导数思维如何起作用人教

导数思维如何起作用经过前一段的系统复习,书也看了,题也练了,该是时候梳理一下了.如果说前面着重的是对各个知识点的理解与训练,那么现在更关注的是知识的综合应用,也就是说,要把知识转化为能力.选择这些专题的目的是培养同学们的能力意识、应用意识、创新意识,但却不能空谈,而是要以知识为载体.每一个专题都以一个中心为基础,展开辐射,力求把知识网络化、系统化.数形结合, 出水芙蓉例1 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是( )此题是2005年江西卷理科第7小题.图象题基本上都是由函数图象来反映函数的性质,要求我们对图象要有良好的感知能力,能从图中发现函数的性质,从而做出正确的判断.看的图象,可以看出,当时, ,于是;当时, ,于是.这样,基本上可以判断出当时,是减函数,再对照选择支中的图象,可以确定选C.你还可以从图中发现函数的什么性质?此题情境清新脱俗,对开与数的转化和信息加工处理,都有深度和广度的要求,较好地体现了创新意识.这个小题涉及了三次函数的图象,你能举例说明三次函数的性质吗?(这可是一个值得思考的问题.)由于高中阶段对导数的内容学习的并不深入,所以在考试时,经常会把一些抽象的性质用图象的形式来表现.认真体会下面几个小题:()向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示, 那么水瓶的形状是( )(这个注水的问题是1998高考中的一道小题,当时不考导数,现在你能联系起导数吗?这个小题是高考命题的得意之作.)()设是的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是( )()如图所示,是定义在0，1上的四个函数,其中满足性质:“对上任意的两点,总有”的是A. B. C. D. 动静结合, 哲学韵味例2 若,则( )A. B. C. D. 方法1作差比较其大小,选C.方法2如果仅仅是作差,那这道小题就没有什么味道了.我们注意到、具有相同的结构,所以将它们看作函数的3个函数值.困此,要比较其大小,自然而然地联想到函数的单调性.由可知时,;时,;时,.所以,在内为增函数,在内为减函数,且当时取得最大值.(弄清了函数的性质,下面就可以大显身手了.)现在,且,所以.还有一个不和谐的因素,就是,为什么会出现这种情况?其实是命题人在“逗你玩”.因为,而,所以,即.所以选C.(将几个“静止”的数放到“动态”的函数中去,这正是函数思维在起作用.)一般地,对于,有.由于对数式与指数式可以互化,所以有(或)同理,当,有(或)下面两个小题目请加以练习:()证明不等式,其中.(),其中.()证明:当时,.回到定义, 批判质疑例3 证明:如果函数在点处可导,那么函数在点处连续.已知:求证:证明:考虑,令,相当于,于是 “如果函数在点处可导,那么函数在点处连续.”同学们查一查课本,这个结论在课本中是没有证明的,当时也没有多想就接受了下来.如果说当时没有证明是教材的编写者有某种考虑,但如果我们从来没有证明的意识,那对以后的学习就不是一件好事情.批判质疑是一个学习者应有的学习态度,也是要我们努力培养的.()设在处可导,且,则=( )A. 1B. 0C. 3D. ()若函数处处可导, 则.解答规范, 平心静气例4 (2005年高考全国卷(文)第21题)设为实数, 函数.()求的极值;()当在什么范围内取值时, 曲线与轴仅有一个交点.解: ().若, 则.当变化时, 及的变化情况如下表:所以的极大值是, 极小值是.()函数.由此可知取足够大的正数时, 有, 取足够小的负数时, 有. 所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知:当的极大值, 即时, 它的极小值也小于, 因此曲线与轴仅有一个交点, 它在上; 当的极小值, 即时, 它的极大值也大于, 因此曲线与轴仅有一个交点, 它在上.所以当时, 曲线与轴仅有一个交点.例5 ( 2005年高考天津卷(文)第21题)已知, 设和是方程的两个实根, 不等式对任意实数恒成立;函数在上有极值.求使正确且正确的的取值范围.解:(1)由题设和是方程的两个实根, 得且,所以.当时, 的最大值为, 即.由题意, 不等式对任意实数恒成立的的解集等于不等式的解集, 由此不等式得因此, 当时, 是正确的.(2)对函数求导, 得.令, 即, 此一元二次方程的判别式为.若, 则有两个相等的实根, 且的符号如下:因此, 不是函数的极值.若, 则有两个不相等的实根, 且的符号如下:因此, 函数在处取得极大值, 在处取得极小值.综上所述, 当且仅当时, 函数在上有极值.由得: .因此, 使正确且正确的的取值范围为.例6 ( 2005年高考湖南卷(文)第21题)设, 点是函数与的图象的一个公共点, 两函数的图象在点处有相同的切线.()用;()若函数在上单调递减, 求的取值范围.解: ()因为函数的图象都过点, 所以, 即.因为, 所以 .由, 即, 所以.又因为在点处有相同的切线, 所以.而, 所以.将代入上式得, 因此故.() ,.当时, 函数单调递减.由, 若, 则;若,则.由题意, 函数在区间上单调递减, 则或.所以或. 即或.又当时, 函数在上不单调递减.所以的取值范围为.解法二.因为函数在上不单调递减.且是开口向上的抛物线,所以.所以的取值范围为.常量变量, 辅助函数例7 (2004年高考全国卷(理)第22题)已知函数.()求函数的最大值;()设,证明 .()解: 函数的定义域为. 令, 解得.当时, , 所以在区间内为增函数;当时, , 所以在区间内为减函数.又.故当且仅当时, 取得最大值, 最大值为.()证法一: .由()结论可知,由题设, 得, 因此, .所以.又因为,所以.综上: .证法二:.设, 则.当时, , 因此在区间内为减函数;当时, , 因此在上为增函数.从而, 当时, 有极小值.因为, 所以, 即.设, 则.当时, , 因此在区间上为减函数.因为, 所以,即.例8 (2005-唐山二模)已知函数.()若,试求函数的值域;()若,求证:;()若,猜想的大小关系(不必写出比较过程).()解:当时,所以在区间内为增函数.又在区间上连续,所以,求得.即函数的值域为.()设,即.所以 .因为,所以.由,得,所以当时,为减函数;当时,为减函数.因为在区间上连续,则为的最小值.于是,对有,因而.()在题设条件下,当为偶数时,当为奇数时.注: 此题以凸函数为背景进行命题,意境很好.凸函数与凹函数的定义:设为定义在区间上的函数.若对上任意两点和实数总有则称为上的凸函数.反之,如果总有不等式则称为上的凹函数.下面看一下函数的图象:与的几何意义:如图所示:点、是凸函数的图象上的三个点,点在线段上,其坐标分别为、.由于是凸函数,所以有:.在()的证明过程中,构造了一个辅助函数,这是高等数学中常用的方法,通过这个辅助函数,把一个本来是两个变量的问题转化成了一个变量的问题.从图中可以看出的值就是点与点的纵坐标之差,观察图中的线段,可以知道, 的值随的增大而增大,随的减小而减小,当时,有,这时取得量小值.例8 ()设且,求函数的最小值;()设均为正实数,证明不等式:.()解法一:因为,所以.当且仅当,时,上式等号成立,所以对任意的恒成立.所以,当且仅当时,取得最小值0.解法二:,当时,成立.若,则;若,则.所以.即函数在上单调递增.又,所以.()证明:当时,当时,不失一般性,设,并取,则.设即,因为,所以,所以.所以在上单调递增.又,所以,即.所以.综合,、有不等式成立.练 习 题1. 函数的导函数在区间上存在反函数的充要条件是( )A. B. C. D. 2. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且则不等式的解集是( )A.B.C.D.3. 设函数在处取得极值,则的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 曲线与曲线在交点处的切线的夹角为(D )A. B. C. D. 5.已知是定义在R上的偶函数且连续,当时,若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 6. 如果函数的图象在处的切线过点,并且与圆相离,则点与圆的位置关系是( )A. 在圆内B. 在圆外C. 在圆上D. 不能确定7. 已知函数在是减函数,则实数的取值范围是_.8. 函数在区间上具有单调性,则实数的取值范围是_.9. 若直线与函数()的图象相切,则_.10. 过曲线上一点作切线,交该曲线与点,则曲线在处的切线的斜率等于_.11. 设曲线与曲线在交点处的切线的方向向量分别为和,则_0_.12. 观察下列各组中函数与其导函数:通过以上的观察,你能得出什么结论,请写在下面的横线上(用文字表达).可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。_.13.（2004年高考广东卷21）设函数,其中常数为整数,()当为何值时，()定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.()解:函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续,且当时,为减函数,.当时, ,为增函数, 根据函数极值判别方法，为极小值,而且对都有.故当整数时,.()证明：由()知，当整数时, ,函数,在 上为连续减函数.,当整数时,与异号,由所给定理知，存在唯一的而当整数时,(因为,上述不等式也可用数学归纳法证明.)类似地,当整数时，函数)在 上为连续增函数且与异号,由所给定理知,存在唯一的,使.故当时,方程在内有两个实根.14. 已知函数()求函数在上的最大值、最小值;()求证: 在区间上,函数的图象在函数的图象的下方;()求证: .().当时,所以在区间内单调递增,又在处连续,所以在区间上单调递增.所以,.()设,则.因为,所以,在上,有,即.故的图象在函数的图象的下方.()当时,不等式显然成立;当时,有.15.( 2005年高考辽宁卷第22题)函数在区间内可导, 导函数是减函数且. 设, 是曲线在点处的切线方程, 并设函数.()用、表示;()证明:当时, ;() 若关于的不等式在上恒成立, 其中、为实数, 求的取值范围及与所满足的关系.解: ().()令, 则.因为递减, 所以递增. 因此, 当时, ; 当时, .所以是唯一的极值点, 且是极小值点, 可知的最小值为0.因此, 即.()解法一是不等式成立的必要条件, 以下讨论设此条件成立., 即对任意成立的充要条件是.另一方面, 由于满足前述题设中关于函数的条件, 利用()的结果可知, 的充要条件是: 过点与曲线相切的直线的斜率不大于, 该切线方程为, 于是的充要条件是.综上, 不等式对任意成立的充要条件是.显然, 存在使式成立的充要条件是: 不等式有解.