山西太原高三数学模拟二理

山西省太原市2019届高三数学模拟试题（二）理（含解析）一、选择题。1.已知是虚数单位，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算化简复数，由此得出正确选项.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法运算，属于基础题.2.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据得到A是B子集，根据范围大小得到答案.【详解】所以 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.3.如图是根据我国古代数学专著九章算术中更相减损术设计的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.4.已知，且，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将两边平方，根据向量的夹角公式得到答案.【详解】，即 故答案选D【点睛】本题考查了向量的运算和夹角公式，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据离心率为得到，设出方程代入点得到答案.【详解】双曲线的离心率为当焦点在轴上时：设，代入得到，不符合题意，舍去当焦点在轴上时：设，代入得到，满足题意双曲线的标准方程故答案选B【点睛】本题考查了双曲线标准方程，分情况讨论是解题的关键.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为，则该几何体各棱中最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据图形判断最长棱，计算其长度得到答案.【详解】根据图像知：AB最长，简单计算得到 故答案选C【点睛】本题考查了三视图的还原，最长棱，意在考查学生的空间想象能力，7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药没服用药总计由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）附：；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出的值，由此判断出正确结论的个数.【详解】依题意，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效, 不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效,即结论正确，本小题选B.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用和差公式将式子化简，根据三角函数值关系得到角关系.【详解】已知：，故答案为A【点睛】本题考查了三角函数和差公式，降次公式，也可以用特殊值法排除得到答案.9.已知在三棱锥中，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取中点为，连接，证明球心在上，利用勾股定理得到半径，再计算体积.【详解】取中点为，连接，易知 在中：又平面为外心球心在上设半径为，球心为 在中： 故答案选A【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置是解题的关键.10.已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值.【详解】设曲线上切点为 到直线的距离为即的最小值为故答案为B【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键.11.已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，然后利用，求得的取值范围.【详解】设,不妨设在第一象限.根据椭圆和双曲线的定义有，故，.在三角形中，由余弦定理得，即.由于，即，故，由得，即，解得【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查余弦定理，考查椭圆和双曲线离心率，综合性较强，属于难题.12.已知实数，满足，若当且仅当时，取最小值（其中，），则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出可行域，将目标函数转化为到距离的平方，将当且仅当时取最小值，转化为满足的可行域，再通过线性规划得到的最大值.【详解】已知实数，满足画出可行域，当且仅当时，取最小值，即当且仅当到距离最近.满足的条件为： 目标函数为，画图知道当 时有最大值为3故答案选B【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为距离是解题的关键.二、填空题。13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为_.【答案】【解析】【分析】先计算总的分配方案为 ，将甲乙放在一起，另外找一人组成一组，共有 种情况，相除得到答案.【详解】【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.14.在平面直角坐标系内，由曲线，和轴正半轴所围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】【分析】首先计算曲线，的交点为，过作轴于，将面积分为两部分，分别求面积相加得到答案.【详解】易知曲线，交点为过作轴于，将面积分为两部分则面积 故答案为【点睛】本题考查了定积分的两种计算方式：公式法和几何法，意在考查学生的计算能力.15.已知，分别是内角，的对边，则周长的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和正弦定理将等式化简得到，再利用面积公式得到 最后利用均值不等式得到答案.【详解】 周长 当时等号成立故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生的综合能力与计算能力.16.已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为，则_.【答案】【解析】【分析】联立方程，两边除以得到新方程，设，通过函数的奇偶性和方程的韦达定理得到答案.【详解】函数的图象与的图象有四个不同交点则两边除以得到设原式或为偶函数有两个解互为相反数有两个解互为相反数故答案为1【点睛】本题考查了零点问题，换元法，韦达定理，综合性强，属于难题.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）根据关系，化简知道是等差数列，再验证时的情况，最后得到答案.（2）根据（1）中答案代入，利用裂项求和得到，然后证明是递增数列，最后代入1得到答案.【详解】解：（1）当时，当时，是以为首项，为公差的等差数列，；（2）由（1）得，是递增数列，.【点睛】本题考查了通项与和项的关系，裂项求和，数列的单调性，综合性强，计算复杂，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是正三角形，是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面法向量，利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：设是的中点，连接、，是的中点， ，是平行四边形，由余弦定理得，平面，；（2）由（1）得平面，平面平面，过点作，垂足为，平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则，令，则，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生空间想象能力和计算能力.19.已知某保险公司的某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：上年度出险次数保费（元）随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数频数该保险公司这种保险的赔付规定如下表：出险序次第次第次第次第次第次及以上赔付金额（元）将所抽样本的频率视为概率.（1）记随机变量为一续保人在下一年度的续保费用，为其在该年度所获的赔付金额，求和的分布列；（2）若下一年度有万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于万元，求的最小值（纯收益总入保额总赔付额）.【答案】（1）见解析；（2）最小值为元【解析】【分析】（1）根据题目条件，依次计算概率得到分布列.（2）分别计算公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值和此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，相减得到纯收益，解不等式得到答案.【详解】解：（1）由题意得的所有取值为，其分布列为 的所有取值为，其分布列为 （2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为，该公司此险种的总收益为，基本保费为的最小值为元.【点睛】本题考查了概率，分布列，平均值，属于概率统计的应用，属于常考题型.20.已知直线与抛物线相交于，两个不同点，点是抛物线在点，处的切线的交点.（1）若直线经过抛物线的焦点，求证：；（2）若点的坐标为，且，求抛物线的方程.【答案】（1）见证明；（2）或.【解析】【分析】（1）将证明分为和时两种情况，当时，分别设点，的坐标，表示出两条切线方程，联立得到点坐标，计算斜率关系得到答案.（2）设直线和点，的坐标，联立直线方程和抛物线根据韦达定理得到坐标关系，表示出切线方程，解得点坐标，得到方程关系，再根据形成方程组，解得答案.【详解】解：（1）由题意可得，当时，设直线，点，的坐标分别为，由，得，过点为的切线方程为，即，过点的切线方程为，由得，；当时，则直线，；（2）当时，设直线，点，的坐标分别为，由得，过点的切线方程为，即，过点的切线方程为，由，得， 或，抛物线的方程为或.【点睛】本题考查了抛物线与直线的位置关系，切线问题，弦长公式，综合性强，计算量大，属于难题.21.已知，是函数的两个极值点.（1）求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）对函数求导，设，判断的单调性，根据单调性求最小值，分别讨论和两种情况，最后得到答案.（2）由（1）知，且，分别计算，范围，代入中，放缩得到答案.【详解】（1）解：由题意得，令，则，令，则，在上递增，且，当时，递减；当时，. ，递增，当时，在递增，此时无极值；当时，当时，递增；当时，递减，是的极大值；，当时，递减；当时，递增，是的极小值；综上所述，；（2）证明：由（I）得，且，.【点睛】本题考查了极值点问题，最大值最小值问题，证明不等式，计算量大，技巧强，属于难题，意在考查学生对于导数问题的综合应用和计算能力.22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点在曲线上运动，动点满足，其轨迹为曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程；（2）若点，分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出P和M坐标，根据，得到坐标的关系，根据曲线的参数方程，得到的普通方程，代入得到的普通方程.（2）将和的普通方程化为极坐标方程，代入，解得A和B坐标，进而计算的最大值.【详解】解：（1）设，点在曲线上，曲线普通方程为，曲线的普通方程为；（2）由，得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，由，得，或，或，由得，或，或，的最大值为.【点睛】本题考查了参数方程，普通方程，极坐标方程的相互转化，将普通方程转化为极坐标方程来求最大值