第7章常微分方程

常需要求解常微分方程的初值问题的数值解法，第7章，介绍，实际问题中发电机转子运动方程等微分方程。只有简单和典型的微分方程才能找到解析解，但实际问题的微分方程往往找不到解析解。常微分方程：-(1)，-一阶常微分方程，-3)，(1)，(2)表达式是初值问题，(3)表达式是边值问题，-4)当然，在实际应用中，常微分方程集33333本课程重点探讨了一阶常微分方程(1)的数值解法。首先，只要f(x，y)连续且y满足Lipschitz条件，即不与x，y关联的常量l同时为a，b中定义的y1(x)和y2(x)设置，就存在超值问题(1)的唯一解决方案，(通常使用等距离节点)，常微分方程数值解法公式推导，初值问题的数值解法是步进法，即从已知初值y0开始，通过特定计算得出y1，然后从y1或y0和y1求出y2，计算出yk 1，单个步骤：计算出yk 1，仅使用yk，多级：yk.常微分方程数值解法公式的主要推导方法，1，泰勒展开的解决方案思想：泰勒级数，2，将微分展开为差分解法：当点的导数被阶数取代(例如，前差分)，微分方程的初值问题将近似数变更为等号，精确解变成近似解，结果，3，这个数值公式称为欧拉公式。7.1 Euler方法，一种，Euler格式：Euler公式几何意义，通过初始点的线近似表示解决方案曲线的Euler折线方法或矩形方法。1，显式Euler公式，Euler方法的局部剪切错误：Euler方法具有主精度。局部截断误差和顺序，2，隐式Euler格式，未知yk 1因为不能同时出现在等式的两侧而直接得到，所以称为隐式Euler公式，前者称为显式Euler公式。、通常明确计算初始值，然后反复求解。隐式欧拉方法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有一阶精度。两级Euler格式(中点公式)，假设两级Euler格式具有二级精度。需要两个初始值y0和y1(称为两阶段方法)来启动递归过程。3，梯形公式，-显式和隐式两种算法的均值，注：存在局部截断误差。换句话说，梯形公式比欧拉方法具有更好的二次精度。但是，此公式是隐式公式，计算时必须使用迭代方法，不能轻易解决。欧拉方法的改进，右积分用梯形公式计算。也就是说，计算公式、梯形格式算法计算步骤：来源首先计算为(1)。以下(2)式重复，结果，4，平均形式表示的改进欧拉方法(预测-修正方法)，此方法称为预测-修正方法，是显式算法。注：证明了算法具有二次精度，是比隐式梯形公式更简单的迭代形式(只重复一次)。脚标准I，简单，低精度，最佳稳定性，低精度，大计算，高精度，高精度，显式，更多初始值会影响精度的其他方法比较，如，6.2 longge-kutta方法，一，tayyta，初值问题，泰勒展开式，理论上，只要y(x)有随机阶导数，泰勒展开法就可以构造任意阶yk 1公式。但是计算这些微分很复杂，所以这个方法实际上不能用于求解初值问题。，初值问题，第二，runge-kutta方法的基本思路是：(积分平均值定理)，R-K方法的基本思路：用几个不同点的加权平均值(线性组合)代替精确值来构造近似公式。将近似公式与解决方案的泰勒展开表达式进行比较，使前面的几个项相等，从而使近似公式达到常数。这样，longe-kutta方法保留了泰勒级数展开方法的上层部分截断误差，并防止了上层微分的计算。我们来分析欧拉方法和预测-校正方法。推广，这种称为Runge-Kutta方法的一步方法简单地用R-K公式记录。Ki是特定点处的坡率或特定点处的f(x，y)的值。第三阶和第二阶runge-kutta方法，目标：创建高精度单步递归格式。单步推式方法的基本思想是从(xi，yi)点开始，以斜率沿直线到达(Xi 1，yi 1)点。欧拉方法及其各种变形可以达到的最高精度是二次。斜率应该取K1K2的平均值吗？步骤必须是h吗？以I表示的脚，首先，如果想要确定二次精度的算法格式的系数1，2，p，即，假设步骤1:将K2从(xi，yi)点展开为泰勒，步骤23360将K2替换为i 1表达式而得到的步骤3360比较了I 1和y(xi 1)的泰勒。这里未知的是方程式。3，2，有无限数量的解决方案。满足常识的所有形式统称为二次龙球-库塔形式。是改进的欧拉方法。Q:为了更高的准确度，应该如何进一步宣传？其中I (I=1，m)，I (I=2，m)和ij (I=2，m；J=1，i1)都是待定系数，确定这些系数的步骤与以前类似。该解法不唯一。利用第四次古典-库塔法、第四次古典-库塔法公式、第四次龙格-库塔法、第四次f函数值的线性组合，进行第四次龙格-库塔法。经典长格-库塔法公式是四次精度，建议迈出一大步。4收敛和稳定性/* convergencandstability */，收敛/*Convergency*/例如，研究初始值问题的Euler显式形式的收敛。解法：此问题的正确解法是Euler公式为固定x=xi=ih，是，稳定性/*稳定性*/。示例：查看间隔0，0.5的初始值问题的解决方案。使用Euler显示、隐式格式和增强的Euler格式分别计算数值解决方案。1 . 00002 . 00004 . 00004 . 0008 . 0001 . 60001013 . 200101，1 . 0002 . 500102 . 50016 . 2500102 . 565203 . 90631039 . 7656104，1 . 0002，示例：隐式长格-库塔方法，显式1-4阶方法的绝对稳定区域为。其中，二次方法的绝对稳定区域无条件稳定，需要熟练的内容。欧