普通高等学校招生全国统一考试数学理（福建卷解析）

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(福建卷，解析版)1 .选题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。 每个小题目给出的4个选项中，只有1个满足题目的要求。1 .函数最小值是A.-1 B. C. D.11 .【回答】: b分析2222222222222222222262 .已知全集U=R，集合，等于a. x0x2 b x 02 d x 0或x22 .【回答】: a分析可计算或因此选择a3 .如果等差数列的前n项之和为且=6、=4，则公差d相等A.1 B C.- 2 D 33 .【回答】: c解析然后.因此选择c4 .等于A. B. 2 C. -2 D. 24 .【回答】: d故选d5 .在以下函数中，“任意，(0)，当时有是的，先生A.=B.=C .=D5 .【回答】: a由于分析问题得到的函数必须单调递减，所以根据选择可以正确得到a。6 .读取右图所示的程序框图，执行相应的程序，输出的结果如下A.2 B .4 C. 8 D .166 .【回答】: c从分析算法的程序图可知，由于直到n=4为止不执行“否”命令，因此选择n=24=87 .如果m、n是平面内的两条不同直线，平面内的两条交叉直线，/之一是足够的，不必要的条件是A.m /且l /B. m /l且n /lC. m /且n /D. m /且n /l7 .【回答】: b如是就可以得到，如是就存在。8 .发现某运动员每次投篮射门的概率为40%。 目前采用随机仿真方法估计该运动成员投篮3次时正好有2次命中的概率：首先计算从计算机到0到9之间取整数值的随机数将1，2，3，4指定为命中，将5，6，7，8，9，0指定为错误，此外，将三个随机数作为一组，将投篮结果显示三次。 通过随机仿真生成了20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此，这位选手投篮三次正好打中两次的概率A.0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.158 .【回答】: b解析根据随机数推定投篮命中的概率，投篮命中为3次，2次为0.25，因此选择了b9 .将a、b、c设为在同一平面内具有相同起点任意3个非零矢量，满足a和b的共线AC-a -卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653a .以a、b为两边三角形的面积b、b、c为两边的三角形的面积以c.a、b为邻接边平行四边形的面积d为b、以c为邻接边的平行四边形的面积9 .【回答】: c分析在问题的意义上可以选择c10 .函数的图像关于直线是对称的。 这推测到对于任何非零实数a、b、c、m、n、p，解集关于x的方程是不可能的A. B C D10 .【回答】: d解析本题通过特例法解决简洁性，分别代入方程式求代，求检查即得第二卷(非选择题共计100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 把答案填入问答卡的适当位置。11.(I是虚数单位)的情况下： _ _ _ _ _ _ _ _11 .【回答】: 2分析：出于理由。12 .某学校开展了“爱海西，爱故乡”的照片比赛，9名评委给参加作品a的分数如茎叶图所示。 评分员在去除最高点和最低点后，将平均分为91分，评分员发现在讨论中看不到数字(茎叶图中的x )。 如果记分卡计算无误，数字应该是_12 .【回答】: 1分析：观察茎叶图，知道有。13 .抛物线的焦点f作为倾斜角的直线与a、b两点相交，线段AB的长度为8时，如下： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _13 .【回答】: 2解析：从问题的意义上来说，超越焦点的直线方程式有联立，而且。14 .如果曲线具有垂直于轴的切线，则实数可取值的范围为_14 .回答：分析：从问题的含义可以看出，由于有垂直于轴的切线所以。15.5个同学围着一圈按顺序数，规定第一个同学报告的数量是1，第二个同学报告的数量也是1，然后所有同学报告的数量是前两个同学报告的数量之和如报数为3的倍数，报数的同学必须鼓掌知道甲班同学的最初报告数，5个同学按顺序报告第100人时，甲班同学鼓掌的次数是_15 .【回答】: 5分析：由于题意可以分别为第一次报告数、第二次报告数、第二次报告数，因此有时报告第100数时，甲先生可以鼓掌5次。三题16.(13分钟)从集合的所有非缝隙中聚集起来，尽可能抽出一个。(1)记述性质r :集合中所有要素的和为10，求取出的非空集合满足性质r的概率(2)记述中提取的非空集合的要素数是求得的分布列和数学期待e16、解： (1)将记取出的非空集合满足性质r作为事件a基本事件总数n=31事件a中包含的基本事件为 1，4，5 、 2，3，5 、 1，2，3，4 事件a中包含的基本事件数m=3所以呢(II )根据问题，所有可能的值为1、2、3、4、5再见，分布情况如下：12345p是E 2 3 4 517(13分钟)如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形MD=NB=1，e是BC的中点(1)求异面直线NE和AM所成角的馀弦值(2)线段AN上是存在点s还是ES平面AMN？ 如果存在，求线段AS的长度如果不存在，请说明理由17 .分析： (1)如图所示，将d作为坐标原点，制作空间直角坐标据题意。，与异面直线所成角的馀弦值为. a(2)假设线段上存在点，则为平面。，可设定再见从平面上，立即得到所以，此时经过检查，当时是平面所以线段上存在点，成为平面，此时18、(本小题为13分满分)如图所示，某市计划在长8km的道路OP的一侧建设运动课程，课程的前面部分是曲线段OSM，此曲线段是函数在y=asinx (A0，0 ) x 0，4 的图像中，图像的最高点是s (3，2 )课程的后半部分是折断的线段MNP，保证参加比赛运动员的安全性限于MNP=120(I )求出a、的值和m、p两点间的距离(II )如何设计折线路径MNP最长？18 .本小题主要研究三角函数的图像和性质、求解三角形等基础知识，应用运算求解能力和数学知识分析解决实际问题的能力，研究化归与变革思想、数形结合思想解法1(I )根据题意，有，或。是的，先生再见(ii)mnp时MNP=120，MP=5设PMN=，060从签名定理得到，事故在060、30情况下，折线路径MNP最长即，在将PMN设计为30的情况下，折线段MNP最长解法2 :(I )同解法1(ii)mnp中873mnp=120，MP=5根据馀弦定理MNP=即，即事故也就是说只有当时，折线的路是MNP最长的注：本题第(ii )的解答及其表现方法并不唯一，除了理解解法1、解法2给出的2种设计方式外，还可以设计为； 点n线段MP垂直二等分线等19、(本小题为13分满分)已知a、b分别是曲线C: =1(y0，a0 )和x轴的左、右两个交点，直线穿过点b，垂直于轴，s向上与点b不同点是将AS交叉曲线c连接到点t的点.(1)如果曲线c为半圆，点t为圆弧的三等分点，则试着求出点s的坐标(II )如图所示，点m是以SB为直径的圆与线段TB的交点，如果存在以o、m、s三点为共通线的问题，请求a的值，如果不存在，请说明理由。19 .【解析】解法1 :(I )曲线c为半圆时，如图所示，以点t为圆弧三等分点BOT=60或120 .如果BOT=60，则SAE=30。另外，因为AB=2，所以在SAE中(BOT=120时，同样能够求出点s的坐标的是(ii )假设存在，使o、m、s三点成为共通线点m位于以SB为直线的圆上显然，存在直线AS的斜率k，k0可以是直线AS的方程由留下缺点正因为如此即，即由得由，即可经检查，当时有o、m、s三点共线。 所以有o、m、s三点共线解法：(I )同解法1(ii )假设a存在，o、m、s三点成为共同线点m位于以SO为直径的圆上显然，存在直线AS的斜率k，K0可以是直线AS的方程由放点，有事故从直线SM方程o、s、m三点共线在o处于直线SM上时，即所以存在，把o，m，s这三点作为共同线20、(本小题满分14分)已知函数(1)试用中包含的代数式表示b，求出的单调的区间(2)指令、函数取极值，仔细观察点m (，)、n (，)、p ()、曲线在点p的切线和线段MP的位置变化趋势，说明以下问题(I )对于任意m (，(x )，线段MP和曲线f(x )都与m，p有不同的共同点，确定t的最小值，证明你的结论(II )存在点Q(n，f(n ) )时，请直接写入m的可取值范围，以确保线段PQ和曲线f(x )存在与p，q不同的共同点(无需给出求解过程)。20 .解法：(I )根据题意由来因此令a1时x变化时，和的变化如下表所示x-是单调递增单调递减单调递增由此，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为。当时，由于此时常数成立，只在那里，因此函数的单调增加区间为r当时同样，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为摘要：当时，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为当时，函数的单调增加区间为r当时，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为(ii )根据得令由于从式(1)得到的增加区间为和，单调减少区间为，所以函数取极值，因而为M()N ()。观察到的图像有以下现象m从-1(不含-1)变为3时，线段MP的斜率与曲线的点p处的切线斜率之差Kmp-的值从正向负连续变化。线段MP与曲线是否h不同，p的共同点与Kmp-的m正负有密切的关系与Kmp-=0对应的位置可能是临界点，因此满足Kmp-的m是求出的t的最小值，表示以下证明确定的t的最小值。 曲线点处的切线斜率线段MP斜率KmpKmp-=0时，解线性MP方程令当时，由于可以判断为上面只有一个零点，函数向上单调地增加，向上单调地减少，所以向上没有零点，即线段MP和曲线与m、p不同，没有共同点。当时这就是为什么存在的原因即，在MP和曲线中存在与m、p不同共同点的情况下由此，t最小值为2(2)如(1)的观察那样，可获得m的值的范围为解法2 :(1)同解法1(二)由得、令、得由于(1)得到的单调增加区间为和，单调减少区间为，因此函数在那里取极值。 M().N ()(I )直线MP的方程式为：由得到线段MP和曲线与m不同，p的共同点与上述方程式的(-1，m )中有根的函数等价有零分函数是三次函数，最多有三个零点，两个极值点另外，因此，上方具有零点等价于其中具有极大值点和极小值点，即内部具有两个实数根.等于即时另外，m可取值的范围为(2、3 ) .因此，满足问题设定条件r的最小值为2 .2