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文档简介
永昌四中2020-2期中考试试卷高二数学(理科)一、选择题:1.已知曲线y2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 ()A. 4B. 16C. 8D. 2【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数,由切点坐标,令,即可得到切线的斜率.【详解】由可得,根据导数的几何意义可得,在点处的切线斜率为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数的求导公式以及利用导数的几何意义求切线斜率,属于简单题.2.函数f(x)xlnx在(0,6)上是( )A. 单调增函数B. 单调减函数C. 在上是减函数,在上是增函数D. 在上是增函数,在上是减函数【答案】A【解析】分析】计算导函数,根据导数的正负,判定原函数单调性,即可。【详解】 ,结合x定义域可知,故为增函数,所以选A。【点睛】本道题考查了导函数与原函数的单调性之间的关系,关键得到,即可,属于较容易的题。3.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是()A. ,1B. ,5C. ,5D. ,1【答案】C【解析】【分析】由题意,根据复数的定义可得a2=2,(2b)=3,解之得答案.【详解】由题意知a2=2,(2b)=3,解得a= ,b=5故选C【点睛】本题考查了复数的概念,实部与虚部,属于基础题.4.观察(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(x)等于()A. f(x)B. f(x)C. g(x)D. g(x)【答案】D【解析】【分析】由题意(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,分析其规律可得原函数为偶函数的导函数为奇函数,即可得答案.【详解】由题(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,这三个函数的原函数为偶函数,导函数为奇函数,可以推断原函数为偶函数的导函数为奇函数,所以若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(x)等于g(x).故选D.【点睛】本题是一道有关归纳推理的题目,总体方法是对已知条件进行仔细观察,得出一般性结论,属于较为基础题.5.曲线yx21与x轴所围成图形面积等于()A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】函数yx21与x轴的交点为(1,0),(1,0),且函数图象关于y轴对称,故所求面积为S22(xx3)2.故选:D6.设正弦曲线ysin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A. B. 0,)C. D. 0,【答案】A【解析】由题得,设切线的倾斜角为,则,故选A.7.f(x)是函数yf(x)的导函数,若yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件找到导函数在和为正,在为负,可得原函数的单调性即可得答案.【详解】由题意,可知导函数在区间和上是大于0;在是小于0;所以原函数在和是单调递增,在是单调递减,观察答案可得D选项故选D【点睛】本题考查了原函数与导函数的关系,熟悉导函数的正负可得原函数的单调性是解题的关键,属于基础题.8.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则a的取值范围为()A. 1a2B. 3a6C. a2D. a6【答案】D【解析】解:因为三次函数存在极大值和极小值,因此则其导函数必有两个不等的实数根,即f(x)3x22ax(a6)中判别式大于零,即为4a2-12(6)0,解得为a69.函数从5本不同的书中选出2本送给2名同学,每人1本,共有给法()A. 5种B. 10种C. 20种D. 60种【答案】C【解析】【分析】由题意知从5个不同元素中取2个元素的排列数,可的结果.【详解】根据题意,本题即是从5个不同元素中取2个元素的排列数,即故选C.【点睛】本题考查了排列数,属于基础题.10.函数的单调减区间是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:令,故选C.考点:函数的单调区间.11.函数是上的单调函数,则的范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导,令导函数大于等于0在上恒成立即可【详解】若函数是上的单调函数,只需 恒成立,即故选:C【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系即当导数大于0是原函数单调递增,当导数小于0时原函数单调递减12.设曲线yxn1(nN*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则log2 014x1log2 014x2log2 014x2 013的值为()A. log2 0142 013B. 1C. (log2 0142 013)1D. 1【答案】B【解析】【分析】由题意,求出yxn1(nN*)在(1,1)处的切线方程,取,求得,再利用对数的运算性质可得答案.【详解】由yxn1,可得,即即曲线yxn1(nN*)在(1,1)处的切线方程为令,得log2 014x1log2 014x2log2 014x2 013=故选B【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算,细心计算是解题的关键,属于中档题.二、填空题:13.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答)。【答案】36【解析】试题分析:将4人分成3组,再将3组分配到3个乡镇,考点:排列组合【此处有视频,请去附件查看】14.复数za21(a1)i(aR)是纯虚数,则|z|_.【答案】2.【解析】【分析】由题易知a21=0,且(a1)0,求得a的值,得出复数z,再求得其模长.【详解】因为复数za21(a1)i(aR)是纯虚数,所以a21=0,且(a1)0,解得所以复数,即|z|2故答案为2【点睛】本题考查了复数的定义,纯虚数,以及模长的求法,属于基础题.15.若函数yx3x2m在2,1上的最大值为,则m_.【答案】2【解析】解:y=3x2+3x,由y=0得x=0,或x=-1f(0)=m,f(-1)=m+1/ 2 ,f(1)=m+5/ 2 ,f(-2)=m-2,m+5 /2 =9/ 2 ,得m=216.观察下列等式11234934567254567891049照此规律,第n个等式为_【答案】【解析】试题分析:观察所给的等式,等号右边是12,32,52,72第n个应该是(2n1)2,左边的式子的项数与右边的底数一致,每一行都是从这一个行数的数字开始相加的,写出结果解:观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49等号右边是12,32,52,72第n个应该是(2n1)2左边的式子的项数与右边的底数一致,每一行都是从这一个行数的数字开始相加的,照此规律,第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=(2n1)2,故答案为:n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=(2n1)2考点:归纳推理【此处有视频,请去附件查看】三、解答题:(写出必要的步骤)17.已知复数z11i,z1z2122i,求复数z2.【答案】z2i.【解析】【分析】由题,求出z1共轭复数,设出z2abi,带入原式求解即可.【详解】因z11i,所以1i,所以z1z222i;z1z222i(1i)1i.设z2abi(a,bR),由z1z21i,得(1i)(abi)1i,所以(ab)(ba)i1i,所以 ,解得a0,b1,所以z2i.【点睛】本题考查了复数知识点,主要是运算以及共轭复数,属于较为基础题.18.已知抛物线yax2bxc过点(1,1),且在点(2,1)处与直线yx3相切,求a、b、c的值【答案】.【解析】试题分析:由,又.又切点,把联立得方程组.试题解析:,又.又切点,把 联立得方程组,解得,即.考点:1、抛物线方程;2、导数的几何意义.19.设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x1,x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由【答案】(1) a,b.(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题,求出f(x)的导函数f(x),可知f(1)f(2)0,解出a,b的值即可;(2)由(1)可知导函数,再判别出x1,x2左右两边导函数的正负,即可判断出是极大值还是极小值.【详解】(1)f(x)aln xbx2x,f(x)2bx1.由极值点的必要条件可知:f(1)f(2)0,a2b10且4b10,解方程组得,a ,b .(2)由(1)可知f(x)ln xx2x,且函数f(x)ln xx2x的定义域是(0,),f(x)x1x1 .当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0;当x(2,)时,f(x)0;所以,x1是函数f(x)的极小值点,x2是函数f(x)的极大值点【点睛】本题考查了导函数的应用,主要是极值点的判断,属于较为基础题.20.已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0,2),且在点M(1,f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式;(2)求函数yf(x)的单调区间【答案】(1);(2)与为的增区间;为函数的减区间.【解析】分析:(1)求出导函数,题意说明,由此可求得;(2)解不等式得增区间,解不等式得减区间.详解:(1)f(x)的图象经过P(0,2),d=2,f(x)=x3+bx2+ax+2,f(x)=3x2+2bx+a点M(1,f(1)处的切线方程为6xy+7=0f(x)|x=1=3x2+2bx+a|x=1=32b+a=6,还可以得到,f(1)=y=1,即点M(1,1)满足f(x)方程,得到1+ba+2=1由、联立得b=a=3 故所求的解析式是f(x)=x33x23x+2(2)f(x)=3x26x3令3x26x3=0,即x22x1=0.解得x1=1- ,x2=1+.当x1+时,f(x)0;当1-x1+时,f(x)0.故f(x)的单调增区间为(,1),(1+,+);单调减区间为(1,1+)点睛:(1)过曲线上一点处的切线方程是;(2)不等式解集区间是函数的增区间,不等式的解集区间是的减区间.21.学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2,上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?【答案】解:设版心的高为,则版心的宽为,此时四周空白面积为:可求得当版心高为,宽为,海报四周空白面积最小.【解析】试题分析:首先设出高,根据面积可用高将宽表示出来,然后设出空白面积,用高和宽将其表示出来,同时注意高的范围.而后利用导数法判断单调性,可得最值.试题解析:设版心的高为,则版心的宽为.此时四周空白面积为求导数得:令,解得(舍去)于是宽为当时,;当时,因此,x16是函数的极小值点,也是最小值点。所以当版心高为,宽为时,能使四周空白面积最小。答:当版心高为,宽为时,海报四周空白面积最小。考点:导数法求最值;实际应用问题.22.已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由【答案】(1) (,0(2) 存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减,且a的取值范围是3,).【解析】【分析】(1)求出导函数,由题f(x)0在R上恒成立,然后参变分离求解a的取值即可;(2) 假设存在实数a,由题意易知f(x)0在(1,1)上恒成立,再次参变分离可的结果.【详解】(1)f(x)3x2a,因为f(x)在R上增函数,所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2,而3x20,所以a0.当a0时,f(x)x31在R上单调
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