安徽舒城中学高三数学 寒假作业四空间向量在立体几何中的应用

安徽省舒城中学三年级2013-2014年寒假作业数学部分主题(d)空间向量在三维几何中的应用1.使用空间向量寻找空间角度和距离(a)两条相反直线的角度方法将两条相反直线a、b的方向矢量设置为。Cos=| cos |=(其中是不同线a，b的角度)。示例19在框ABcd-a1 B1 c1d 1中，ab=4，ad=3，AA1=2，如图所示。e，f分别是段ab，BC的点，EB=FB=1。寻找线EC1和FD1的馀弦。解决方案：如果以a作为原点，在x、y和z轴的正向上创建空间正交坐标系，则为D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)、ec1=(1，3，2)、fd1=(-4，2，2)。如果将EC1和FD1的角度设定为Cos =。变式训练43，在三角棱镜ABc-a b c 中，AC=BC=aa ，acb=90，d，e分别是ab，BB 的中点。(1)认证：cead；(2)异质直线CE和AC 形成的角度的馀弦值。变式训练44，几何图形a-BCED已知ACB=90，ce平面ABC，平面BCED为梯形。AC=ce=BC=4，db=1。(1)异质直线DE和AB产生的角度的馀弦值；(2)探索DE是否有积分q，创建AQbq，并说明原因。(b)直线和平面上的角度方法如图所示，直线l的方向矢量为，平面的法向矢量为，直线l和平面的角度为，两个矢量和的角度为，分别为sin=| cos |=。示例20插图，从四棱锥，侧面等边三角形，寻找与平面的角度大小。解决方案：将空间正交坐标系c-XYZ设置为坐标原点，将ray CD设置为正x轴，如图所示。设定D (1，0，0)为a (2，2，0)、b (0，2，0)。再安装，结果x=1。另一个原因所以设置平面SBC的法线向量又是这样采用P=2。因此，AB和平面SBC的角度变式训练45，在三角棱镜ABC-A1B1C1中，ab=AC=1，(1)如果另一条线A1B和B1C1的角度为60，则取得棱柱的高度。(2) d设定为BB1的中点，DC1和平面A1BC1的角度设定为，并且在棱镜进行高变化时获取sin 的最大值。变式训练46，图4，在正三角形棱柱中，d是中点，点e是顶部。(1)证明平面(2)查找直线和曲面角度的正弦值。变形训练47已知点h位于正方形的对角线上。hda=。(1)求出DH和角度的大小；(2)求DH和平面的角度大小。(c)求出二面角的大小(1)图如果AB，CD是与二面角-l-的两个面内棱镜垂直的直线，则二面角的大小=，(2)图 分别为二面角-l-的两个半平面，的法线向量时二面角的大小=，(或-，)。如示例21图中所示，在直三角棱镜ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，d是棱镜1的中点，dc1BD.找到二面角A1BDC1的大小。解决方案：问题是三角棱镜的侧面是矩形的。d是AA1的重点，因此，DC=dc1。AC=aa1，DC dc2=cc，所以dc1DC .dc1BD，DCBD=d，所以dc1平面BCD .BC平面BCD，所以dc1BC .和BC cc1，所以BC 平面ACC1，所以两个CA，CB，CC1相互垂直。c作为坐标原点，x轴正向，| |单位长度，建立空间直角座标系统c-XYZ，如图所示。从问题中可以看出：A1(1，0，2)、B(0，1，0)、D(1，0，1)、C1 (0，0，2)。(0，0，-1)，=(1，-1，1)，=(-1，0，1)。设定平面A1B1BD的法线向量=(x，y，z)。可以使用=(1，1，0)。同样，如果设置为平面C1BD的法向矢量所需=(1，2，1)。cos，=。因此，二面角a1-BD-C1的大小为30。变式训练48。棱锥体p-ABCD的底面ABCD为平行四边形，dab=60，ab=2ad，PD的底面ABCD，如图所示。(1)证明：paBD；(2)要获得二面角a-p b-c的馀弦值，请设置PD=ad。柱状ABCD-a1 B1 c1d 1的所有长寿为2，ABC=60，平面AA1C1C面ABCD，a1ac=60，等变式训练49。(1)证明：BDaa1；(2)找到二面角d-a1a-c的平面角度的馀弦值。(3)线性CC1上有点p，从而创建BP平面DA1G吗？找到p的位置(如果存在)，如果不存在，请说明原因。(d)使用矢量方法查找到平面的距离例如，AB是平面的斜线区段，平面的法线向量，点b到平面的距离d=范例22角锥-在ABC中，ABC是边长度为4的正三角形，平面SAC平面ABC，sa=sc=2，m，n分别是ab，SB的中点，并寻找从点b到平面CMN的距离，如图所示。解决方案：获取AC的中间点o，连接OS、OB。sa=sc，ab=BC，ACso，ACbo。平面sac 平面ABC，平面sac 8平面ABC=AC，so平面ABC和/bo平面ABC，sobo。设定空间直角座标系统Oxyz，如图所示。B (0，2，0)、c (-2，0，0)、s (B(0，2)、M(1，0)，N(0，)。=(3，0)，=(-1，0，)=(-1，0)。将=(x，y，z)设定为平面CMN的法线向量。采用Z=1。X=，y=-，-，-500；=(，-，1)。点b到平面CMN的距离D=。变形教育50，例如p-ABCD是金字塔形式，是正方形。在这里(一)要求证明：(2)寻找平面垫和平面制作的尖锐二面角的馀弦值。(3)求出到平面垫的距离图BCD和MCD是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，ab平面BCD，Ab=2。(1)求出到平面MBC的距离。(2)找到平面ACM和平面BCD的二面角的正弦值。二.用矢量方法证明空间是平行的还是垂直的(a)向量法证明空间是平行的。(1)直线平行：证明两条线的方向向量共线。直线平行：证明直线的方向矢量垂直于平面的法向矢量。或证明直线的方向向量与平面内直线的方向向量平行。表面平行：证明两个平面的法向矢量是共线矢量。或转换为线表面平行、线平行问题。范例23方块ABCD-A1B1 c1d 1中，AA1=2ab=2bc，e，f，E1分别是棱柱1，BB1，A1B1的中点。寻求证据：ce/平面C1E1F；解法：将d做为原点、DA、DC、DD1的线绕x、y、z轴建立空间直角座标系统，并将BC=1设定为1。C(0，1，0)、E(1，0，1)、C1(0，1，2)、F(1，1，1)、E1。(1)设定平面C1E1F的法线向量n=(x，y，z)。=，=(-1，0，1)，需要n=(1，2，1)。875=(1，-1，1)，n=1-2 1=0，875 n和/ce平面C1E1F，/ce/平面C1E1F。变形训练52，例如，在直棱柱ABC-A1B1C1中，d，e分别是AB，BB1的中点，aa1=AC=CB=ab。A1C11(1)证明：BC1/平面A1CD、B1(2)寻找二面角D-A1C-E的正弦值eacdb边形训练53，图，四面体a-BCD中的AD 平面BCD，BC CD，ad=2，BD=2.m是AD的中点，p是BM的中点，点q在线段AC，AQ=(1)证明：pq/平板BCD；(2)二面角c-BM-d的大小为60，请求BDC的大小。(b)证明空间垂直的向量法直线垂直：证明有两条直线的方向向量相互垂直。也就是说，证明其数量为零。线面法向：证明线的方向向量是否与平面的法向向量共线，或线面法向的确定定理是否表示为向量。面法向：证明两个平面的法向矢量垂直或面垂直的确定定理显示为矢量。示例24插图，ab平面ACD，de平面ACD，ACD是等边三角形，ad=de=2ab，f是CD的中点。(1)验证：af/平面BCE；(2)认证：平面BCE平面CDE。解决方案：如果ad=de=2ab=2a并且设置坐标系a-XYZ(如图所示)，则为A(0，0，0)、C(2a，0，0)、B(0，0，A)、D(a，A)f是CD的中间点，f(1)证明：=，=(a，a，a)，=(2a，0，-a)，=()，af平面BCE，af/平面BCE。(2)证明：。=(-a，a，0)，=(0，0，-2a)，0，=0，Cd/de=d，平面CDE，即af平面CDE。和af/平面BCE，平面BCD平面CDE。变形训练54，图解，已知ABCDA1B1C1D1是棱柱长度为3的正方形，点e在AA1上，点f在CC1上，Ae=fc1=1。(1)验证：e、b、f、D1 4点共面；(2)如果点g在BC上，则BG=，点m在BB1上，GMBF，垂直脚h在m曲面BCC1B1上。边形训练55，如图所示，角锥ABCD中pa底面ABCD，abad，ACCD，abc=60，Pa=ab=BC，e是PC的中点。证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE。数学部分变形训练43解决方案：(1)设置=a，=b，=c，根据标题| a |=| b |=| c |和ab=BC=ca=0-b c，=-c b-a .c2 B2=0。即ce a D(2)=-a c，=b c，|=| a |，| |=| a |。=(-a c) (b c)=C2=| a | 2，cos，=。也就是说，其他直线CE和AC 形成的角度的馀弦值为。变形训练44解决方案：(1)问题，CA，CB，CE创建两个垂直，c作为原点，CA，CB，CE分别为x，y和z轴创建空间正交坐标系。A(4，0，0)、B(0，4，0)、D(0，4，1)、E(0，0，4)、-cos=(0，-4，3)，=(-4，4，0)，-7500；cos，=-，各向异性直线DE和AB生成的角度的馀弦值为。(2)存在满足问题设置的点q，坐标为(0，m，n)。A=(-4，m，n)，b=(0，m-4，n)，E=(0，m，n-4)，q=(0，4-m，1-n)。AQbq，m(m-4)N2=0，点q在ED上，存在r(0)在=、；(0，m，n-4)= (0，4-m，1-n)，m=，N=。路得()2= 2-8 16=0，解=4。m=，n=。符合有问题的点q，其座标为(0，)。变形训练45解决方案：如果创建空间笛卡尔坐标系a-XYZ并设置aa1=h (h0)(如图所示)，则B(1，0，0)、B1(1，0，h)、C1(0，1，h)、A1(0，0，h)(1)因为上平面线A1B和B1C1的角度为60Cos 60=，范例=，范例=，解决方案h=1。(2) d是BB1的中间点，d，所以=。如果将平面A1BC1的法线矢量设置为n=(x，y，z)，则可以得到n=(h，0，1)。因此，sin =| cos，n |，和| cos，n |=。命令f (h)=、由于H2 9 2 9，只有H2=，即h=，等号才成立。所以f (h) =、因此，