2020 03 14 双师冲刺-数资1 唐宋 笔记2020笔试线上双师冲刺班多省市联考1期

双师冲刺-数资 1 （笔记） 主讲教师：唐宋 授课时间：2020.03.14 粉笔公考官方微信 1 双师冲刺双师冲刺- -数资数资 1 1（笔记）（笔记） 第一章 核心方法梳理 【注意】 1.冲刺课程数资部分共 6 节课，前 3 节为数学运算，后 3 节为资料分析。 2.数学运算第一节课讲解核心方法，第二、三节课讲高频题型、重难点题型 以及一些猜题方法。 3.核心方法梳理：以下四种方法在考试中用的非常多，尤其是方程法和赋值 法。代入排除法和倍数特性不属于中小学常规解题思维，是利用答案特点解题， 都是一种选择题的做法。 （1） 第一节： 代入排除法。 利用答案特点解题， 将选项代入到题干中验证。 （2）第二节：倍数特性法。看答案是几的倍数，也是利用答案特点解题。 （3）第三节：方程法。相当于正面求解，但是有些题目耗时较多。 （4）第四节：赋值法。条件中有些数没有给，可以假设一个，如假设工作 总量为 100。 第一节 代入排除法 【知识点】什么时候用： 1.看题型：年龄问题、余数问题（除以几余几、分完东西剩几个等有余数的 问题） 、 多位数问题 （出现个位、 十位、 百位等） 、 不定方程 （未知数多、 方程少） ， 这几类题目正常做不好做，代入排除更快。 2.看选项： 选项信息充分 （选项为一组数） ， 问法： 分别/各。 如选项为甲=100、 乙=50，属于选项为一组数；若选项为甲：乙=3：5 的形式，也属于信息充分，可 以设甲为 3x，乙为 5x，也可以考虑代入排除。 3.考场上 1015 题肯定会有几道题是可以用代入排除的，但是自己做的时 候往往想不到，都是用的方程法，考完才知道如果用代入排除会更快。因此，看 到以下几道题目要想为什么这道题可以用代入排除。 【例 1】 （2018 江西） 一家三口， 妈妈比儿子大 26 岁， 爸爸比儿子大 33 岁。 2 1995 年，一家三口的年龄之和为 62。那么，2018 年儿子、妈妈和爸爸的年龄分 别是： A.23，51，57 B.24，50，57 C.25，51，57 D.26，52，58 【解析】 1.年龄问题， 选项给出了儿子、 妈妈、 爸爸的年龄， 考虑代入排除。 正确答案需要满足题干三个条件，可以先验证简单的条件，已知“妈妈比儿子大 26 岁” ，A 项：51-2326，排除，B、C、D 项均符合条件。已知“爸爸比儿子大 33 岁” ，B 项：57-24=33，满足条件，保留；C 项：57-2533，排除；D 项：58- 2633，排除，对应 B 项。 【选 B】 【注意】 1.考试中遇到给出了 23 个人年龄的题目， 代入选项验证比正常推算简单。 2.已知 “妈妈比儿子大 26 岁， 爸爸比儿子大 33 岁” ， 则爸爸比妈妈大 7 岁， 通过该条件验证选项会更快。 3.年龄差不随时间变化，因此不需要考虑题干 1995 年的条件。 【例 2】 （2020 江苏）某食品厂速冻饺子的包装有大盒和小盒两种规格，现 生产了 11000 只饺子，恰好装满 100 个大盒和 200 个小盒。若 3 个大盒与 5 个小 盒装的饺子数量相等，则每个小盒与每个大盒装入的饺子数量分别是： A.24 只、40 只 B.30 只、50 只 C.36 只、60 只 D.27 只、45 只 【解析】2.问法为“分别” ，选项给出了两个数，可以考虑代入选项验证。 3*大盒子装的数量=5*小盒子装的数量，小盒子装的数量：大盒子装的数量=3： 5，观察选项，无法排除选项。验证第一个条件，A 项：判断 100*40+200*24 结果 是否为 11000，11000 尾数为 3 个 0，100*40 结果有 3 个 0，200*24 结果为 2 个 0， 相加结果不可能有 3 个 0， 排除； B 项： 判断 100*50+200*30 结果是否为 11000， 100*50+200*30 结果有 3 个 0，计算发现正好为 11000，对应 B 项。 【选 B】 【注意】 3 1.题干有两个条件，有些同学认为可以不验证第二个条件（3 个大盒与 5 个 小盒装的饺子数量相等） ，因为第二个条件没有排除任何选项。若不验证第二条 件，直接验证第一个条件，有可能 B、C、D 项均符合，无法确定答案，还需要再 算一次，而先验证第二个条件，发现选项都符合，此时只要发现 B 项满足第一个 条件，则 B 项一定是正确答案。 2.本题也可以设未知数求解。 【例 3】 （2019 事业单位联考）某高校组织新生军训。已知学生的总人数是 能被 5 整除的 4 位数，千位和个位相同，百位和十位相同，已知学生将被分成人 数相同且小于 150 人的 35 个组，那么每组有多少学生？ A.132 B.143 C.145 D.147 【解析】3.出现“4 位数” “个位” “千位” ，为多位数问题，总人数能被 5 整 除，则末位为 0 或 5，已知“千位和个位相同” ，若个位为 0，则千位也为 0，不 符合“4 位数” ，故个位和千位为 5。总人数可以分成 35 个相同的组，则总人数 =35*每组人数，代入 A 项：35*132，尾数为 0，因个位不可能是 0，因此排除 A 项；代入 B 项：143*35=5005，千位和个位相同，百位和十位相同，满足题干所 有条件，当选。 【选 B】 【注意】 1.参加公务员考试不一定局限于做公务员考试的题目， 现在事业单位也是多 省联考，出题和公务员考试很类似，基础好的同学可以做一下 2018、2019 年事 业单位联考的题目。 2.总人数=35*每组人数，偶数*5 尾数为 0，则选项为偶数的也可以排除，若 选项没有偶数，此时需要继续验证。 3.B 项满足题干所有条件，不需要再验证其他选项。 4.多位数问题正常做较复杂，xyzn 不能表示 4 位数，4 位数应该表示为 1000 x+100y+10z+n，写起来很复杂，本题 x、n 相等，y、z 相等，写起来会相对 简单一些，为 1001x+110y，解题较复杂，建议用代入排除法。 4 【例 4】 （2019 深圳）某公司组织所有员工分乘一批大巴去旅游，要求每辆 大巴乘坐员工人数不超过 35 人。若每车坐 28 人，则有 1 人坐不上车；若开走 1 辆空车，则所有员工恰好可平均分乘到各车。该公司共有员工（ ）人。 A.281 B.589 C.841 D.981 【解析】4.总人数/28 余 1，为余数问题，考虑代入。A 项：281=28*10+1， 符合“若每车坐 28 人，则有 1 人坐不上车” ，已知“若开走 1 辆空车，则所有员 工恰好可平均分乘到各车” ，即 281/9 应该是整数，若一个数各位数字之和是 9 的倍数，则这个数是 9 的倍数，2+8+1 不是 9 的倍数，则 281 不是 9 的倍数，排 除；B 项：589=28*21+1，若少一辆车，为 20 辆车，589 不能被 20 整除，排除； 剩余两项，最多验证一项，若 C 项正确，就选 C 项，若 C 项错误，就选 D 项，C 项：841=28*30+1，若少一辆车，为 29 辆车，841/29=29，正好整除，正确，对 应 C 项。 【选 C】 【注意】 1.本题车辆数未知，正常做需要设未知数，比较麻烦，最后发现可能还是要 回到代入上来。 2.代入选项验证时一般验证第一个选项较慢， 验证第一个选项时是在摸索题 目，一般会占做题时间的一半以上，此时不要觉得不想做了，验证后几项会越来 越快。 【注意】代入排除法： 5 1.范围： （1）典型题：年龄、不定方程、多位数、余数。 （2）看选项：选项为一组数、可转化为一组数（考查较少，如条件中给出 甲乙丙丁四个人，问甲，看起来不属于选项为一组数的题目，但是若题目中给出 四者之间的关系，如甲+乙=100、乙=2*丙、丙=丁*（1*3） ，代入选项可以快速得 出其他主体，即选项可以转化为一组数） 。 （3）剩两项：只剩两项时，代入一项即得答案。若通过倍数、奇偶等方法 排除了部分选项，再代入一项就可以得出答案，为中途考虑代入。 2.方法： （1）优先排除：尾数、奇偶、倍数。 （2）直接代入： 最值：有最多和最少要严格按照顺序代入，问最多，可能有 B、C 项都满 足，但是 B 项最大。问最大从最大的开始代入，问最小从最小的开始代入。 好算。 第二节 倍数特性法 【注意】倍数特性法：倍数特性有三种考法，三种考法之间具有关联性。 1.整除型：是三种考法中最基础的部分。 （1）第一种考查形式：如（ ）=3*？，可以想到（ ）为 3 的倍数。 （2） 第二种考查形式： 如 100=？*？， 两个数都不知道， 问第二个问号， 100 是？的倍数，即？是 100 的约数，如买东西花了 100 元，已知单价和数量都是整 数，则数量一定是 100 的约数。 2.余数型。 3.比例型。 【知识点】整除型： 1.若 A=B*C（B、C 均为整数） ，则 A 既能被 B 整除，又能被 C 整除。 2.适用范围： （1） 求总工程量、 总路程、 总价钱等。 如 18 天正好完成一项工作， 问总量， 6 答案是 18 的倍数；12 万件*一件的利润=总利润，总利润是 12 的倍数。 （2）若 A 是 B 的 2 倍，A=B*2，A 包含因子 2，则 A 是偶数；若 A=B，A、B 均为整数（若 A、B 不是整数，则无法谈奇偶） ，则 A+B 为偶数。 【例 1】 （2018 国考）一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600 公里，第三天比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天 的平均速度与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？ A.800 B.900 C.1000 D.1100 【解析】1.求三天的公里数，S=v三天*t三天=？*18，若条件已知平均速度是整 数，则所求一定是 18 的倍数；若条件没有说明平均速度是整数，则所求大概率 （80%以上） 是 18 的倍数， 可以先用 18 的倍数排除选项， 然后再验证剩余选项。 18=2*9，一个数是 18 的倍数，则这个数一定是 9 的倍数，A、C、D 项都不是 9 的 倍数，可以选 B 项，若不放心可以代入验证题干所有条件。 【选 B】 【注意】做题不能过于拘泥于理论，S=？*18，若？是整数，则 S 一定是 18 的倍数，为 100%正确的情况；若题干没有说明？是整数，可以认为 S 大概率是 18 的倍数。近五年只有山东一道题目运用该结论是错误的，问 9 天做了几个零 件，答案为 60，每天做 20/3 个零件，该考法为故意“坑”学生，但是由于近五 年只有这一道题，因此不需要太担心。 【知识点】余数型结合代入排除。如（ ）=18*平均速度+10 公里，不 能直接选 18 的倍数，需要加 10。 1.常见题型：平均分实物，最后有剩余/缺少。分完之后有余数、 （ ）=已 知数*x+零头，直接认为（ ）是已知数的倍数是错误的，需要去掉/补上零头， 但是要注意加减不能用错，可以记住“多退少补” 。 2.例： （1）一堆苹果平均每人分 10 个，还剩 3 个，则苹果有多少个？ 答：若选项分别为 83、77，剩 3 个，即多 3 个，要退掉 3 个，此时可以正好 7 分完，则总数-3 能被 10 整数，83-3=80，能被 10 整除，正确，选 83。 （2）一堆苹果平均每人分 10 个，还缺 3 个，则苹果有多少个？ 答： 若选项分别为 73、 67， 缺 3 个， 补上 3 个， 此时能被 10 整除， 67+3=70， 能被 10 整除，正确，选 67。 【例 2】 （2018 陕西）苗苗有一堆草莓，乐乐也有一堆草莓。苗苗的草莓五 个五个地数，最后剩两个，七个七个地数，最后还是剩两个；乐乐的草莓五个五 个地数， 最后剩四个， 六个六个地数， 最后剩三个。 已知苗苗比乐乐多 8 个草莓， 则苗苗的草莓数为（ ） A.37 B.62 C.72 D.77 E.87 F.92 G.102 H.107 【解析】2.已知“苗苗的草莓五个五个地数，最后剩两个，七个七个地数， 最后还是剩两个” ，即苗苗的草莓数/2 余 2，苗苗的草莓数/7 余 2；问苗苗的草 莓数，有余数，考虑代入，一个一个代入较麻烦，先看能否排除部分选项。苗苗 草莓数退掉 2 个为 5 和 7 的公倍数，则苗苗的草莓数-2 是 35 的倍数，直接列举 较快，苗苗的草莓数-2 可能是 35、35*2=70、35*3=105，分别对应 A、C、H 项， 此时最多代入两项，题干没有说最大/最小，从最简单的 A 项开始代入，A 项：苗 苗的草莓数数为 37，乐乐的草莓数数为 37-8=29，29/6 余 5，不是余 3，错误； C 项：苗苗的草莓数为 72，乐乐的草莓数为 72-8=64，64/6 余数不是 3，错误， 对应 H 项。 【选 H】 【注意】余同加余：除以两个数余数相同，可以用两个数的公倍数+余数。 【例 3】 （2017 联考）某地举办铁人三项比赛，全程为 51.5 千米，游泳、自 行车、长跑的路程之比为 3：80：20。小陈在这三个项目花费的时间之比为 3： 8：4，比赛中他长跑的平均速度是 15 千米/小时，且两次换项共耗时 4 分钟，那 么他完成比赛共耗时多少？ 8 A.2 小时 14 分 B.2 小时 24 分 C.2 小时 34 分 D.2 小时 44 分 【解析】 3.余数型常考分东西有余数， 还有一种考查形式为 （ ） =ax+零头， 若（ ）=10 x+7，则（ ）为 10 的倍数加 7。本题为行程问题，但是只要可以写 成（ ）=ax+零头的形式，都可以用余数型思考。问总耗时， （ ）=比赛时间+ 换项时间， 已知 “小陈在这三个项目花费的时间之比为 3： 8： 4” ， 给出比例关系， 可以按比例设未知数，设三个项目的比赛时间分别为 3x、8x、4x，列式： （ ） =3x+8x+4x+4=15x+4， （ ）-4=15x，即（ ）-4 是 15 的倍数，观察选项，选项 -4 分别为 130 分钟、140 分钟、150 分钟、160 分钟，15 含有 3 因子，是 3 的倍 数的只有 C 项。 【选 C】 【注意】 1.（ ）=15x+4，此处的 15 并不是长跑平均速度 15 千米/小时，两者只是 巧合。 2.2 小时一定是 15 的倍数（15 分钟是一刻钟，1 小时有四刻钟） ，验证选项 时可以不验证 2 小时，只验证 14-4=10 分钟、24-4=20 分钟、34-4=30 分钟、44- 4=40 分钟。 3.只要所求可以表示为未知数+已知数， 则所求-已知数能被未知数的系数整 除。 4.若 x 不一定是整数，此时可以认为大概率选 C 项，有时间做还可以验证一 下 C 项，没有时间可以直接选 C 项。 【例 4】 （2018 四川）10 个相同的盒子中分别装有 110 个球，任意两个盒 子中的球数都不相同。小李分三次每次取出若干个盒子，每次取出的盒子中的球 数之和都是上一次的 3 倍，且最后剩下 1 个盒子。问剩下的盒子中有多少个球？ A.9 B.6 C.5 D.3 【解析】 4.已知 “任意两个盒子中的球数都不相同” ， 即 110 各出现一次。 已知“每次取出的盒子中的球数之和都是上一次的 3 倍” ，若第一次取 5 个球， 9 则第二次取 15 个、第三次取 45 个，有比例关系，若第一次取 x 个，则第二次取 3x 个、第三次取 9x 个，总个数=前三次取的未知量+零头，设剩下的球为 y 个， 总球数=（1+10）/2*10=13x+y，整理得：55=13x+y。 方法一：不定方程可以考虑代入，没有说最多或者最少，可以随便代入，A 项：y=9，x=46/13，不是整数，错误，同理代入其他选项，发现只有 D 项正确。 方法二：55-答案 y 能被 13 整除，A 项：55-9=46，不是 13 的倍数；B 项： 55-6=49，不是 13 的倍数；C 项：55-5=50，不是 13 的倍数，对应 D 项。 【选 D】 【注意】等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n。 【知识点】比例型（用法广泛） ： 1.四种考法： 如男生/女生=11/7， 则男生人数是 11 的倍数， 可以是 11、 22、 33、，若男生人数为 20，20 除以一个数不可能是 11/7；女生人数是 7 的倍 数；全班人数为 11+7=18 的倍数；男女生人数差为 11-7=4 的倍数。四种考查方 式要都会，但不一定要都算，考场上要看问题，如问全班，则只看全班，如已知 全班人数是 120 多人，则全班人数为 126（126 是 18 的倍数）人。 （1）A 是 m 的倍数。 （2）B 是 n 的倍数。 （3）A+B 是 m+n 的倍数。 （4）A-B 是 m-n 的倍数。 2.A/B=m/n（m、n 互质） ，即 m/n 是最简整数比，不能再约分，如男生/女生 =1100/700，不能说男生人数是 1100 的倍数，因为条件已知男生 100 多人。不是 最简比时要约分之后再用。 【例 5】 （2020 上海）甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总 和的一半，乙带的钱是另外三个人的 1/3，丙带的钱是另外三个人的 1/4，丁带 了 91 元，他们一共带了（ ）元。 A.364 B.380 C.420 D.495 10 【解析】5.甲/总=1/3，乙/总=1/4，丙/总=1/5，则总数是 3、4、5 的倍数， 根据 3 的倍数，可以排除 A、B、D 项，对应 C 项。 【选 C】 【注意】 1.若提到某人是其他人和的 1/n，则这个人是所有人和的 1/（n+1） ，所有人 是 n+1 的倍数。 （1）推导：若其他人的和为 n 份，则某人是 1 份，所有人为其他人+某人 =n+1 份，则这个人占所有人的 1/（n+1） 。 （2） 例： 粉笔数资老师人数是其他老师人数的 1/7， 则数资老师人数是所有 老师人数的 1/8，粉笔所有老师人数是 8 的倍数。 2.这类题目在国考和联考中都有出现， 题目中每句话中的另外三个人都是会 变化的，如甲对应的另外三人为乙丙丁，乙对应的另外三人为甲丙丁，丙对应的 另外三人为甲乙丁， “另外三个人”只是一个指代词，不能设另外三个人为 x。 3.若本题为某人是其他人和的 m/n，则某人是所有人的 m/（n+m） ，m=1 为特 例。 【例 6】 （2019 江苏）某地区有甲、乙、丙、丁 4 个派出所。已知上月甲、 乙 2 个派出所的合计出警次数是 95 次，乙、丙、丁 3 个派出所的合计出警次数 是 140 次，乙派出所的出警次数占 4 个派出所合计出警次数的 7/40，则上月甲 派出所的出警次数是： A.55 次 B.60 次 C.68 次 D.75 次 【解析】6.有四个主体，不需要设四个未知数解方程，比例型只需要看是否 满足两个条件：条件中是否有比例关系，问题是否与比例有关（不一定与比例一 模一样） 。本题出现比例（乙派出所的出警次数占 4 个派出所合计出警次数的 7/40） ，且问题甲与比例中的乙有关，可以考虑比例型。 方法一：乙/总=7/40，乙是 7 的倍数，甲+乙=95，乙=95-甲，问甲，95-选 项=7 的倍数，代入选项验证，只有 95-B 项是 7 的倍数，对应 B 项。 方法二：乙/总=7/40，总数是 40 的倍数，问甲，总数=甲+乙+丙+丁，即甲 11 +乙+丙+丁是 40 的倍数，已知乙+丙+丁=140，则甲+140 是 40 的倍数，40 的倍数 尾数为 0，140 尾数为 0，则甲尾数为 0，观察选项，对应 B 项。 方法三： 方程法。 每个条件中都出现了乙， 则优先设乙。 乙是总次数的 7/40， 根据比例设乙为 7x，则总次数为 40 x，甲=95-7x，丙丁=140-7x，列式：95+140- 7x=40 x，235=47x，解得 x=5，因此甲=95-35=60，对应 B 项。 【选 B】 【注意】倍数特性指的是一种“特性” ，并不是完整解题，若没有选项，则 倍数特性没有用，倍数特性是一种选择题的方法，可以抛开一些条件快速解题， 有些条件用不上是完全正常的。 【例 7】 （2019 联考）调酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入 120 毫升柠檬 汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出 80 毫升混合液备用，再往杯中加满番茄汁并 摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是 24%，问调酒杯的 容量是多少毫升？ A.160 B.180 C.200 D.220 【解析】7.本题正常做非常难，考场上解方程就需要 23 分钟，但是用倍 数特性会非常快。题目出现比例，伏特加/鸡尾酒=24%，问分母，可以将百分数 转化为比例， 伏特加/鸡尾酒=24%=24/100=6/25 （必须是最简整数比） ， 所求是 25 的倍数，观察选项，选项末两位分别为 60、80、00、20，0 可以被任何非零数整 除，则 200 是 25 的倍数，对应 C 项。 【选 C】 【注意】 1.4 和 25 的倍数只看末两位： 如判断 1960 能否被 25 整除， 1960=1900+60， 1900 为 19 个 100，是 25 的倍数，只需要看 60 是否是 25 的倍数即可。 2.8 和 125 的倍数只看末三位：考查较少，1000=8*125，一个数能否被 8 或 125 整除，不需要看千。 3.陕西参加联考，也考查到了本题，有 8 个选项，根据末两位可以排除 6 个 选项，剩余两项分别为 200、175，此时可以代入好算的 200。 12 4.题目没有说伏特加是整数，A/B 未必是整数，若确定是整数，则本题所用 方法是 100%正确的，若不确定是整除，则该方法有 80%以上的概率是正确的，若 不放心可以验证一下。 【注意】倍数特性法： 1.整除型： 最基础的考法， 一般求总量时可以考虑整除型； （ ） *？=乘积， 可以考虑约数的考法。 （1）若 A=B*C，则 A 能被 B 或 C 整除。 （2）前提：B、C 均为整数。 2.余数型： （1）若答案=ax+b，则答案-b 能被 a 整除；若答案=ax-b，则答案+b 能被 a 整除，即多退少补。如答案是 10 的倍数多 3，可以先退 3。 （2）前提：a、x 均为整数。 3.比例型： 两个条件： 题干有比例， 为广义上的比例， 可以是比例、 百分数、 倍数（如 1.5 倍） ；问题与比例有关。 （1）若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，AB 是 mn 的倍数。 （2）前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。 第三节 方程法 【知识点】方程法： 1.普通方程（考查多，比较容易） ：未知数和方程的个数相等，可以直接求 出未知数，比如一个未知数、一个方程，或者两个未知数、两个方程。 2.不定方程（考查较少，但比较难） ：未知数个数比方程个数多，无法直接 13 求出未知数。 3.设未知数技巧：如果前三种都用不到，可以直接用第四种。在做题时，只 要满足下面任意一种即可。 （1）设小不设大（减少分数计算） 。比如甲是乙的 3 倍、甲比乙多 200 元， 则尽量把小数设为未知数，方便计算。 （2） 设中间量/高频词 （方便列式） 。 比如某个量与其他很多量都存在关系， 那么优先设这个量为未知数。 （3）有比例按比例设。比如甲：乙=3：5、乙占总量的 1/2，那么就可以按 照比例设未知数，设甲为 3x，则乙为 5x。 （4） 问谁设谁 （避免陷阱） 。 有时候题目问的是甲， 设的是乙， 可能会选错， 问谁设谁就可以避免选错。 【例 1】 （2019 江西法检）假设某班级共有 58 人，他们的论文答辩成绩分成 优、良、中和不合格四档，其中良的人数是优的 3 倍少 2 人，中等的人数是优的 2 倍，优的人数是不合格的 1.5 倍，那么这个班论文答辩成绩为良的有多少人？ A.25 B.26 C.27 D.28 【解析】例 1.方法一：方程法。成绩分为四档，题目没有给具体量，只给了 倍数比例关系。尽量减少未知数的个数，如果设成绩为良或者成绩为优的人数， 不容易计算。不合格的人数最少，优的人数是不合格的 1.5 倍，出现小数倍，优 先设不合格的人数为 2x，则优为 3x，良为 9x-2，中等为 6x，班级共有 58 人， 列式：2x+3x+9x-2+6x=58，20 x-2=58，解得 x=3，成绩为良的人数=9*3-2=25。 方法二：倍数特性。良的人数是优的 3 倍少 2 人，则良+2=优*3=3 的倍数， 选项加 2 之后是 3 的倍数，只有 A、D 项符合。剩二代一，代入 A 项：良=25，优 =9，中等=18，不合格=6，25+9+18+6=58，满足条件，当选。 【选 A】 【注意】考场上设未知数时不需要太过纠结，虽然最好是设不合格的人数， 但是设成绩为优的人数也同样可以解题，想到了直接设即可。 14 【例 2】 （2020 北京）甲、乙两个学校的在校生人数之比为 5：3，甲学校如 果转入 30 名学生，再将 85 名学生转到乙学校，则两个学校在校生人数相同。则 此时乙学校学生人数在以下哪个范围内？ A.不到 200 人 B.在 200240 人之间 C.在 241280 人之间 D.超过 280 人 【解析】例 2.选项为范围，则需要计算出具体结果，不能猜答案。原来甲、 乙两个学校的在校生人数之比为 5：3，按照比例设未知数，设甲学校为 5x，乙 学校为 3x。甲学校如果转入 30 名学生，再将 85 名学生转到乙学校，则两个学 校在校生人数相同，列式：5x+30-85=3x+85，解得 x=140/2=70，看问题，此时乙 学校人数为 3x+85=295 人。 【选 D】 【注意】如果设未知数的时候不是问谁设谁，那么最后需要看一下问题，避 免选错。 【知识点】 1.不定方程：ax+by=，a、b 可正可负，考试中往往是正值。 方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，结合选项排除。 （1）ax+by=M，当 a、b 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。 例：7x+12y=52，两个系数一奇一偶，先分析偶数，12y、52 均为偶数，则 7x 一定为偶数，7 不是偶数，则 x 为偶数，当 x=2 时，12y=38，y 不是整数，排 除；当 x=4 时，12y=24，解得 y=2，满足。 如果题目的选项存在“x=4 或 x=6” ，则要接着验证。 如果两个系数都是偶数，那么偶数+偶数=偶数，无法分析；如果两个系数 都是奇数，则无法确定奇偶性，也不能分析。 （2）ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考虑倍数特性。 例：10 x+12y=72，系数均为偶数，可化简为 5x+6y=36，此时可以用奇偶特 性，也可以用倍数特性（速度更快） ，6y、36 均为 6 的倍数，5x=36-6y=6*（6- y） ，则 5x 也是 6 的倍数，5 不是 6 的倍数，则 x 是 6 的倍数，当 x=6 时，y=1。 山东考题：3 元的包子买了 x 个，6 元的豆浆买了 y 个，7 元的油条买了 z 15 个，一共花了 66 元，即 3x+6y+7z=66，问 z 最多为多少？ 答：3x、6y、66 均为 3 的倍数，考虑倍数特性，则 7z 为 3 的倍数，7 不是 3 的倍数，则 z 为 3 的倍数，7z66，z 最多为 9，此时 3x+6y=3，x、y 肯定不 是整数，不满足；z=6 时，3x+6y=24，满足条件。 （3）ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 或 5 时，考虑尾数特性（考查较少） 。例： 5x+7y=48，奇偶、倍数都不能用，5x 的尾数只能为 5 或 0，48 尾数为 8，则 7y 的尾数为 3 或 8，7*9=63，7*4=28。7*948，不满足，则 y 只能为 4，此时 x=4。 （4）做题时优先考虑倍数特性（做题速度快） ，其次考虑奇偶特性（适用范 围大） ，最次考虑尾数特性。如果都不能用，那么直接代选项。 2.不定方程组：一般都是 3 个未知数、2 个方程，或者 4 个未知数、3 个方 程。 第一类：未知数一定是整数，比如未知数为人数、零件个数，不可拆分。 方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。 【例 3】 （2019 联考）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团 体总分的规则为：一等奖得 9 分，二等奖得 5 分，三等奖得 2 分。甲队共有 10 位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为 61 分，问该队最多有几位选手获得 一等奖？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】例 3.不定方程组的经典考法。已知 10 位选手均获奖，设一等奖、 二等奖、三等奖的人数分别为 x、y、z，列式：x+y+z=10，9x+5y+2z=61，消 元时，问谁不消谁，本题问 x，则不能消 x，优先消系数最大或最小的，如果消 中间的系数， 那么系数会出现一正一负， 容易出错。 消 z， -*2 得： 7x+3y=41， 奇偶、倍数、尾数都不能用，考虑代入选项，问最多，从最大的开始代入，代入 D 项：x=6，6*741，此时 y 为负数，排除；代入 C 项：x=5，此时 y=2，还需要 验证一下是否超过 10 个人，5+210，满足，当选。 【选 C】 【注意】 16 1.如果解出来 x=6、y=4、z=0，这种情况是正确的，条件只要求均获奖，没 有要求每个奖项都有人获得。如果解出来 x=6、y=2、z=1，6+2+1=9，不满足均获 奖。 2.如果纯代入，不能只凑分数，人数也需要考虑。代入 D 项：9 分*6+5 分 *1+2 分*1=61 分， 此时只有 8 个人， 不满足； 代入 C 项： 9 分*5+5 分*2+2 分*3=61 分，共 10 个人，满足。 3.没时间做数量可能有两个原因，一是数量做得慢，二是其他模块做得慢。 高分选手往往都是快速做完其他模块，可以剩下很多时间做数量。 【例 4】 （2020 上海）某果品公司计划安排 6 辆汽车运载 A、B、C 三种水果 共 32 吨进入某市销售，要求每辆车只装同一种水果且必须装满，根据下表提供 的信息，则有（ ）种安排车辆方案。 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】例 4.已知车的数量和水果的重量，要求每辆车只装同一种水果且 必须装满。问有多少种方案，但其实和排列组合没关系。设 A、B、C 三种水果分 别安排了 x、y、z 辆车，列式：x+y+z=6，6x+5y+4z=32，考虑消 z，-*4 得：2x+y=8。问有多少种方案，则要把所有情况都试出来， “运载 A、B、C 三种 水果” ，则未知数不能为 0，当 x=1 时，y=6，1+66，不满足；当 x=2 时，y=4， 此时 z=0，不满足；当 x=3 时，y=2，此时 z=1，x+y+z=6，满足；当 x=4 时，y=0， 不满足。可知只有 1 种情况。 【选 A】 【注意】本题的考法比较创新，需要多加注意，找到 x、y、z 有几种情况即 可。 【知识点】第二类：未知数不一定是整数，比如时间、钱数、长度等，有多 个级别的单位，可以拆分。联考只有 16 年考过一次，但是近几年北京、江苏、 上海均有考查。 1.特值法（一般赋零） ：对于未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋其 17 中 1 个未知数为零，进而快速计算出其他未知数。这种方法并不是猜题，是完全 可以做对的。 2.配系数（中学做法，无需掌握） 。配系数需要一定的灵感，直接学习特值 法即可。 【例 5】 （2018 北京） 老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。 3 个 笔盒、2 个皮球和 4 个杯子一共 89 元，4 个笔盒、3 个皮球和 6 个杯子一共 127 元。则一个笔盒多少元？ A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】 例 5.此类题目有时候问某个算式是多少， 有时候问某个量是多少， 无论是哪种情况，都可以使用赋零法。3 个未知数、2 个方程，为不定方程组； 钱数可以为小数，可以使用赋零法，优先赋值系数最大的未知数为 0，即赋值杯 子=0 元，则 3*笔盒+2*皮球=89，4*笔盒+3*皮球=127，问笔盒，消去皮球， *3-*2 得：笔盒=89*3-127*2，选项尾数不同，直接看尾数，尾数为 7-4=3， 对应 D 项。 【选 D】 【注意】 1.赋值皮球为 0 元也可以解题，答案相同。 2.赋值法的原理： 需要用到线性代数，老师尽量用比较容易理解的方式给大 家讲解。不定方程组（未知数可以是小数时）有无穷个解，而题目是单选题，答 案是唯一的，说明任意一组解都可以得到唯一的答案，因此可以挑出来一组特殊 的解，要想计算快，则数据越简单越好，赋值为 0 计算最简单。 18 【注意】方程法： 1.普通方程：设 x。 （1）设小不设大（避免分数） 。 （2）设比例份数（出现比例） 。 （2）设中间量（方便列式） 。 （3）求谁设谁（避免陷阱） 。 2.不定方程：代入排除。 （1）奇偶特性：系数一奇一偶。 （2）倍数特性（最快） ：系数与常数有公因子。 （3）尾数特性：系数尾数为 5 或 0。 （4）直接代入选项。 3.不定方程组： （1）未知数一定是整数（比如例 3、例 4 求的是人数、个数，它们的解是有 限的，则不能用特值法） ：消元。 （2）未知数不一定是整数（比如例 5 的单价，虽然根据选项可知笔盒是整 数，但是杯子和皮球不一定是整数） ：特值法（一般赋 0） 。 第四节 赋值法 【知识点】赋值法：应用非常广泛，相当于一个好用的数学工具，不代表不 用赋值法就做不出来。 1.适用范围： 19 （1）全是比例。比如例 1，条件、选项全是比例，没有任何具体数值，此时 就可以考虑赋值。 （2）三量关系只知其一（A=B*C） 。比如工程问题，总量=效率*时间，大部 分题目只给时间的具体值，而不给具体的效率和工作量，此时就可以赋值效率或 总量。行程问题同理，S=V*T，只知道一个量，则可以赋值另外两个量的其中一 个（只能赋值其中一个） ；经济利润中，总价=单价*数量，只知道一个量，则可 以赋值另外两个量的其中一个。 2.具体用法： （1）对不变量赋值。比如工程问题，总量不变，常常赋值总量。 （2）按比例关系赋值。比如效率比为 3：5，则赋值效率分别为 3 和 5。 【例 1】 （2018 山东）甲、乙两个投资公司共同投资了 A、B 两个项目，甲公 司在 A 项目中的投资额是 B 项目的 2 倍，乙公司在 A 项目中的投资额是 B 项目 的一半，这两个投资公司在 A 项目的总投资额是 B 项目总投资额的 1.2 倍，问甲 公司总投资额与乙公司总投资额之比为： A.5：3 B.7：4 C.9：5 D.14：9 【解析】例 1.条件中全是比例，可以用赋值法。赋值时没有具体要求，可以 自由发挥。 甲公司在 A 项目中的投资额是 B 项目的 2 倍，则赋值甲在 A 项目投资 2 万，在 B 项目投资 1 万；此时不能再赋值乙，但可以设未知数，设乙在 A 项目 投资 x，在 B 项目投资 2x，这两个投资公司在 A 项目的总投资额是 B 项目总投资 额的 1.2 倍，列式：2+x=（1+2x）*1.2，1.4x=0.8，解得 x=4/7。问甲总投资和 乙总投资的比例关系，即 3/3x=1/x=7/4，对应 B 项。 【选 B】 20 【注意】本题设两个未知数也可做出来，但是没有赋值看起来清晰。 【例 2】 （2017 天津）一份溶液，加入一定