天津高中数学第1讲集合及其应用寒假课程学案新人教

第一集及其应用一、知识整理1 .要素和集合：将能够确定的不同对象视为一个整体，即整体是由这些对象的整体构成的集合(或集合)。 每个构成集合的对象称为该集合的要素。 常用数集的符号：自然数集、正整数集或整数集、有理数集、实数集。 不包含元素的集合称为空集注：集合中元素的三个特性：元素确定性、元素异性、元素无序性2 .集合与要素的关系：如果是集合的要素，则记为属于集合，如果不是标记为的集合的要素，则记为不属于集合3 .集合表示：枚举法：逐一列举元素，用括号括起来表示集合记述法：使用集合中包含的元素的特征性质来记述集合。表示集合由集合中具有性质的所有元素构成。Venn图：4 .集合之间的基本关系：子集：如果集合中的某个要素是集合中的要素，我们就把集合称为集合的子集，记述为含有a。 空集合是其中一个集合的子集真子集合：如果集合了，则存在要素x且记为x，集合称为集合的真子集合集合相等：如果构成两个集合的要素相同，我们就称这两个集合相等。 集合和集合相等:空集定义了哪个集合的子集，空集定义了哪个非空集合的真实子集5 .集合运算：交叉：由属于集合a且属于集合的所有要素构成的集合称为与集合的交叉，记为“”，读作：交叉。和集合：由所有集合a或属于集合的要素构成的集合称为与集合的和集合，记为“”，读作：和。补集：对于一个集合，将全集中由不属于集合的所有要素构成的集合称为集合中的补集，记为u，读作：中的补集二、方法总结1 .解集合问题，首先要正确理解集合相关的概念，特别是集合中的要素的三个特征，对于用记述法给出的集合，要牢牢掌握纵线前面的代表要素及其具有的性质在读集合上尽可能简单的集合是困难的，隐藏是常用的技术2 .注意空集的特殊性，在解题中不能指定集合不为空时，必须考虑空集的可能性。 如果是b的话，有=或者的两种可能性。 在这种情况下，应该分类讨论3 .数组运算通常使用轴法4 .用Card ()表示限定集的要素数时，为Card()Card ()； Card()=Card ()； Card()=0。5 .这个元素的集合的总子集的数目是全真子集的数目-1三、典型例题详谈【例1】如果是集合， 1，4 ，则满足条件的实数x的值为()A.4B.2或-2 C.-2 D.2分析：依据是但是，根据元素的异性答案： c提示：集合的相关因素必须考虑集合中的因素具有确定性、异性和无序性例：如果求出31，实数的范围。答案： a0，1，3图2示出了一个已知的示例，集合中的元素的数量是()A.0 B.1 C.2 D .多个误解分析：直线上的点集，单位圆上的点集中元素的个数为2，选择c分析：依据、得、数集在单位圆上的点集1答案： a提示：记述法给出的集合必须先看代表要素，然后再看代表要素满足的条件。 交叉是由两个集合的共同要素组成的集合示例：如果设置为集合，则的子集数为()A.0 B.2 C.4 D.8分析：明显是坐标平面内的点集，抛物线和圆有三个交点即，集合有3个要素，即87563； 我有八个子集答案： d【例3】如果是三个集合的话，那就是2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653A. B.C. D.=解析：()，(铿锵锵锵锵653答案： a技术提示：理解集合的演算性质是解开正题的关键。() ()是交演和并列演算的重要性质。正题也可以利用Venn图直接得出结论。另外例：已知全集=，正确表示集合和=关系的韦恩(Venn )图为()解析：=u。答案： b设集合A=x|x2 ax-12=0、B=x|x2 bx c=0、且AB、ab= 3，4 、AB=-3，求出a、b、c值.分析：AB=-3，-3A且-3B式：将-3代入x2 ax-12=0时，a=-1，a= 3，4 .将-3代入式x2 bx c=0，则3b-c=9.ab= 3，4，AB=A，ba。2222222222222222222222222653方程式x2 bx c=0的判别式=b2-4c=02220从得到c=3b-9，用代入整理： (B-6)2=0，8756； b=6，c=9因此，a=-1、b=6、c=9.提示：集合中的要素是以方程式的解的形式给出的，所以必须从集合中的要素的特性和交叉、和集的意义来考虑【例5】将集合a、b设为非空集合，定义AB=x|xAB且xAB，A=x|y=如果B=y|y=2x2，则AB等于()A.(2，) b. 0，1 2，)c. 0，1 (2，) d. 0，1 222222222222222652分析： A=x|y=x|0x2，B=y|y=2x2=y|y0，因为AB=0，)、ab= 0，2 ，所以AB=(2，)所以选择a .答案： a【例6】已知全集U=R、集合A=x|log2(3-x)2、集合B=x|1 .(1)求a、b(2)求(UA)B .分析： (1)log2(3-x)log24、8756； 解析-1- x 3，8756； a=x|-1x3。从1到(x 2)(x-3)0且x 20，则-2x3 .B=x|-2x3。(2)由于从(1)得到UA=x|x-1或x3 ，因此(ua)x|-2x-1或x=3 .技术提示：本问题研究求解简单的分式不等式和对数不等式此外，在示例：中，当得知集合U=R、集合A=y|-2y2、集合B=y|y=2x时，集合A(UB )等于()a. y|- 2y0 b. y|0y2 C.y|y-2 D.y|y0解析：从问题中容易得到： B=(0，)，RB=(-，0 )，所以arb=y|-2y0。答案： a【例7】已知集合A=x|x2-6x 80、B=x|(x-a)(x-3a)0。(1)若是ab，则求出a的可取范围(AB=，求a的可取范围(AB=x|3x4时，求出a的值或可取范围。分析： A=x|x2-6x 80，A=x|2x0时，B=x|ax3a即应满足a2在a0的情况下，B=x|3ax0时，B=x|ax3a，a4或3 a2，8756； 0a或a4；a0时，B=x|3axa、a2或a即可a 0时成立，a=0时，B=，AB=也成立由此可知，在a或a4的情况下，AB=为了满足(AB=x|3x0且a=3时成立此时B=x|3x9，AB=x|3x4；求出a的值是3。技术提示： (1)本问题是集合在一定制约条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径总是通过两个方面：一是分析、简化各集合，二是利用两个集合元素的性质(2)本问题体现了分类讨论的思想，分类要点是比较a和3a的大小，再显示集合b另外，例子：已知集合A=x|mx2-2x 3=0，mR。(1)如果a为空集合，则求出m的值的范围(2)a中只有一个元素时，求出m值(3)如果a中含有2种元素，则求出m可取范围.解析：集合a是方程式mx2-2x 3=0的实数范围内的解集合(1)A为空集合，8756； 方程式mx2-2x 3=0不能解222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6(2)A只有一个要素，8756； 方程mx2-2x 3=0只有一个解m=0时，方程式为-2x 3=0，解x=；如果m0，则=0，即4-12m=0，m=m=0或m=(3)A含有两种元素，8756； 方程mx2-2x 3=0有两个解，令人满意即，8756； m 且m0。四、放学后的训练1 .在已知集合P=x|x2=1、Q=x|mx=1、QP的情况下，实数m的数值为()A.1 B.-1 C.1或-1d.0，1或-12 .已知的u= 2，3，4，5，6，7 、m= 3，4，5，7 、n= 2，4，5，6 时( )a.mn= 4，6 b.mn=uc.(un)m=UD.(um)大雄大雄大雄大雄大雄3 .设I为全集，S1、S2、S3为I三个非空集合，且S1S2S3=I，则以下论断是正确的a.is1(s2s3)=b.s1(is2is3 )c.is1is2is3=d.s1(is2is3 )4 .设集合a= 1，1，3 、B=a 2，a2 4、AB=3时，实数a=_5 .众所周知，全集U=AB中有m个要素，(UA)(ub )中有n个要素。 如果AB不为空，则AB的元素数为A.mn B.m n C.n-m D.m-n6 .设集合A=x|-x2、B=x|x21时，AB=()A.x|-1x2 B.x|-x1C.x|x2 D.x|1x2设全集为u且2011U，则是与2011(AB )相同的意思()A.2011AB B.2011A或2011Bc.2011(ua )(ub ) d.2011(ua )(ub )8 .如果p和q是两个集合，并且P-Q=x|xP并且xQ是集合，并且P=x|log2x1、Q=x|x-2|1，则P-Q等于()A.x|0x1 B.x|0x1c. x|1x2 d. x|2x 3五、参考回答1 .答案： d分析： m=0时，Q=P；在m0情况下，从QP可知，成为x=1或x=-1、m=1或m=-1 .2 .答案： b分析：题意中mn= 4，5 ，mn= 2，3，4，5，6，7 =u(un )m= 3，4，5，7 u，(um)11卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡