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,平面与空间中的余弦定理,江津中学刘顺利,选修2-2第二章阅读与思考,数学家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”,根据前三个式子的答案得到第四个式子的答案，用到了,类比推理,三角形的边长a,b,c,四面体面的面积,三角形的边边角A,B,C,面面角,任意两边之和大于第三边,任意三面的面积之和大于第四面面积,思考,类比平面中的余弦定理，在空间中能获得怎样的结论？,三角形的边长a,b,c,四面体面的面积,三角形的边边角A,B,C,面面角,?,平面三角形中的余弦定理,空间中的余弦定理,猜想,空间四面体中的余弦定理,我们仍然可以类比平面余弦定理的证明，得到证明“四面体余弦定理”的方法。,怎样证明这个猜想呢？,平面余弦定理的证明方法,证明：,法一（向量法）,平面余弦定理的证明方法,法二,射影定理,类比上述推导过程，我们可以证明上述猜想。,先类比三角形射影定理得到四面体射影定理：,我们可以这样来理解四面体射影定理：,过A做AO垂直于面BCD于O,类比平面余弦定理的第二种证明方法得到四面体余弦定理的证明：,平面余弦定理的证明方法,法二,射影定理,类比平面余弦定理的第二种证明方法得到四面体余弦定理的证明：,同理可以得到另外三个式子。,空间四面体中的余弦定理,本节课利用类比完成了空间中的余弦定理从猜想到证明的过程。,课堂小结,开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”,课后作业,类比三角形中余弦定理的向量证明法，查阅资料
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