscos coscossinsin ， 1134 33 31 7147142 所以. 3 11 6.【解析】 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx . 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数在中的最大值为， 2 16zu11 ， 2 max 1 1610z 最小值为， 2 min 1 166z 故当时取得最大值，当时取得最小值.sin21x y10sin21x y6 7.【解析】由已知条件及三角函数的定义可知， 22 5 cos,cos 105 因为，为锐角，所以=，sin 7 25 ,sin 105 因此， 1 tan7,tan 2 （）tan（）= tantan 3 1tantan （） ，所以 2 2tan4 tan2 1tan3 tantan2 tan21 1tantan2 为锐角，=., 3 02 2 2 3 4 8.【解析】 （）由 得， cos0 x () 2 xkkZ 故在定义域为( )f x, 2 x xkkZ （）因为，且是第四象限的角，所以 4 tan 3 43 sin,cos, 55 故 12sin(2) 4 ( ) cos f 22 12(sin2cos2 ) 22 cos 1 sin2cos2 cos 2 2cos2sincos cos .2(cossin) 14 5 9.【解法一】由已知得：0)cossin2)(cos2sin3( 0