广东省广州市届高三数学第二次模拟考试试题文 (1)

广东省广州市2019届高三数学第二次模拟考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用交集的运算法则求解即可.【详解】集合，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.3.某公司生产，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（ ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，；运行第二次，；运行第三次，；运行第四次，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B考点：程序框图5.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以得到至少有1名女生的对立事件是没有女生，从而利用间接法求得结果.【详解】采用间接法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关至少至多类随机事件发生的概率，涉及到的知识点有利用间接法，通过其对立事件发生的概率求得结果，属于简单题目.6.函数 的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】首先观察图象，可以得到，从而求得，进而求得，根据图象过点，根据条件求得，从而求得函数的解析式.【详解】由图可知：，所以，所以，由图可知，图象过点，所以，所以，所以，因为，令，可得，所以函数解析式为：，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据所给的函数图象求函数解析式的问题，注意A由函数的最值来确定，由函数的周期来确定，由所过的特殊点来确定，属于简单题目.7.设等比数列的前项和为，则下列等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先对等比数列的公比分和进行讨论，当时，对各选项逐个分析，从而排除B、C两项，当时，对A、D两项进行验证，从而得到结果.【详解】当公比时，所以，所以B、C两项排除，当时，若成立，解得，从而得到，显然不是恒成立，、排除A，整理得，即，显然成立，故选D.【点睛】该题考查是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的前n项和公式，并且要明确其公式的使用条件，属于简单题目.8.已知双曲线 的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据双曲线 的渐近线方程为：，结合题中所给的双曲线渐近线方程为，从而可得，即，利用双曲线中所满足的条件，得到，进而求得，得到结果.【详解】双曲线 的渐近线方程为：，由其渐近线方程为，可得，即，所以，可得，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线中之间的关系，双曲线的离心率，属于简单题目.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先设圆锥的底面半径为，高为，从而求得圆锥的母线长为，利用圆锥的体积公式以及题中的条件，得到，将圆锥的侧面积表示出来，之后设，利用导数求得当，取得最小值，从而求得圆锥的侧面积取得最小值时，此时，进而求得圆锥的母线与底面所成角的正切值为，从而求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的体积为，所以，因为圆锥的侧面积，设，所以，所以当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，所以当，取得最小值，即圆锥的侧面积取得最小值，所以，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关圆锥的母线与底面所成角的正切值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有圆锥的体积公式，圆锥的侧面积公式，利用导数求函数的最值，属于中档题目.10.设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据条件1是一元二次方程的一个实根，再结合，从而得出，对b的符号进行分类讨论，从而求得结果.【详解】又因为1是一元二次方程的一个实根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B两项，当时，所以，此时，当时，此时，当时，所以，此时，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关式子的取值范围的求解问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的特征，对题的条件的转化，不等式的性质，分类讨论的思想，属于简单题目.11.在三棱锥中.，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理求得的外接圆的半径，根据题中的条件，可知三棱锥的顶点P在底面上的射影为的外心D，从而可知其外接球的球心在线段PD上，设其半径为，利用勾股定理可求得该三棱锥的外接球的半径，从而求得其表面积.【详解】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三棱锥的外接球的表面积的问题，涉及到的知识点有三棱锥的外接球的球心的位置的确定方法，球的表面积公式，属于简单题目.12.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.二、填空题.13.已知向量，向量，则_.【答案】【解析】【分析】首先根据向量的加法和数乘运算求得的坐标，再利用向量的模的坐标公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求向量的模的问题，涉及到的知识点有向量的加法和数乘运算，向量模的坐标公式，属于简单题目.14.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为_.【答案】【解析】设此等差数列为an，公差为d，则 （a3+a4+a5）=a1+a2，即，解得a1=，d=最小一份为a1，故答案：15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求导函数，问题等价于在上恒成立，转化为求函数最值即可得结果.【详解】，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立，因为的最大值为，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关已知函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意单调性与导数的关系，恒成立向最值靠拢的思想，属于简单题目.16.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】因为点所在直线与点所在直线平行，从而得到因此可设的中点所在直线的方程为，分别与直线和直线联立，求得交点的坐标，求得和，令，可得，得到结果.【详解】因为点所在直线与点所在直线平行，因此可设的中点所在直线的方程为，所以有，解得，所以的中点所在直线的方程为，联立，解得，所以其交点为，所以，联立，解得，所以其交点为，所以，令，因为满足条件的点M的轨迹为线段RS，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关应用线性规划的思想解决有关问题，涉及到的知识点有夹在两条平行线间与两直线等距的直线方程的求法，分析目标函数的能力，两直线的交点的求解，斜率坐标公式，属于简单题目.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.中角，的对边分别为，己如.（1）求的值：（2）若，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由切化弦公式，代入，并整理可得，这样根据两角和的正弦公式可得，根据正弦定理可得出，得到结果；（2）根据条件，结合（1）的结论，得到，利用余弦定理可得，结合，利用三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）因为，所以化简得 即因在中，则 从而 由正弦定理，得所以（2）由（1）知，且，所以因为，所以 即所以所以所以的面积为【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦和角公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，.（1）求证：（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点，连结，结合题意，可得，从而得到，在中，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而证得；（2）利用，结合三棱锥的体积公式，求得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连结，因为底面为菱形，所以 因为为的中点，所以 在中，为的中点，所以 因为，所以平面 因为平面，所以 （2）解法1：在 中，所以因为底面是边长为2的菱形，所以 在中，因为，所以 由（1）有，且，平面，平面，所以平面在中，由（1）证得，且，所以因为，所以 在中，所以设点到平面的距离为，因为，即 所以所以点到平面的距离为 解法2：因为，平面，平面，所以平面所以点到平面的距离等于点到平面的距离 过点作于点 由（1）证得平面，且，所以平面因为平面，所以 因为，平面，平面，所以平面在 中，所以因为底面是边长为2的菱形，所以 在中，因为，所以 在中，根据等面积关系得 所以所以点到平面的距离为 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直得到线线垂直，线面垂直的判定定理，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题目.19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄/岁）26273941495356586061（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329631.433.535.234.6根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （）47 （）见解析；(2) ；%【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（）（） 因为，所以 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 （2）因为回归方程为，即所以【或利用 】所以关于的线性回归方程为将代入线性回归方程得 所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.20.从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）利用相关点法，设设，则点的坐标为，由，从而得到，即化简求得结果；（2）设出点A,B的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到，根据韦达定理得到 =， =，设点，写出直线AT的方程，进而求得点D的坐标，同理求得点E的坐标，如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足，利用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】（1）设，则点的坐标为因为，所以， 即 ， 因为点在抛物线上，所以，即 所以点的轨迹的方程为 （2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为 ，由得由韦达定理得 =， = 设点，则 所以直线的方程为令，得点的坐标为 同理可得点的坐标为 如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足 因为 所以 即，解得或故以为直径的圆过轴上的定点和 解法2：直线与曲线的交点坐标为，若取，则，与直线的交点坐标为，所以以为直径的圆的方程为该圆与轴的交点坐标为和所以符合题意的定点只能是或 设直线与曲线的交点坐标为 ，由得由韦达定理得 设点，则 所以直线的方程为令，得点的坐标为 同理可得点的坐标为 若点满足要求，则满足因为 所以点满足题意同理可证点也满足题意故以为直径的圆过轴上的定点和【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式，属于较难题目.21.已知函数(1)若，求函数的所有零点；(2)若，证明函数不存在极值【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.【详解】（1）解：当 时，函数的定义域为， 且设，则 当时，；当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，（当且仅当时取等号）即当时，（当且仅当时取等号）所以函数在单调递增，至多有一个零点. 因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有 （2）证法1：因为，函数的定义域为，且 当时， 由（1）知即当时，所以在上单调递增 所以不存在极值证法2：因为，函数的定义域为 ，且 设，则 设 ，则与同号当 时，由， 解得， 可知当时，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增 由（1）知则所以，即在定义域上单调递增 所以不存在极值【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.22.在直角坐标系中，