湖南湘钢一中高二数学期考文

湘钢一中2018年下学期高二年级期考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，再求补集.【详解】因为，所以，选B.【点睛】本题考查补集定义以及解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.2.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】先化复数代数形式，再根据纯虚数概念列式求解.【详解】因为，所以,即，选D.【点睛】本题考查纯虚数，考查基本分析求解能力，属基础题.3.等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由已知结合等差数列的前n项和求得，再由等差数列的性质得答案【详解】在等差数列an中，由，得，即4又2，=2，故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题4.“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角大于得到不等式，求出的范围，从而利用充分条件，必要条件的定义得解。【详解】设直线的倾斜角为，直线可化为，所以由直线的倾斜角大于可得：或，即：或，所以 或，但或 故选：A【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强。而残差越大，则相关性越小。可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强。考点：线性相关关系的判断。6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】2p=4，p=2，=x1+x2+p=8故选：D点睛：若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7.已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设双曲线方程，再根据离心率以及点坐标，列方程组，解得结果.【详解】若双曲线方程为,则由离心率为得,因为点在上，所以，若双曲线方程为,则由离心率为得,因为点在上，所以舍综上选C.【点睛】本题考查双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，结合条件可得结果.【详解】因为，所以，即，选B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知数列满足，则（ ）A. 1024B. 2048C. 1023D. 2047【答案】C【解析】【分析】根据叠加法求结果.【详解】因为，所以，因此，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象.【详解】由f（x）的图象判断出f（x）在区间（，0）上递增；在（0，+）上先增再减再增在区间（，0）上f（x）0，在（0，+）上先有f（x）0再有f（x）0再有f（x）0故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题.11.已知函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】2【解析】【分析】由y=loga（x+3）-1经过的定点为（-2，-1）可得2m+n=4，且mn0，于是m0，n0再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【详解】由y=loga（x+3）-1经过的定点为（-2，-1）于是-2m-n+4=0，得2m+n=4，且mn0，于是m0，n0由2m+n=4可得 则 当且仅当m=1，n=2时等号成立，即的最小值为。故応B.【点睛】本题考查了函数图象过定点、基本不等式，考查了计算能力，属于基础题12.已知，若对，使得成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果【详解】因为，所以,(3舍去)从而即时最小值，因此，使得成立，的最小值，因为在上单调递减，所以的最小值为，因此，选A.【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“，”的否定是_【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定求解.【详解】命题“，”的否定是，【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.14.的周长等于，则其外接圆直径等于_【答案】3【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知，则_【答案】【解析】试题分析：设，则，所以，所以.考点：导数的计算.16.已知点是抛物线上的动点，点在轴上射影是，点，则的最小值是_【答案】【解析】由抛物线的几何定义，可知，所以当三点共线时，值最小，所以最小值为。点睛：本题考查抛物线的定义的应用。利用定义得，通过图象观察得当三点共线时，值最小，所以最小值为。抛物线的小题形式，学会通过图象，利用几何定义解题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知命题：，命题：点在圆的内部.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）为真命题，则恒成立，即可.（2）或为假，则均为假，可先求均为真时的范围，再分别求其对应的补集，在取交集.【详解】(1)因为对任意恒成立，则，解得.所以实数的取值范围是.(2)因为“或”为假命题，所以为假命题，为假命题当为真命题时，解得，所以为假命题时或.由(1)知，为假命题时，从而,解得或.所以实数的取值范围为【点睛】本题主要考查给出命题的真假求参数方程问题，若命题为假命题时，一般可先将其当作真命题求出参数范围，再求补集.体现了正难则反的思想。18.某中学是走读中学，为了让学生有效利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便学生在自习室自主学习，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高二某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率.下面的临界值表供参考：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】（1）不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）【解析】【分析】（1）代入公式得，再对照数据作判断，（2）先根据分层抽样得样本，再根据枚举法得总事件数以及所求事件包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）由列联表，计算的观测值为，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取个，记为、；从第二次月考数学非优良成绩中抽取个，记为、；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是、共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有：、共4个，故所求的概率为.【点睛】本题考查卡方公式、分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.19. （本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积【答案】（），（）【解析】（）由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得 4分联立方程组解得， 6分（）由题意得，即， 8分当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积 12分20.已知是公差为正数的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项，且，.（1）求，的通项公式.（2）令，求的项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设公差为，公比为，列出关于，不等式组，解之，再写出数列、的通项公式；（2）数列是由一个等比数列和一个等差数列构成的一个差比数列，求其前项和要用错位相减法试题解析：（1）设公差为，公比为，依题意可得：解得：，或（舍去）（2），又两式作差可得：，考点：1、等差、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式；3、数列求和【方法点睛】利用错位相减法求数列前项和的一般步骤：第一步：将数列写成两个数列的积的形式，其中为等差数列，为等比数列；第二步：写出数列的前项的和；第三步：将的两边都乘以得；第四步：两式错位相减得；第五步：两式两边都除以得本题主要考查了等差等比数列的通项公式，以及错位相减法求和法的应用，同时考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题21.已知函数的图像与直线相切.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）b=1（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，利用，得到切点坐标，代入求b的值；（2）由，设（x0），利用导函数求出g（x）在x，e上的最大值即可求实数a的取值范围【详解】（1），在上为增函数，且切点的坐标为，将代入得1+b=2，b=1(2)由，令，时，g(x)为减函数，时，g(x)为增函数，显然,.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题当ag（x）恒成立时，只需要求g（x）的最大值；当ah（x）恒成立时，只需要求g（x）的最小值，这种转化是解题的关键.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由可以求出，将点代入椭圆方程可以解出与的值，即可得出答案；（2）当直线与轴垂直时，可以求出两点的坐标，即可求出的面积，经计算不符合题意；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用弦长公式可以表示出，利用点到直线的距离公式