学高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差课时训练理新人教A选修23

2.3离散随机变量的均值和方差1.离散随机变量的平均值一般来说，如果离散随机变量的分布列表是然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _被称为随机变量的平均值或数学期望。它反映了离散随机变量值的平均水平。说明：(1)均值描述值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；(2)根据均值的定义，可以看出随机变量的分布完全决定了它的均值。然而，相反，两种不同的分布可以具有相同的平均值。这表明分布描述了随机现象的规律，从而决定了随机变量的平均值。平均值仅表征随机变量值的“中心位置”的重要特征，不能完全确定随机变量的性质。2.平均值的性质如果，其中，它是一个常数和一个随机变量，它也是一个随机变量，和_ _ _ _ _ _ _ _ _。3.共同分布的平均值(1)两点分布：如果随机变量服从带参数的两点分布，则_ _ _ _ _ _ _。(2)二项式分布：如果随机变量是离散的，那么_ _ _ _ _ _ _。(3)二项分布均值公式的直观解释：在一次测试中，测试成功的概率为，那么在下一次独立重复测试中，成功测试的平均次数为。注：两点分布是一种特殊的二项式分布。如果测试成功的概率是，随机变量等于1的概率是，随机变量等于0的概率是。4.离散随机变量的方差一般来说，如果离散随机变量的分布列表是然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _被称为随机变量的方差，它的算术平方根被称为随机变量的标准差。注：(1)描述1，2的偏离度，相对于平均值，而是偏离度的加权平均值，并描述随机变量与平均值的平均偏离度。随机变量的方差和标准差都反映了随机变量与平均值的平均偏离程度。方差或标准差越小，随机变量与平均值的平均偏离程度越小；(2)标准差与随机变量的单位相同，方差的单位是随机变量单位的平方。5.差异的本质(1)如果其中有一个常数是一个随机变量，那么。(2)方差公式变化：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。6.共同分布的方差(1)两点分布：如果随机变量服从带参数的两点分布，那么。(2)二项式分布：如果随机变量是离散的，那么_ _ _ _ _ _ _。参考答案：1.2.3。4.5.6。强调求解离散随机变量的期望和方差困难离散随机变量期望和方差性质的应用容易出错混淆共同分布的期望和方差的相关公式会导致错误。求解离散随机变量的均值和方差寻找离散随机变量的均值和方差的步骤是：(1)理解含义并写出所有可能的值；(2)计算每个值的概率；(3)书面分发清单(有时省略)；(4)根据定义，根据以往经验，项目建设期间降水(单位：毫米)对工期的影响如下表所示：沉淀施工延误天数多年气象资料表明，本项目建设期间降水少于300，700，900的概率分别为，并计算了延误天数的均值和方差。(1)已知条件和概率的加法公式如下：,所以分发名单是因此。一个农场计划种植一种新作物。因此，对该作物的两个品种(分别称为品种A和品种B)进行了田间试验。选择两个大地块，每个大地块被分成小地块。在全部小地块中，随机选择小地块种植品种A，小地块种植品种B。如果在第一个大地块中，将种植品种A的小地块数量记录为分布列表，计算平均值和方差。分辨率随机变量的所有可能值都是0，1，2，3，4。，所以分发名单是因此。离散随机变量的均值和方差的性质(1A.b.c.d .或(3)如果是随机变量，那么A.2B.4C.8D.9(1)b(2)C；(3)乙(1)容易从问题中得到.因此，我们选择了b。(2)因为它是一个离散的随机变量，因此，解还是(放弃)，所以。所以选择c .(3)因为随机变量，因此。因此。选择b。袋子里有20个同样大小的球，其中10个标有数字0，1 (1，2，3，4)标有数字。现在，从袋子中取出任何一个球，并使用表示所取球的数字。(1)获得的分布列表、平均值和方差；(2)如果.试着去寻找.(1)从问题中获得的所有可能值是0，1，2，3，4。，所以分发名单是因此。(2)因为.所以解决办法还是。名师亮点通过使用公式，寻道问题可以转化为寻道问题，从而避免了寻道分布表的繁琐计算。在解决问题时，可以根据两者之间的关系列出方程，并进行相应的计算。二项分布的均值和方差根据以前的统计数据，某个车主购买a类保险的概率是，他购买b类保险但不购买a类保险的概率是，假设每个车主独立购买保险。(1)找出当地车主至少会购买甲、乙两种保险中的一种的可能性；(2)该地区不购买任何一种保险的200名车主人数的平均值和方差。决议假设该事件意味着“这个地方的一个车主购买了a类保险”，该事件表明，“该地区的一名车主购买了b类保险，但没有购买a类保险”，该事件表明，“该地区的一名车主至少购买了甲、乙两种保险中的一种”，该事件表明，“该地区的一个业主不购买任何一种类型的保险”，然后他们相互独立。从问题的含义来看，然后。(2)如果它容易获得，它可以从主题中获得。所以，对于某种有奖销售的饮料，瓶盖上会印上“另一瓶”或“谢谢您的惠顾”的字样。如果瓶盖上印着“另一瓶”字样，获胜的概率是。三个同学a、b和c每人买了一瓶饮料。(1)寻找甲获奖而乙和丙未获奖的概率；(2)找出获奖者人数及其数学期望和方差的分布列表。(1)假设a、b和c的获胜项目分别是，因此，a赢了奖，b和c都没赢的概率是。(2)从问题中获得的所有可能值是0，1，2，3和0，1，2，3。所以中奖号码的分布列表如下方法1:可从分发列表中获得。方法2:问题很容易解决，所以，如果离散随机变量服从二项式分布，其均值和方差可以通过定义或代入二项式分布的均值和方差计算公式来求解。使用均值和方差进行决策未采取任何预防措施的突发事件的发生概率为，一旦发生，将造成1万元的损失。有两种独立的预防措施可供采取。单独采取预防措施的费用为10，000.00元，单独采取预防措施的费用为10，000.00元。采取相应的预防措施后，本次突发事件的发生概率分别为1万元。如果预防措施允许两种预防措施分开、联合或不联合采取，请确保预防措施将导致最低的总成本。决议 未采取预防措施时，总成本为平均损失(万元)；(2)如果单独采取甲方的预防措施，预防措施的费用为人民币10，000.00元，突发事件发生的概率为：平均损失为(万元)，因此总成本为(万元)；(3)如果单独采取预防措施B，预防措施费用为10，000.00元，发生突发事件的概率为：平均损失为(万元)，因此总成本为(万元)；(4)如果同时采取预防措施甲和预防措施乙，突发事件发生的概率为，则预防措施的费用为(10，000元)，平均损失为(10，000元)，因此总费用为(10，000元)。综合 可以看出，选择两者兼顾可以使总成本最小化据统计，有两个学生，A和B，在回答同一个数学试卷时分别得了80分、90分和100分。概率分布大致如下表所示：A分数概率；可能性B分数概率；可能性试着分析学生a和b中哪一个成绩更好。决议这个问题很容易理解，,因为，因此，学生A和B的平均分数是相等的，但他们分数的稳定性是不同的。学生甲的成绩相对稳定，而学生乙的成绩波动较大，所以学生甲的成绩较好。平均值可以反映随机变量值的“平均水平”。因此，当平均值不同时，可以清楚地确定两个随机变量的值的水平。然而，有时即使两个随机变量的平均值相同，它们的值也会有很大的不同。这时，我们应该用方差来反映随机变量的集中值。因此，我们可以描述两个随机变量的分布，并对实际问题做出决策。超几何分布的均值和方差一般来说，从包含缺陷产品的产品(其中任何一个是有缺陷的)开始，服从具有参数的超几何分布，并且其分布列表是，0，1，2，其中、有两种方法可以找到超几何分布的均值和方差：(1)列出随机变量的分布列表，用均值和方差的计算公式直接求解；(2)使用公式：一所学校必须从5个男孩和2个女孩中选择2个作为世博会志愿者。如果所选志愿者中女孩的数量用随机变量表示，那么(1)平均值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；(2)差异_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(结果用最简单的分数表示)回答(1)；(2)。分析方法1:从问题的意义上，我们知道随机变量服从带参数的超几何分布，的可能值是0，1，2，所以，所以分发名单是012因此，方法2:从问题的意义出发，我们知道随机变量服从带参数、和的超几何分布，可以直接代入计算超几何分布均值和方差的公式。大师亮点超几何分布平均值公式的直观解释：一个产品中发现一个缺陷产品，很容易知道平均发现一个缺陷产品。如果你从他们中的任何一个那里拿走一件产品，你将平均得到一件有缺陷的产品。1.以下陈述是正确的离散随机变量的平均值反映了取值概率的平均值离散随机变量的方差反映了值的平均水平离散随机变量的平均值反映了取值的平均水平。离散随机变量的方差反映了取值概率的平均值2.如果、已知，则、的值为A.10B.7C.3D.63.给定，的值分别为A.哥伦比亚特区华盛顿，4.随机变量的所有可能值都是0，1，2。如果，方差为美国广播公司5.目前有10种产品，其中3种有缺陷，2种可选。如果标明了缺陷产品的数量，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。6.包里有两个红色的球和一个黑色的球。除了不同的颜色，其他的都一样。在现有提取中，一次提取一个球。记录颜色后，放回袋中，连续触摸三次，表示三次触摸红色球的次数(每个球被提取的概率相同，且每个提取相互独立)，方差为_ _ _ _ _ _ _ _ _。7.如果随机变量服从二项式分布，那么。8.假设1500件产品中有100件不合格品，如果选择15件产品进行检验，则15件产品中不合格品的平均值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。9.一个企业完成一个项目有三种方案。每个方案的盈利能力如下表所示：自然条件方案a选项b方案c概率；可能性利润(万元)概率；可能性利润(万元)概率；可能性利润(万元)巨大的成功适度成功失败的为了企业利润最大化，企业应该选择哪种方案？10.为了制定合理的节电计划，供电局对电力进行了调查(2)从样本中月平均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户。x表示月平均用电量不低于800度的用户数，计算随机变量的分布列表和数学期望。11.袋子里有20个同样大小的球，其中5个标有数字0，1 (1，2，3，4，5)标有数字。现在，从袋子中取出任何一个球，并使用表示所取球的数字。(1)获得的分布列表、平均值和方差；(2)如果.试着去寻找.12.众所周知，离散随机变量的分布列表遵循下表，那么随机变量的方差等于美国广播公司13.当a和b打乒乓球时，双方同意胜者得1分，败者得0分。当一名玩家比另一名玩家多得2分或玩了6场游戏时，游戏将停止。假设每个游戏中a获胜的概率是，每个游戏中b获胜的概率是，并且每个游戏中的赢和输是彼此独立的，设置当游戏停止时所玩游戏数量的期望值美国广播公司14.假设随机变量的分布列表是，0，1，2，然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。15.被称为离散随机变量，如果，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。16.给定集合，事件满足条件的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _；该集合的元素包含奇数的预期是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。17.学生甲和乙参加了数学竞赛训练。现在他们已经从训练期间参加的几个预赛的结果中随机选择了8次。纪录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85。(1)现在他们中的一个将被选中参加数学竞赛。考虑到平均情况和差异，你认为哪个学生合适？请解释原因；(2)如果将频率视为概率，预测学生A在接下来的三次数学竞赛中的分数，并将这三次分数中高于80的次数记录为分布列表和数学期望。18.一个工厂里有4台大型机器。一个月之内，一台机器最多会出现一次故障，而每台机器是否出现故障都是相互独立的。当故障发生时，需要一个工人来修理。每台机器出现故障需要维修的概率是。(1)询问工厂至少有多少维护人员能够确保在任何时候同时出现故障时，每台机器的及时维护概