山东沂水高考数学一轮复习函数系列之二次函数学案

二次函数一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值二、教学重点：1二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点，2二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。三、教学过程：（一）主要知识：一）正比例函数，一次函数，反比例函数1.正比例函数 2.一次函数 其图象为一直线，时增函数，时减函数。而时为常数函数。3.反比例函数 定义域，值域，图象是双曲线，时在上递减，时在递增。二）二次函数1二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而是对称轴。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的两根为，则可设f(x)-x=或。2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标（1）a0时，抛物线开口向上，函数在上单调递减，在上单调递增，时，（2）a0)=b2-4acax2+bx+c=0 (a0)ax2+bx+c0 (a0)ax2+bx+c0)图象与解0=00),方程f(x)-x=0的两个根满足 ()当x(0,)时,证明xf(x) ; .本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题 和解决问题的能力.满分 证明:()令F(x)=f(x)-x.因为是方程f(x)-x=0的根,所以 F(x)=a(x-)(x-). 当x(0, )时,由于0,又a0,得 F(x)=a(x-)(x-)0， 即x0,1+a(x-)=1+ax-a1-a0 得-f(x)0. 由此得f(x) . ()依题意知 因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即是方程a+(b-1)x+c=0的根. . 因为a1,所以 . （四）巩固练习：1函数是单调函数的充要条件是 （ ） 分析：对称轴，函数是单调函数，对称轴在区间的左边，即，得2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为，设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点，又过点， ，3已知函数的最大值为，求的值 分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，对称轴为，（1）当，即时，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或四、小结：1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。2二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。3二次方程根的分布问题，可借助二次