广东佛山第一中学高二数学下学期第一次月考理

广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.函数在点处的切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出函数在点处导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【详解】，切线斜率，又，切点为，切线方程为，即故选B【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.2.函数，则（）A. 为函数的极大值点B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点3.的值是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为定积分，结合定积分的几何意义可知圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.4.函数的图象如图所示，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象分别讨论时，时，时的情况，从而得出【详解】时，解不等式，得，时，解不等式，得；，时，解不等式，无解综合得，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题5.若在可导，且，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义进行求解即可【详解】，即，则故选D【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键6.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，令，求出后，导函数即可确定，再求【详解】，令，得，故选A【点睛】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出是关键步骤7.已知在上存在三个单调区间，则的取值范围是（）A. 或B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】问题转化为只需有个不相等的实数根即可【详解】若在上存在三个单调区间， 只需有个不相等的实数根， 即只需，解得：或， 故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道基础题8.如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，选D.9.下列说法正确的是：（ ）设函数可导，则；过曲线外一定点做该曲线的切线有且只有一条；已知做匀加速运动的物体的运动方程是米，则该物体在时刻秒的瞬时速度是米秒；一物体以速度（米/秒）做直线运动，则它在到秒时间段内的位移为米；已知可导函数，对于任意时，是函数在上单调递增的充要条件A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可【详解】对于选项，设函数则，故错对于选项，过曲线外一定点做该曲线的切线可以有多条，故错对于选项，已知做匀速运动的物体的运动方程为，则，所以，故正确对于选项，一物体以速度做直线运动，则它在到时间段内的位移为，故正确对于选项，已知可导函数，对于任意时，是函数在上单调递增的充分不必要条件，例如，故错故选B【点睛】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题.10.若函数在上可导，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题中所给的条件，联想函数的求导法则，构造新函数，利用导数与单调性的关系确定出函数的单调区间，从而比较出函数值的大小，最后确定出正确结果.详解：根据可得，可知当时，即，所以可知函数在上是增函数，即，从而得，故选A.点睛：该题考查的是有关比较函数值的大小的问题，在解题的过程中，构造新函数就起了关键性的作用，之后利用导数研究其单调性，从而求得正确结果.11.已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”故答案为：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”12.把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)，设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，如，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，进而找到是第行第个数即可.【详解】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，是第行第个数，由图知，第行都是奇数，设奇数为，它是第个，因此为故选A【点睛】本题考查简单的演绎推理及数列的特点，属于中档题二、填空题（本大题共4小题）13.已知函数在上有极值，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】对函数求导，令导函数等于，求出，根据函数在在上有极值，可知，即可求解【详解】，令，得，函数在上有极值，故答案为【点睛】本题考查了函数的极值，属于基础题14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_【答案】【解析】【分析】作出图像，借助于定积分求解即可【详解】由下图可知 故答案为【点睛】先作出的图象，它与轴所围成的封闭图形的面积问题用定积分求解本题考查分段函数的图象问题、利用定积分求面积问题，难度不大15.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系，由，在区间恒成立即可得到结论【详解】解：函数在区间上单调递增，在区间恒成立，即，故实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键16.在函数的图象上任取两个不同点，总能使得，且，则实数的取值范围为_【答案】【解析】试题分析： 由题意对任意恒成立，记，则，故考点：导数的几何意义三、解答题（本大题共6小题）17.已知函数处有极小值（1）求、的值；（2）求出函数单调区间【答案】单调增区间为和，函数的单调减区间为【解析】(1)由已知，可得f(1)13a2b1，又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.因此，在区间和(1，)上，函数f(x)为增函数；在区间上，函数f(x)为减函数18.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】试题分析：(1)f(2)232166， 2分点(2，6)在曲线上 f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113. 4分切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32. 6分(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3 x021， 8分直线l的方程为：y(3 x021)(xx0)x02x016.又直线l过点(0,0)，0(3 x021)(x0)x02x016， 10分整理得x028，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113， 12分直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26) 13分考点：本题考查了导数的运用点评：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在p(x0, f(x0)处的切线的斜率f(x0).相应地，切线方程为 y-y0= f(x0)(x-x0).19.如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块作为工业用地，其中、在抛物线上，、在轴上 已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元（）求等待开垦土地的面积；（）如何确定点的位置，才能使得整块土地总价值最大【答案】（1）;（2）点C的坐标为.【解析】试题分析：（1）由于等待开垦土地是由曲线与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可试题解析：（1）由于曲线与x轴的交点坐标为（，0）和(,0),所以所求面积S=，故等待开垦土地的面积为3分（2）设点C的坐标为，则点B其中，5分土地总价值7分由得9分并且当时，故当时，y取得最大值. 12分答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大. 13分考点：1.定积分;2.函数的最值.20.一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 (1)求出，的值；(2)利用归纳推理，归纳出与的关系式；(3)猜想的表达式，并写出推导过程【答案】（1），（2），（3），【解析】【分析】（1）由题图可得结果.(2)由，归纳可得结果.(3)由（2）的结论，利用累加法即可得解.【详解】（1）由题图可得，（2），归纳可得：，（3）由（2）知，以上各式相加得又，所以，【点睛】从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性21.已知函数（）求函数的单调递增区间（）已知，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围【答案】（）当时，的增区间是，当时，的增区间是；（）.【解析】【分析】（）先求出函数导数，通过讨论当时，当时的情况，从而求出函数的单调区间； （）分别求出，的最大值，问题转化为，即，从而求出的范围【详解】（），当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，综上：当时，的增区间是，当时，的增区间是；（），令，当或时，由（）知，当时，在上单调递增，无最值，不可能满足，当时，在上递增，在上递减；，对任意的，存在，使得，【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题22.设函数（其中）（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数的零点个数【答案】(1)答案见解析；(2)函数在定义域上有且只有一个零点【解析】试题分析：（1）由题意得函数函数定义域，对函数求导，再对进行分类讨论，根据与，可得函数的单调区间；（2）依题意得，结合第一问的单调性，结合函数的图象，从两个方面考虑函数的变化趋势，或时，从而可得零点的个数.试题解析：（1）函数的定义域为，当时，令，解得.的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，令，解得或.在和上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增.当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；（2），当时，由（1）知，当时，此时无零点，当时，.又在上单调递增在