宁夏六盘山高级中学高三数学下学期第二次模拟考试试题理（含解析）

宁夏六盘山高级中学2019届高三年级第二次模拟理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为与互为共轭复数，考点：共轭复数，复数的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知全集，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算，先求得，再根据补集定义求得即可。【详解】因为，所以则所以选C【点睛】本题考查了集合并集、补集的运算，属于基础题。3.等差数列中，则数列的公差为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题已知，则由等差数列可得；。考点：等差数列的性质。4.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图，还原空间结构体可知是圆柱中挖除了2个圆锥，根据数据可求得圆柱体积与两个圆锥的体积，即可求得该几何体的体积。【详解】根据三视图，可知原空间结构体为圆柱中挖除了2个圆锥圆柱的体积为 两个圆锥的体积为所以该几何体的体积为所以选C【点睛】本题考查了三视图的应用，空间几何体的体积计算，属于基础题。5.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线性约束条件作出可行域，将线性目标函数化为直线方程，根据目标函数平移得到最优解，再将最优解代入目标函数即可得答案。【详解】因为约束条件，作出可行域如下图所示目标函数可化为函数 由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1所以选A【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题。6.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分类讨论剩余4个车位连在一起的排列方法数即可。【详解】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 ，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列，当最右边三辆时，有车之间的一个排列，总上可知，共有不同的排列法种结果所以选B【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，注意分类时候做到不重不漏，属于中档题。7.已知函数f(x)则下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为1，)【答案】D【解析】试题分析：作出函数的草图：知：、均不对，只有正确；故选考点：分段函数的图象8.如图是将二进制化为十进制数的程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二进制位数，需要循环5次。每次增加1，则根据选项即可判断出退出时的条件。【详解】根据循环体即二进制位数，可知循环体要重复执行5次i的初始值为1，每次循环增加1，所以最后为5即当时，继续循环，当 时退出循环所以选A【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，根据循环次数确定判断的条件，属于中档题。9.已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线定义，可用a表示出与，再由离心率用a表示c，则在中，应用余弦定理可求得的值。【详解】双曲线的焦点为，点在上所以由定义可知,所以解得与因为双曲线的离心率为，所以则中，由余弦定理可得 化简得所以选C【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质，余弦定理的简单应用，属于基础题。10.已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接AC，取中点Q，连接QM、QN，则QNM即为异面直线PA与MN的夹角，根据数据关系即可求得夹角大小。【详解】根据题意，画出图形如下图所示连接AC，取中点Q，连接QM、QN则 ，则在中，由余弦定理可得 所以所以选A【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到异面直线的夹角，属于中档题。11.定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数 ，则根据是奇函数且当时，恒成立得到的单调性与奇偶性，进而判断大小关系。【详解】构造函数因为是奇函数，所以为偶函数当时，恒成立，即，所以在时为单调递减函数在时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知，所以所以选D【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的综合应用，比较函数的大小关系，属于中档题。12.如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，利用得出a，b之间的关系，用a，b，表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值.【详解】如图，设，则因为所以 则 所以的最大值为 所以选B【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，通过建立坐标系求解是常用方法，属于难题。二、填空题:本大题共4个小题，每题5分，共20分.13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_【答案】.【解析】分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率：.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比14.在中，已知，当时，的面积为_.【答案】【解析】由得，所以，.考点：平面向量的数量积、模，三角形的面积.【此处有视频，请去附件查看】15.设等比数列的前项和是，若，则_【答案】【解析】设公比为q(q0)，由题意知q1，根据等比数列前n项和的性质，得1q33，即q32.于是.16.已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为_【答案】【解析】依题意可得焦点的坐标为，设在抛物线的准线上的射影为，连接由抛物线的定义可知又，解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点在抛物线的准线上的射影为，由抛物线的定义可知，再根据题设得到，然后利用斜率得到关于的方程，进而求解实数的值三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设的内角所对边的长分别是，且.（）求的值； （）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：因为，所以， 1分由余弦定理得 ， 3分所以由正弦定理可得. 5分因为，所以，即. 6分（2）解：由余弦定理得 . 8分因为，所以 . 10分故 . 13分考点：正弦定理和余弦定理的应用。【此处有视频，请去附件查看】18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图231所示图231将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)【答案】(1)0.108.(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知XB(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此.（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216 因为XB(3,0.6),所以期望为E(X)=30.6=1.8，方差D（X）=30.6（1-0.6）=0.72考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.【此处有视频，请去附件查看】19.如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，,。证明：平面平面;当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】根据圆的性质可知，根据线面垂直得到，从而B.，所以可证平面平面。（2）根据，可得,以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，求得和的法向量，进而得出二面角的余弦值即可。【详解】（1）证明：是直径，平面平面，是平行四边形，平面平面平面平面（2）依题意，如图所示，建立空间直角坐标系，则设面的法向量为即 设平面的法向量为，即 ，二面角是钝角平面角，二面角的余弦值为【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的用法等，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题。20.已知椭圆的离心率为，且过点求椭圆方程；设不过原点的直线与该椭圆交于两点，直线的斜率依次，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2），证明过程详见解析【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，就是要确定的值，只要找到两个关于的等式即可，本题中一个离心率，一个是椭圆过已知点，由此可得；（2）设交点，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去后，可得，计算，化简后并把代入可得结论试题解析：（1）依题意可得解得.所以椭圆的方程是.（2）当变化时，为定值，证明如下：由得，.设，则，（*）直线的斜率依次为，且，得，将（*）代入得：，经检验满足考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题，采用“设而不求”方法求解，即设交点为，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得的一元二次方程，从而得，然后计算，把代入，由等式求得，如果能求出，说明定值存在，如果不能求出，说明定值不存在21.设函数 ，.求函数的单调区间；当时，讨论函数与图像的交点个数.【答案】（1）单调递增区间是, 单调递减区间是；（2）【解析】试题分析：（1）数的定义域为，求得，即可求解函数的单调区间；（2）令，转化为求函数的零点个数，利用函数的性质，即可求解函数与图象的交点个数试题解析：（1）函数的定义域为当时，,函数单调递减，当时，函数单调递增，综上，函数的单调递增区间是, 单调递减区间是（2）令,问题等价于求函数的零点个数，,当时，函数为减函数，注意到，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，注意到，所以有唯一零点综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点考点：函数的综合问题【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及求解单调区间、利用导数研究函数的极值与最值，函数的图象等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想和分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，本题的解答中把问题等价于求函数的零点个数，合理利用函数性质是解答的关键22.已知直线（为参数），曲线（为参数）.设与相交于两点，求；若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】（1）1；（2）【解析】试题分析：(1)由圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系即可；(2)伸缩变换后圆变为椭圆，设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.试题解析： （I） 所以直线与曲线相离 （II）变化后的曲线方程是 设点 则点到直线的距离是 故点到直线的距离的最小值为点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合