山西孝义高三数学下学期一模考试理

山西省孝义市2018届高三下学期一模考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:先化简集合B,再求AB，即得解.详解：由题得，.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先化简复数z,再求z的共轭复数，再判断的共轭复数在复平面对应的点的坐标.详解：由题得 ，所以的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（-1，-3）.故选D.点睛：本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的几何意义，属于基础题.3. 一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求出，再求出，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率.详解：由题得.,该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.故选D.点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通.4. 若函数为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数为奇函数，所以可得 ， ，故选D.5. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先分析得到四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.详解：由题得,四边形PMON是正方形，|PO|=,满足以上条件的点有且只有一个，.故选B.点睛：本题的关键是对已知条件的分析转化，首先要分析出四边形PMON是正方形，再分析出，再根据点到直线的距离求出b的值.6. 已知不等式组表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：作出可行域，由y=|x1|的图象特点，平移图象可得详解：作出不等式组表示的平面区域D（如图阴影），函数y=|x1|的图象为直线y=x1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到，其图象为关于直线x=1对称的折线（图中红色虚线），沿x=1上下平移y=|x1|的图象，当经过点B时m取最小值，过点D时m取最大值，由可解得，即B（2，1）此时有1=|21|+m，解得m=2；由可解得，即B（1，1）此时有1=|11|+m，解得m=1；故实数m的取值范围为2，1，故答案为2，1故选C.点睛：本题考查简单线性规划，数形结合分析是解决问题的关键.7. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：详解：该几何体是半个圆柱和半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为4.圆锥的底面半径和高均为2，所以其体积为故选A.点睛：本题主要考查三视图还原为几何体原图，考查组合体的体积的计算,属于基础题.8. 设，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据计算出n的值，再利用二项式展开式的通项求.详解：由题得二项式展开式的通项为,0，.n=5.故选A.点睛：本题主要考查二项式展开式的通项和二项式展开式的系数，属于基础题.9. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.详解：当n=1,S=0时，S=；执行第一次循环可得n=2,S=;执行第二次循环可得n=3,S=;执行第三次循环可得n=4,S=;执行第四次循环可得n=5,S=;执行第五次循环可得n=6,S=;执行第六次循环可得n=7,S=，归纳可知，其周期为6,所以.所以输出S=.点睛：本题主要考查程序框图和数列的周期性，属于基础题.10. 设为双曲线上的点，分别为的左、右焦点，且，与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出圆的圆心、半径和直线PF1的方程，根据切线的性质列方程求出a，b，c的关系，得出离心率详解：F1（c，0），F2（c，0），P（c，），直线PF1的方程为y=x+，即b2x2acy+b2c=0，四边形OF2PQ的内切圆的圆心为M（，），半径为，M到直线PF1的距离d=，化简得：9b212abcb4=0，令b=1可得ac=，又c2a2=1， a=，c=e=2故选C点睛：求离心率的取值，一般是找到关于离心率的方程，再解方程.关键是找方程，本题是根据直线和圆相切得到圆心到直线的距离等于半径找到的方程.11. 在四面体中，底面，为的重心，且直线与平面所成的角是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：一般先要画好图，再找到直线DG与平面ABC所成的角，求出AD的长度，再找到关于R的方程，解方程得到R的值,最后求球的表面积.详解：四面体ABCD与球O的位置关系如图所示，设E为BC的中点，为ABC外接圆的圆心.由条件可得AE=,又直线DG与平面ABC所成的角等于直线DE与平面ABC所成的角即DEA.则由在四边形中， 所以,所以球O的表面积为.故选D.点睛：求几何体的外接球的半径，方法一是利用模型法，把几何体放到长方体模型中求外接球的半径.方法二是解直角三角形，本题利用的是第二种方法.12. 设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由等差数列的求和公式可得首项，tanantanan+1=1=1，运用裂项相消求和，结合两角和差的正切公式，即可得到所求和详解: 等差数列an的公差d为，前8项和为6，可得8a1+87=6，解得a1=，tanantanan+1=1=1，则数列tanantanan+1的前7项和为（tana8tana7+tana7tana6+tana2tana1）7=（tana8tana7）7=（tantan）7=（tantan）7=（tan（）tan（）7=（）7= 故选C点睛:解答本题的关键是化简,求和首先要看通项的特征, tanantanan+1=1=1，化简到这里之后,就可以再利用裂项相消求和了.化简时要注意观察已知条件，看到要联想到差角的正切公式，再化简.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的张邱建算经，该问题的答案是_【答案】尺【解析】分析：先确定等差数列的首项和末项，再利用等差数列的求和公式求和.详解：由题得三十日的织布数组成一个首项是5尺末项为1尺的等差数列，所以三十日的总的织布数为.故填90尺.点睛：本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题.14. 已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，所以向量与的夹角是120. 故填120. 点睛：本题主要考查平行四边形法则和向量的夹角，属于基础题.15. 已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，再把函数恰有两个不同的零点转化为y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，再画图分析得到实数m的取值范围.详解：由题得.，由得f(x)=-m，即y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，结合图像可知-2-m3，即-3m-2. 故填点睛：本题的关键是转化，把函数恰有两个不同的零点转化为y=f(x)的图像与直线y=-m恰有两个交点，后面问题就迎刃而解了.处理零点问题常用数形结合分析解答.16. 当，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：先分离参数得到a，构造函数f（x）=利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围详解：x1时，不等式（x1）ex+1ax2恒成立（x1）exax2+10恒成立，a，在（1，+）恒成立，设f（x）=，f（x）=x2ex2（x1）ex+2=ex（x22x+2）+2=ex（x1）2+1+20恒成立，f（x）0，在（1，+）恒成立，f（x）在（1，+）单调递增，f（x）minf（1）=1，a1.故填（，1点睛：本题的关键是分离参数得到a，再构造函数f（x）=利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）若，为边上一点，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式化简，即得A的值. （2）先利用已知条件和余弦定理得到，再利用余弦定理求AD的值.详解：（1），.，.，.（2），.由，得，又，.则为等边三角形，且边长为，.在中，由余弦定理可得.点睛：本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角恒等变换能力和计算能力，属于基础题.18. 如图，三棱柱中，平面.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）余弦值为. 【解析】分析: (1)先证明平面,即证.(2)先证明,再建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.详解:（1）证明：平面，.，平面，.（2）解：平面，四边形为菱形，.又，与均为正三角形.取的中点，连接，则.由（1）知，则可建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.，.设平面的法向量为，则，取，则为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量，.又二面角的平面角为钝角，所以其余弦值为.点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的平面角的计算,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.属于中档题.19. 某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）购物单张数252530由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】分析：（1）设所求概率为根据每单消费额的中位数与平均数恰好相等得到p的方程，再解方程即得解. （2）先求、和的概率，再列出分布列，最后计算出数学期望.详解：（1）因消费额在区间的频率为，故中位数估计值为.设所求概率为，而消费额在的概率为.故消费额在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）根据题意，.设抽奖顾客获得的购物券价值为，则的分布列为420500200100故（元）.点睛：本题主要考查频率分布直方图和随机变量的分布列和数学期望等知识，考查学生的分析能力和计算能力，属于中档题.20. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.【答案】(1) 切线的方程为或;(2) 的取值范围为或或.【解析】分析：（1）设切点为，再求切线的斜率和切点，最后写出直线的点斜式方程化简即得解. (2)先求出的面积为，的面积为.再令它们想到得到找到a的范围.详解：（1）设切点为，则点处的切线方程为.过点，解得或.当时，切线的方程为或.（2）设直线的方程为，代入得， ，得， 由题意得，直线的方程为，同理可得，即， 得，. 设，则，.点到的距离为，的面积为.同理的面积为.由已知得，化简得， 欲使有解：则，.又，得，.综上，的取值范围为或或.点睛：本题的难点在第（2）问，首先要求出与的面积，涉及到较复杂的字符运算，其次是求出，要想到函数，分析出a的范围，最后是不要漏掉了，其中也包含了a的范围.所以在解答数学问题时，要学会分析数学问题，同时要严谨.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）定义：“对于在区域上有定义的函数和，若满足恒成立，则称曲线为曲线在区域上的紧邻曲线”.试问曲线与曲线是否存在相同的紧邻直线，若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增;(2)见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对m分类讨论，求出函数的单调性.(2)先把命题等价转化为曲线与曲线是否相同的外公切线，再去求两支曲线的外公切线令它们相等，最后转化为唯一解问题求出m的值.详解：（1）.当时，函数在上单调递减；当时，令，得，函数在上单调递减；令，得，函数在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）原命题等价于曲线与曲线是否相同的外公切线.函数在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即.曲线与的图象有且仅有一条外公切线，所以有唯一一对满足这个方程组，且，由（1）得代入（2）消去，整理得，关于的方程有唯一解.令，.当时，在上单调递减，在上单调递增；所以.因为，；，只需.令，在为单减函数，且时，即，所以时，关于的方程有唯一解，此时，外公切线的方程为.这两条曲线存在相同的紧邻直线，此时.点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值和导数的几何意义等知识，也考查了学生的分析问题的能力和计算能力，属于难题. (2)本题难点有二个地方，难点一是要把问题转化为为曲线与曲线是否相同的外公切线，难点二是得到两个切线重合后，如何分析有唯一一对满足这个方程组，且.这个唯一性的问题利用到了又用到了导数的知识.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极