山西太原高三数学模拟二文

山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）文（含解析）一、选择题。1.已知是虚数单位，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法运算，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合的元素，由此求得两个集合的交集.【详解】依题意，故,故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.3.如图是根据我国古代数学专著九章算术中更相减损术设计的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.4.已知，且，则向量与的夹角为（ ）A. 60B. 120C. 30D. 150【答案】D【解析】【分析】根据，得到，化简后求得两个向量的夹角.【详解】由于，所以，即，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积的运算和夹角的求法，属于基础题.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.6.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得出原图，由此计算出几何体的体积.【详解】画出三视图对应的几何体如下图所示三棱锥，根据三棱锥体积计算公式得所求体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体的体积计算，属于基础题.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药没服用药总计由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）附：；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出的值，由此判断出正确结论的个数.【详解】依题意，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效, 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即结论正确，本小题选B.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.【详解】有，得，由于，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.9.已知点是圆上的动点，点是椭圆上的动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，然后计算圆心到点距离的最大值，再加上半径，求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，设椭圆上任意一点的坐标，则，根据二次函数性质可知，当时，.故的最大值为，故选A.【点睛】本小题主要考查圆和椭圆的位置关系，考查两个曲线上点的距离的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知实数满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域，求得斜率的取值范围，减去求得的取值范围.【详解】表示的是可行域内的点与连线的斜率减去.画出可行域如下图所示，即与连线的斜率取值范围是，再减去得，故选B.【点睛】本小题主要考查斜率型线性规划的目标函数取值范围的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用，求得的取值范围.【详解】设,不妨设在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有，故，.在三角形中，由余弦定理得，即.由于，即，故，由得，即，解得【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查余弦定理，考查椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.12.已知函数且满足,则方程在上所有实根的和为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据得到函数的周期为，画出函数和的图像，由此求得在上所有实根的和.【详解】由于，故函数的周期为，画出和的图像如下图所示.注意到函数和都关于中心对称.所以在的四个交点的横坐标，也即所有实根关于对称，根据中点坐标公式可得所有实根的和为【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，考查函数图像的对称性，属于中档题.二、填空题。13.若圆的半径为1，则_。【答案】1【解析】【分析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得的值.【详解】圆的半径为，解得.【点睛】本小题主要考查圆的半径计算公式，属于基础题.14.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_。【答案】【解析】【分析】先列举出所有可能的基本事件总数，然后计算志愿者甲和乙被分到同一场所包含的基本事件数，再根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】设甲为，乙为，另外两名志愿者为.将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：场馆1场馆212（甲乙一起）3413241423231424133412（甲乙一起）共种，其中甲乙一起的有种，故概率为.【点睛】本小题主要考查利用列举法求解古典概型概率问题，属于基础题.15.已知分别是的内角的对边，且，则周长的最小值为_。【答案】【解析】【分析】化简，求得角的大小，用三角形的面积公式列式，然后利用基本不等式求得周长的最小值.【详解】由得，故.由三角形面积公式得.所以三角形的周长，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.16.已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为_。【答案】【解析】【分析】根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项和满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】解：（1）当时，当时，是以为首项，为公差的等差数列，；（2）由（1）得，。【点睛】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是正三角形，是的中点。（1）证明：；（2）求三棱锥的体积。【答案】(1)见证明(2) 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得的长，利用勾股定理证得，结合，证得平面，由此证得.(2) 连接，利用等体积法进行转化，即，根据（1）得到是三棱锥的高，由此计算出几何体的体积.【详解】（1）证明：，由余弦定理得：，平面，；（2）连接，由（1）得平面，是的中点，。【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查余弦定理解三角形，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知某保险公司某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数0123保费（元）随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数0123频数140401262该保险公司这种保险的赔付规定如下表：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）0将所抽样本的频率视为概率。（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；（3）据统计今年有100万投保人进行续保，若该公司此险种的纯收益不少于900万元，求的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）。【答案】(1) (2) (3) 100元【解析】【分析】（1）先计算出每个保费对应的概率，然后按照平均值的计算公式计算出平均值的估计值.（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式，计算出平均值的估计值.（3）根据（1）（2）计算的结果计算出纯收益为，使求得的最小值.【详解】解：（1）由题意可得保费（元）概率0.70.20.060.030.01本年度一续保人保费的平均值的估计值为；（2）由题意可得赔偿金额（元）0概率0.70.20.060030.01本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值；（3）由（1），（2）得该公司此险种的总收益为，基本保费的最小值为100元。【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查实际应用问题，属于中档题.20.已知直线与抛物线相交于两个不同点，点是抛物线在点处的切线的交点。（1）若直线经过抛物线的焦点，求证：；（2）若，且直线经过点，求的最小值。【答案】(1)见证明；(2)1【解析】【分析】(1)求得抛物线焦点的坐标，当直线的斜率时，设出直线方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理.求得过点切线的方程，联立两条切线方程求得交点的坐标，计算，由此证得.当直线的斜率时，根据直线的方程和点的坐标证得.从而证得成立.（2）根据题意求得抛物线的方程，当直线的斜率时，设出直线的方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，由弦长公式求得，求得点坐标后利用点到直线的距离公式求得三角形的高，由此求得三角形面积的表达式，利用配方法求得面积的最小值.当直线的斜率时，求得三角形的面积为.综上，的最小值为.【详解】解：（1）由题意可得，当时，设直线，点的坐标分别为，由得，过点的切线方程为，即，过点的切线方程为，由得，；当时，则直线，；（2）由题意可得，当时，设直线，点的坐标分别为，由，得，由（1）可得过点的切线方程分别为，由得，到直线的距离，当时，取最小值1；当时，则直线，综上，的最小值为1。【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查有关三角形面积的最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知，函数.（1）证明：有两个极值点；（2）若是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解.【解析】【分析】(1)根据函数的导数，判断出的单调区间，进而证得函数有两个极值点.(2)根据（1）的结论，得，且，化简后可得，由此证得不等式成立.【详解】（1）证明：由题意得，令，则在上递增，且，当时，递减；当时，递增，.当时，递增；当时，递减，是的极大值点.，.当时，递减；当时，递增，是的极小值点.在上有两个极值点.（2）证明：由（1）得，且，.=.设，则，在时单调递减，则.，则.【点睛】本题主要考查利用二次求导研究函数的单调性与极值，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点在曲线上运动，动点满足，其轨迹为曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线,的普通方程；（2）若点分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值。【答案】(1) 曲线的普通方程为，的普通方程为；(2) 【解析】分析】（1）先故根据坐标变换的知识求得点的参数方程，对的参数方程消参后，得到普通方程.（2）先求得的极坐标方程，将代入这两个极坐标方程，由此求得的最大值.【详解】解：（1）设，点在曲线上，曲线的普通方程为，曲线普通方程为；（2）由得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，由得或，或，由得或，或，最大值为。【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查参数方程化为直角坐标方程，考查直角