考研数学历年真题2008-2017年数学二

- 1 - 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x 在 x=0 连续，则 (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C)0ab (D)2ab （2）设二阶可到函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff 且( )0fx，则 (A) 1 1 ( )0f x dx (B) 1 2 ( )0f x dx (C) 01 10 ( )( )f x dxf x dx (D) 11 10 ( )( )f x dxf x dx （3）设数列 n x收敛，则 (A)当limsin0 n n x 时，lim0 n n x (B)当lim()0 nnn n xxx 时，则lim0 n n x (C)当 2 lim()0 n n n xx ,lim0 n (D)当lim(sin)0 nn n xx 时，lim0 n n x （4）微分方程 2 48(1 cos2 ) x yyyex的特解可设为 k y (A) 22 (cos2sin2 ) xx AeeBxCx(B) 22 (cos2sin2 ) xx AxeeBxCx (C) 22 (cos2sin2 ) xx AexeBxCx(D) 22 (cos2sin2 ) xx AxexeBxCx （5）设),(yxf具有一阶偏导数，且在任意的( , )x y，都有, 0 ),( , 0 ),( x yxf x yxf 则 (A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff (C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff （6） 甲、 乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10 （单位:m） 处,图中， 实线表示甲的速度曲线 1 vv t（单位:m/s） 虚线表示乙的速度曲线 2 vvt，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t（单 位:s）,则 (A) 0 10t (B) 0 1520t(C) 0 25t (D) 0 25t - 2 - （7）设A为三阶矩阵， 123 (,)P 为可逆矩阵，使得 1 000 010 002 P AP ，则 123 (,)A (A) 12 (B) 23 2(C) 23 (D) 12 2 （8）已知矩阵 200 021 001 A ， 210 020 001 B ， 100 020 000 C ，则 (A) A 与 C 相似，B 与 C 相似(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似(D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 二、填空题：二、填空题：914 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. （9）曲线 x xy 2 arcsin1的斜渐近线方程为 （10）设函数( )yy x由参数方程 sin t xte yt 确定，则 2 02t d y dx （11） 2 0 ln(1) 1 x dx x = （12）设函数,fx y具有一阶连续偏导数，且,1,0,00 yy dfx yye dxxy e dy f，则 ,fx y= （13） 11 0 tan y x dydx x （14）设矩阵 412 12 311 Aa 的一个特征向量为 1 1 2 ，则a 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求 0 3 0 lim x t x xte dt x （16）（本题满分 10 分） 设函数 ,f u v具有 2 阶连续偏导数， y, x f ecosx,求 0 dy d x x , 2 2 0 d y d x x - 3 - （17）（本题满分 10 分） 求 2 1 limln 1 n n k kk nn （18）（本题满分 10 分） 已知函数)(xy由方程0233 33 yxyx确定，求)(xy的极值 （19）（本题满分 10 分） 设函数 ( )f x在0,1上具有 2 阶导数， 0 ( ) (1)0, lim0 x f x f x ，证明 （1）方程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根； （2）方程 2 )()()(xfxfxf 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根. （20）（本题满分 11 分） 已知平面区域 22 ,2Dx yxyy，计算二重积分 2 1 D xdxdy （21）（本题满分 11 分） 设( )y x是区间 3 (0, ) 2 内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:( )L yy x上的任意一点，L在点P处的切线 与y轴相交于点(0,) P Y，法线与x轴相交于点(,0) P X，若 pP XY，求L上点的坐标( , )x y满足的方程。 （22）（本题满分 11 分） 三阶行列式 123 (,)A 有 3 个不同的特征值，且 312 2 （1）证明( )2r A （2）如果 123 求方程组Axb的通解 （23）（本题满分 11 分） 设二次型 13 222 1232121 323 ( ,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为 22 1122 yy 求a的值及一个正交矩阵Q. - 4 - 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、一、选择：选择：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1）设 1 (cos1)axx， 3 2 ln(1)axx， 3 3 1 1ax .当0 x 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到 高阶拓排序是（） （A） 123 ,a a a.（B） 231 ,a a a. （C） 213 ,a a a.（D） 321 ,a a a. （2）已知函数 2(1),1, ( ) ln ,1, xx f x xx 则( )f x的一个原函数是（） （A） 2 (1) ,1. ( ) (ln1),1. xx F x xxx （B） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx （C） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx （D） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx （3）反常积分 1 0 2 1 x e dx x ， 1 + 2 0 1 x e dx x 的敛散性为（） （A）收敛，收敛.（B）收敛，发散. （C）收敛，收敛.（D）收敛，发散. （4）设函数( )f x在(,) 内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点. （B）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 3 个拐点. （C）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 1 个拐点. （D）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点. （5）设函数( )(1,2) i f x i 具有二阶连续导数，且)2 , 1(0)( 0 ixfi，若两条曲线( )(1,2) i yf x i在点 00 (,)xy处 具有公切线( )yg x， 且在该点处曲线 1( ) yf x的曲率大于曲线 2( ) yfx的曲率， 则在 0 x的某个领域内， 有 （） （A） 12 ( )( )( )f xfxg x（B） 21 ( )( )( )fxf xg x （C） 12 ( )( )( )f xg xfx（D） 21 ( )( )( )fxg xf x - 5 - （6）已知函数( , ) x e f x y xy ，则（） （A） 0 xy ff（B） 0 xy ff （C） xy fff（D） xy fff （7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（） （A） T A与 T B相似（B） 1 A与 1 B相似 （C） T AA与 T BB相似（D） 1 AA与 1 BB相似 （8）设二次型 222 123123122313 ( ,)()222f x xxa xxxx xx xx x的正、负惯性指数分别为 1,2，则（） （A）1a （B）2a （C）21a （D）1a 与2a 二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 （9）曲线 3 2 2 arctan(1) 1 x yx x 的斜渐近线方程为_. （10）极限 2 112 lim(sin2sinsin) n n n nnnn _. （11）以 2x yxe和 2 yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为_. （12）已知函数( )f x在(,) 上连续，且 2 0 ( )(1)2( )d x f xxf tt ，则当2n时， ( )(0)n f_. （13）已知动点P在曲线 3 yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数 0 v， 则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_. （14）设矩阵 11 11 11 a a a 与 110 011 101 等价，则_.a 解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 求极限 4 1 0 )sin22(coslim x x xxx . （16）（本题满分 10 分） 设函数 1 22 0 ( )(0)f xtx dt x ，求 ( ) fx并求( )f x的最小值. - 6 - （17）（本题满分 10 分） 已知函数( , )zz x y由方程 22 ()ln2(1)0 xyzzxy确定，求( , )zz x y的极值. （18）（本题满分 10 分） 设D是由直线1y ，yx，yx 围成的有界区域，计算二重积分 22 22 . D xxyy dxdy xy （19）（本题满分 10 分） 已知 1( ) x y xe， 2( ) ( ) x yxu x e是二阶微分方程(21)(21) 20 n xyxyy的两个解，若( 1)ue， (0)1u ，求( )u x，并写出该微分方程的通解。 （20）（本题满分 11 分） 设D是由曲线 2 1(01)yxx与 3 3 cos 0 2 sin xt t yt 围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体 的体积和表面积。 （21）（本题满分 11 分） 已知( )f x在 3 0, 2 上连续，在 3 (0,) 2 内是函数 cos 23 x x 的一个原函数，且(0)0f。 （）求( )f x在区间 3 0, 2 上的平均值； （）证明( )f x在区间 3 (0,) 2 内存在唯一零点。 - 7 - （22）（本题满分 11 分） 设矩阵 111 10 111 a Aa aa ， 0 1 22a ，且方程组Ax无解。 （）求a的值； （）求方程组 TT A AxA的通解。 （23）（本题满分 11 分） 已知矩阵 011 230 000 A （）求 99 A （）设 3 阶矩阵 123 (,)B 满足 2 BBA。记 100 123 (,)B ，将 123 , 分别表示为 123 , 的线性 组合。 - 8 - 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择一、选择题题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (1)下列反常积分中收敛的是（） (A)(B)(C)(D) (2)函数 2 0 sin ( )lim(1) x t t t f x x 在(,) 内（） （A）连续（B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点 (3)设函数 1 cos,0 ( ) 0,0 xx f xx x (0,0)，若( )f x在0 x 处连续，则（） （A）1(B)01 (C)2(D)02 (4) 设函数( )f x在(,) 连续，其二阶导函数( )fx的图形图所示，则曲线( )yf x的拐点个数为（） （A）0(B)1(C)2(D)3 (5).设函数(uv)f，满足 22 (,) y f xyxy x ，则 1 1 u v f u 与 1 1 u v f v 依次是（） （A） 1 2 ,0(B)0， 1 2 （C）- 1 2 ,0(D)0 ,- 1 2 (6). 设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx 围成的平面区域，函数( , )f x y在D上连续，则 ( , ) D f x y dxdy =（） - 9 - （A） 1 2sin2 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr （B） 1 sin22 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr （C） 1 3sin2 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr （D） 1 sin23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr (7) 设矩阵A= 2 111 12a 14a ，b= 2 1 d d ,若集合=1,2， 则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为 （） （A）,ad(B),ad(C),ad(D),ad (8)设二次型 123 (,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为 222 123 2,yyy其中 123 P=(e ,e ,e )， 若 132 ( ,)Qee e， 则 123 (,)f x xx在正交变换Qyx 下的标准形为（） (A): 222 123 2yyy(B) 222 123 2yyy (C) 222 123 2yyy(D) 222 123 2yyy 二、填空题：二、填空题：914 小题小题, ,每小题每小题 4 分分, ,共共 24 分分. .请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (9) 设 2 23 1 arctan , 3 t xt d y dxytt 则 （10）函数 2 ( )2xf xx在0 x 处的n阶导数 ( )(0)n f （11）设函数( )f x连续， 2 0 ( )( ), x xxf t dt若(1)1， (1) 5，则(1)f （12）设函数( )yy x是微分方程 20yyy的解，且在0 x 处( )y x取值 3，则( )y x= （13）若函数( , )zz x y由方程 23 1 xyz exyz 确定，则 (0,0) dz= （14）设 3 阶矩阵A的特征值为 2，-2,1， 2 BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵，则行列式B= 三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15、（本题满分 10 分） 设函数( )ln(1)sinf xxxbxx， 2 ( )g xkx，若( )f x与( )g x在0 x 时是等价无穷小，求 , ,a b k的值。 - 10 - 16、（本题满分 10 分） 设0A ，D是由曲线段sin (0) 2 yAxx 及直线, 2 yo x 所形成的平面区域， 1 V， 2 V分别表示D绕x 轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若 12 VV，求A的值。 17、（本题满分 10 分） 已知函数( , )f x y满足( , )2(1) x xy fx yye，( ,0)(1) x x fxxe，yyyf2), 0( 2 求( , )f x y的极值。 18、（本题满分 10 分） 计算二重积分() D x xy dxdy ，其中 222 ( , )2,Dx y xyyx。 19、（本题满分 10 分） 已知函数 2 1 2 1 ( )11 x x f xt dttdt ，求( )f x零点的个数。 20、（本题满分 11 分） 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将 一初始温度为 120 0C 的物体在 20 0C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30 0C ，若要使物体的温度继续降 至 21 0C ，还需冷却多长时间？ - 11 - 21、（本题满分 11 分） 已知函数( )f x在区间, a 上具有 2 阶导数，( )0,( )0,f afx0)( x f设,ba曲线( )yf x在点 ( ,( )b f b处的切线与x轴的交点是 0 (,0)x，证明： 0 axb。 22、（本题满分 11 分） 设矩阵 1 11 1 0 0 a Aa a ,且OA 3 . （1）求a的值；（2）若矩阵X满足EEAXAAXXAX, 22 为 3 阶单位矩阵，求X。 23、（本题满分 11 分） 设矩阵 023 133 12 A a ，相似于矩阵 120 00 031 Bb ， （1）求ba,的值（2）求可逆矩阵P，使 1 P AP 为对角矩阵。 - 12 - 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的. (1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是：（） (A)(B)(C)(D) (2) 下列曲线中有渐近线的是：（） (A)(B) (C)(D) (3) 设函数具有二阶导数，则在区间上：（） (A) 当时，(B) 当时， (C) 当时，(D) 当时， (4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是：（） (A)(B)(C)(D) (5) 设函数，若，则（） (A)(B)(C)(D) (6) 设函数在有界闭区域上连续， 在的内部具有2阶连续偏导数， 且满足及， 则：（） (A)的最大值和最小值都在的边界上取得 (B)的最大值和最小值都在的内部上取得 - 13 - (C)的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得 (D)的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得 (7) 行列式（） (A)(B)(C)(D) (8) 设均为 3 维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无 关的：（） (A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)_. (10) 设是周期为的可导奇函数，且，则_. (11) 设是由方程确定的函数，则_. (12) 曲线L的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是_. (13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标_ _. (14) 设二次型的负惯性指数为 1，则的取值范围为_. 三、 解答题： 1523 小题,共 94 分.将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 求极限 - 14 - (16)(本题满分 10 分) 已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值. (17)(本题满分 10 分) 设平面区域计算. (18)(本题满分 10 分) 设函数具有二阶连续导数，满足，若，求 的表达式. (19)(本题满分 10 分) 设函数的区间上连续，且单调增加，.证明： (I), (II). - 15 - (20)(本题满分 11 分) 设函数，定义函数列 ，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限. (21)(本题满分 11 分) 已知函数满足， 且求曲线所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分 11 分) 设矩阵，为 3 阶单位矩阵. (I)求方程组的一个基础解系； (II)求满足的所有矩阵B. (23)(本题满分 11 分) 证明阶矩阵与相似. - 16 - 2012013 3 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题 一、选择题一、选择题18 小题每小题小题每小题 4 分，共分，共 32 分分 设设 2 )(),(sin1cos xxxx，当，当0x时，时， x（） （A）比x高阶的无穷小量.（B）比x低阶的无穷小量. （C）与x同阶但不等价无穷小量.（D）与x等价无穷小量. 2已知函数 xfy 是由方程1lncosxyxy确定，则 1 2 lim n fn n （） （A）2（B）1（C）-1（D）-2 设函数， x dttfxF 0 )()(则（） （）x为)(xF的跳跃间断点（）x是函数)(xF的可去间断点 （）)(xF在x处连续但不可导（）)(xF在x处可导 设函数 ex xx ex x xf , ln 1 1 , ) 1( 1 )( 1 1 ，且反常积分dxxf 1 )(收敛，则（） （A）2（B）2a（C）02a（D）20 设xyf x y z ，其中函数f可微，则 y z x z y x （） （A）)( 2xyyf（B）)( 2xyyf（C）)( 2 xyf x （D）)( 2 xyf x 6设 k D是圆域1| ),( 22 yxyxD的第k象限的部分，记）（4 , 3 , 2 , 1)(kdxdyxyI k D k ，则（） （A）0 1 I（B）0 2 I（C）0 3 I（D）0 4 I 7设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 8矩阵 11 11 a aba a 与矩阵 000 00 002 b相似的充分必要条件是 （A）2, 0ba（B）0a，b为任意常数 （C）0, 2ba（D）2a，b为任意常数 - 17 - 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9 x x x x 1 0 )1ln( 2lim 10设函数dtexf x t 1 1)(，则)(xfy 的反函数)( 1 yfx 在0y处的导数 0 |y dy dx 11设封闭曲线 L 的极坐标方程为 66 3cos r，则 L 所围成的平面图形的面积为 12曲线上 2 1ln arctan ty tx 上对应于1t的点处的法线方程为 13已知 xxxxx xeyxeeyxeey 2 3 2 2 23 1 ,是某二阶常系数非齐次线性微分方程三个解，则该方程满足条 件的解为y 14设 ij aA 是三阶非零矩阵，A为A的行列式， ij A为元素 ij a的代数余子式，若 ，则 三、解答题三、解答题 15（本题满分 10 分） 当0x时，xxx3cos2coscos1与 n ax是等价无穷小，求常数na与的值 16（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 3 1 xy ，直线ax )0(a及x轴所转成的平面图形， yx VV ,分别是 D 绕x轴和y轴旋转一周所形成 的立体的体积，若 yx VV 10，求a的值 17（本题满分 10 分） 设平面区域 D 是由直线8,3,3yxxyyx所围成，计算 D dxdyx 2 18（本题满分 10 分） 设奇函数)(xf在1 , 1上具有二阶导数，且1) 1 (f，证明： - 18 - （1）存在) 1 , 0(，使得 1f； （2）存在) 1 , 1(，使得1)()( ff 19（本题满分 10 分） 求曲线)0, 0( 1 33 yxyxyx上的点到坐标原点的最长距离和最短距离 20（本题满分 11） 设函数 x xxf 1 ln)( 求)(xf的最小值； 设数列 n x满足1 1 ln 1 n n x x，证明极限 n n x lim存在，并求此极限 21（本题满分 11） 设曲线 L 的方程为)1 (ln 2 1 4 1 2 exxxy （1）求 L 的弧长 （2）设 D 是由曲线 L，直线exx , 1及x轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标 22本题满分 11 分） 设 b B a A 1 10 , 01 1 ，问当ba,为何值时，存在矩阵 C，使得BCAAC，并求出所有矩阵 C 23（本题满分 11 分） 设二次型 2 332211 2 332211321 )()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf记 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a （1）证明二次型f对应的矩阵为 TT 2； （2）若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2 2 2 1 2yy - 19 - 2012012 2 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题 一一、 选择题选择题: :1 1- -8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 3232 分分. .下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中, ,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的, ,请将所选项请将所选项 前的字母填在前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (1)曲线 2 2 1 xx y x 的渐近线条数() (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3 (2) 设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen，其中n为正整数,则(0) f () (A) 1 ( 1)(1)! n n (B)( 1) (1)! n n (C) 1 ( 1)! n n (D)( 1)! nn (3) 设 123 0 (1,2,3), nnn anSaaaa，则数列 n S有界是数列 n a收敛的 () (A) 充分必要条件(B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件(D) 既非充分也非必要条件 (4) 设 2 0 sin d ,(1,2,3), k x k Iex x k 则有 () (A) 123 III(B) 321 III (C) 231 III(D) 213 III (5) 设函数( ,f x y）为可微函数，且对任意的, x y都有 ( , )( , ) 0,0, x yx y xy 则使不等式成立的 一个充分条件是 () (A) 1212 ,xxyy(B) 1212 ,xxyy (C) 1212 ,xxyy(D) 1212 ,xxyy (6) 设区域D由曲线sin ,1 2 yx xy 围成，则 5 (1)d d D x yx y () (A)(B)2(C)-2(D) - (7) 设 1 1 0 0 c , 2 2 0 1 c , 3 3 1 1 c , 4 4 1 1 c ,其中 1234 ,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的为 (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , - 20 - (8) 设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵， 且 1 100 010 002 P AP .若 123 ,P ， 1223 ,Q 则 1 Q AQ (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 二、填空题二、填空题：9 9- -1414 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分. .请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. . (9) 设( )yy x是由方程 2 1 y xye 所确定的隐函数，则 2 0 2 x d y dx . (10) 22222 111 lim 12 n n nnnn . (11) 设 1 ln,zfx y 其中函数 f u可微，则 2 zz xy xy . (12) 微分方程 2 d3d0y xxyy满足条件 1 1 x y 的解为y . (13) 曲线 2 0yxx x上曲率为 2 2 的点的坐标是 . (14) 设A为3阶矩阵，=3A ， * A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则 * BA . 三、解答题三、解答题：1515- -2323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . (15)(本题满分 10 分) 已知函数 11 sin x f x xx ，记 0 lim x af x ， (I)求a的值; (II)若0 x 时， f xa与 k x是同阶无穷小，求常数k的值. (16)(本题满分 10 分) 求函数 22 2 , xy f x yxe 的极值. (17)(本题满分 12 分) 过(0,1)点作曲线:lnL yx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面 积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. - 21 - (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分d D xy ，其中区域D为曲线1cos0r 与极轴围成. (19)(本题满分 10 分) 已知函数( )f x满足方程( )( )2 ( )0fxfxf x及( )( )2 x fxf xe, (I) 求( )f x的表达式; (II) 求曲线 22 0 ()()d x yf xftt 的拐点. (20)(本题满分 10 分) 证明 2 1 lncos1 12 xx xx x ,( 11)x . (21)(本题满分 10 分) (I)证明方程1xxx nn-1 +1n 的整数 ，在区间 1 ,1 2 内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为 n x，证明lim n n x 存在，并求此极限. (22)(本题满分 11 分) 设 100 010 001 001 a a A a a ， 1 1 0 0 (I) 计算行列式A； (II) 当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分 11 分) 已知 101 011 10 01 A a a ，二次型 123 , TT fx xxxA A x的秩为 2， (I) 求实数a的值； (II) 求正交变换x Qy 将f化为标准形. - 22 - 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学二二试题试题 一、一、选择题：选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）已知当0x时，函数xxxf3sinsin3)(与 k cx是等价无穷小，则（） （A）4, 1ck（B）4, 1ck （C）4, 3ck（D）4, 3ck （2）设函数)(xf在0x处可导，且0)0(f，则 3 32 0 )(2)( lim x xfxfx x （） （A）)0( 2 f （B）)0( f （C）)0( f （D）0 （3）函数)3)(2)(1(ln)(xxxxf的驻点个数为（） （A）0（B）1（C）2（D）3 （4）微分方程)0( 2 xx eeyy的特解形式为（） （A）)( xx eea （B）)( xx eeax （C）)( xx beaex （D）)( 2xx beaex （5）设函数)(xf，)(xg均有二阶连续导数，满足0)0(f，0)0(g，且0)0()0(gf则函数)()(ygxfz 在点)0 , 0(处取得极小值的一个充分条件是（） （A）0)0( f ，0)0( g（B）0)0( f ，0)0( g （C）0)0( f ，0)0( g（D）0)0( f ，0)0( g （6）设 4 0 sinln dxxI， 4 0 cotln dxxJ， 4 0 cosln dxxK，则I，J，K的大小关系为（） （A）KJI（B）JKI （C）KIJ（D）IJK （7）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 100 011 001 1 P， 010 100 001 2 P，则A=（） （A） 21P P（B） 2 1 1 PP（C） 12P P（D） 1 12 PP - 23 - （8）设),( 4321 A是 4 阶矩阵， * A为A的伴随矩阵。若 T )0 , 1 , 0 , 1 ( 是方程组0Ax的一个基础解系，则 0 * xA的基础解系可为（） （A） 31, （B） 21, （C） 321 ,（D） 432 , 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸 指定位置上。 （9） x x x 1 0 2 21 lim。 （10）微分方程xeyy x cos 满足条件0)0(y的解为y。 （11）曲线 x tdty 0 tan) 4 0( x的弧长s。 （12）设函数 , 0 , )( kx e xf , 0 , 0 x x 0，则 dxxxf)(。 （13）设平面区域D由直线xy ，圆yyx2 22 及y轴所围成，则二重积分 D xyd。 （14）二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 2223),(xxxxxxxxxxxxf，则f的正惯性指数为。 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分。请将解答写在分。请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。指定位置上，解答应字说明证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分 10 分） 已知函数 x dtt xF x 0 2) 1ln( )(，设0)(lim)(lim 0 xFxF xx ，试求的取值范围。 （16）（本题满分 11 分） 设函数)(xyy 由参数方程 3 1 3 1 , 3 1 3 1 3 3 tty ttx 确定，求)(xyy 的极值和曲线)(xyy 的凹凸区间及拐点。 （17）（本题满分 9 分） 设函数)(,(xygxyfz ， 其中函数f具有二阶连续偏导数， 函数)(xg可导， 且在1x处取得极值1) 1 (g， 求 1 , 1 2 y xyx z 。 - 24 - （18）（本题满分 10 分） 设函数)(xy具有二阶导数，且曲线)(:xyyl与直线xy 相切于原点，记为曲线l在点),(yx处切线的 倾角，若 dx dy dx d ，求)(xy的表达式。 （19）（本题满分 10 分） （I）证明：对任意的正整数n，都有 nnn 11 1ln 1 1 成立。 （II）设), 2 , 1(ln 1 2 1 1nn n an，证明数列 n a收敛。 （20）（本题满分 11 分） 一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面 ， 该 曲 线 由) 2 1 (2 22 yyyx与 ) 2 1 ( 1 22 yyx连接而成。 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m，重力加速度为 2 smg，水的密度为 33 10mkg） - 25 - （21）（本题满分 11 分） 已 知 函 数),(yxf具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且0), 1 (yf，0) 1 ,(xf， D adxdyyxf),(， 其 中 10 , 10),(yxyxD，计算二重积分 D xy dxdyyxfxy