天津高中数学第10讲平面向量及其应用寒假课程学案新人教

第十届平面向量及其应用一、知识整理1 .向量的定义：有大小和方向的量称为向量2 .矢量表示：用有向线段的长度表示用有向线段表示的矢量的大小，用箭头表示矢量的方向.使用有向线段的起点和终点的文字：3 .向量的长度：向量的大小称为向量的长度(或类型)4 .几组特殊向量：零向量：长度零方向的任意向量称为零向量，记为0或单位向量：将长度等于1单位长度的向量称为单位向量。平行向量(即共线向量):将方向相同或相反非零向量称为平行向量.相等向量：长度相等、方向相同的向量称为相等向量。 如果相等，则记为.逆向量：将长度相等、方向相反的向量称为逆向量。5 .向量相加：规定：即矢量加法的三角形法则矢量加法的平行四边形法则：6 .向量加法的算术律：交换律： 结合律：7 .向量减法：三角形法则表示从向量终点朝向减法向量终点的向量.8 .向量的数乘的定义：一般来说，实数与向量的乘积是一个向量，其长度与方向被如下规定： (1) (2)0的情况下与方向相同，0的情况下与方向相反，0的情况下=实数与向量相乘，称为向量的数乘。9 .矢量数乘法的算术律： (1) (结合律)(2) (分配律) (3) (分配律)10 .向量共线定理：一般地，对于2个向量()，如果有一个实数，则是共线向量，相反，如果and ()是共线向量，则只有一个实数11 .平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个非共线向量，则对于该平面内的任何一个非共线向量，只有一对实数，因此我们将非共线向量称为表示该平面内的所有向量的一组基。12 .向量的坐标表示在正交坐标系内以与x轴、y轴方向相同的2个单位向量为基底，取任意一个向量，并且仅为实数x、y的对，将(x，y )称为向量的正交坐标，记为=(x，y )。13 .矢量坐标运算：两个矢量和(差)坐标分别等于与该两个矢量对应的坐标之和(差)，已知实数和矢量的乘积的坐标等于将该实数乘以原始矢量的对应坐标.14 .共线矢量坐标表示的一般结论：为。 (YY )，如果是，反过来，如果是，/结论：矢量和共线15 .矢量角度：相对于两个非零的矢量和，设=，则在(0180 )是被称为矢量和的角度的=180的情况下和反方向=90时，矢量被称为垂直，记为.16 .平面矢量数积：已知两个非零矢量和，它们的角度为，将数|cos称为矢量和的数积，记为=|cos.向量的数积的算术律：如果设向量为，c和实数，则向量的数积满足以下的算术律(1)=； (交换律) (2)()=(b)=()=； (结合律)(3)(a )=.(分配律)17 .平面矢量数积的坐标表示两个矢量为=(x1，y1)、=(x2，y2)且x1x2y1.即，两个向量个数的积等于它们对应的坐标的积之和.二、方法总结(1)以“基”形式出现的向量问题通常以问题中的某一点为统一起点，进行向量运算是很方便的(2)坐标形式出现的向量问题在尽量利用解析思想，转换成函数和方程式方法解答的复习过程中，源于教科书，超过了教科书的指南。 本章的考试题目大多是源于教科书的变式题目。 因此，掌握双基，熟悉教科书是本章的要点。 分析了近年来高考问题，强调了平面向量部分向量的基本运算。三、课程训练假设向量a=(1，0，0 )，b=，则以下结论正确的是()A.|a|=|b| B.ab=C.a-b和b的垂直D.ab答案： c分析： a项，222222222222222222222222652b项，ab=1 0=； c项，a-b=(1，0 )-=b=fufu 0；d项、1-00、a不平行b .已知角度为2个单位向量，如果是，则其值为答案：分析：来源：例3 .在ABC中，点d在边AB上，CD将ACB二等分，如果=a，=b，|a|=1，|b|=2则=()A.a b B.a bC.a b D.a b答案： b解析：从二等分线的性质来看，有|=2|，即=(-)=(a-b )因此，选择=b (a-b)=a b .例4 .如果已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，且a与b所成角度为60，则|a-b|=_答案：分析：|a-b|=。例5 .如图所示，在平面内有3个矢量、其中与所成角为120、所成的角为30，且(，R )， 的值为.a.a乙组联赛c.co.o答案： 6分析： c作和平行线与它们的延长线相交，可以得到平行四边形从BOC=90、AOC=30开始，平行四边形的边的长度为2和4 =2 4=6.例6 .已知求k为什么为实数时，k为平行、平行时，它们是同方向还是反方向？分析：=(1，0 )3(2，1 )=(7，3 )，=k=k (1，0 )-(2，1 )=(k-2，-1)当k=()即(k-2，-1)=(7，3 )时1因此在k=的情况下，它们相反地平行例7 .与已知的角度是，如果与向量垂直，则求出k分析：=21=12222222222222222222222222 k=-5。例8 .在已知平面矢量，(0，)满足|=1且与-的角度为120的情况下，|的可取范围为_ .答案：分析：图数形结合为=、=、|AB|=1，c点在圆弧上运动，ACB=60设ABC=，根据正弦定理=在|=sin 、=90时取最大值.222222222222222卡卡卡卡卡6例题9 .如图所示，在直角梯形ABCD中，包含运动点进行运动，如果设为(包含边界)，则能够取得的值的范围如下.答案：分析：创建坐标系时.转化为线性规划问题在c点，在. b点或d点事故例10 .如果在内一点满足，则可能值的范围如下所示.答案：分析：图如果点在边上，然后则点在边上时，点在三角形内时，为01。有那个。四、放学后的作业1 .已知向量和角度为12002 .已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m )，c=(-1，2 )，如果(a b)c铿铿锵锵锵锵63 .有已知点，试用4 .求出向量=(1，2 )向量=(2，-2)方向的投影。5 .众所周知，那么，以为基础求出。6 .与已知的两个单位向量的角度，如果求出与的角度众所周知，Abc的顶点分别是a (2，1 )、b (3，2 )、C(-3，-1)、BC边上的高度AD，求出点d的坐标.8 .如果已知向量.向量得到满足，()A. B. C. D9 .如图所示，正六边形的PABCDE的边的长度为b，有5个力，作用于同一点p，求出5个力的合力。如果将e 1、e2设为2个不共用线矢量，则如果=e1 3 e 2、=2e1-e 2、a、b、d这3点是共用线，则可以求出k的值.已知且满意的是，11.o是abc所在平面内的点。 寻求证据： o点是abc的垂心12 .已知的中，超过重心的直线相交的是的面积、的面积、(ii )的值范围为13 .如图所示，在直角ABC中，以长线段为中点，知道角度取哪个值时的值为最大，求出该最大值.参考答案：1 .分析：故意2 .分析： a=(2，-1)，b=(-1，m )，c=(-1，2 )，a b=(1，m-1 )(a b)22222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6533 .分析：以o为原点，以OC、OB所在的直线为轴和轴，创建如图所示的坐标系因为OA=2容易寻求.4 .解析：设与矢量的角度，则有cos=-.向方向投影=|cos=(-)=-5 .解析：令，则22222222卡卡卡卡卡卡卡卡6536 .解析：从题意到与假发的角度，你可以说同样的话然后呢如果我们把角度设定为7 .分析：点d的坐标为(x，y )，ad为边BC上的高度，22222222222222222652另外，c、b、d三点共通线，222444卡卡卡卡卡卡4另外=(x-2，y-1 )、=(-6，-3)、=(x-3，y-2 )2220求解方程式时，x=，y=点d的坐标为(，)，的坐标为(-，)。8 .分析：如果可能的话有，又有，又有，又有9 .分析：求出的5个力的合力如图所示如果以PA、PE为边设为平行四边形PAOE正六边形的性质表明，o点在PC上如果以PB、PD为边平行四边形PBFD由正六边形性质可知，f点位于PC的延长线上也可以从正六边形性质求出由矢量相加求出的5个力的合力的大小与方向的方向相同.10 .分析：=(2e1-e2)-(e1 e3e2)=e1-4e2a、b、d三点共线，8756； 存在实数，=，8756； 设定2e1 ke2=(e1-4e2)因此，可以求解为k=-811 .证明：假设a，=b，=c，则c-b，=a-c，=b-a。2222222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡6a2 (c