四川百校高三数学模拟冲刺卷文

四川省百校2019届高三数学模拟冲刺卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【详解】集合Ax|log2x1x|0x2，B2，1，0，1，2，AB1故选：A【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限.故答案为：D.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了3.从这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】基本事件总数n6，它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，由此能求出它们之和为偶数的概率【详解】从1，2，3，4这4个数字中随机选择两个不同的数字，基本事件总数n6，它们之和为偶数包含的基本事件个数m2，它们之和为偶数的概率为p故选：B【点睛】本题概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.4.已知向量，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值【详解】向量（2，1），（1，），则（4，1+2），（3，2），又（）（），所以4（2）3（1+2）0，解得故选：D【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题5.若函数的大致图像如图所示，则的解析式可以是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象的对称性，单调性，特殊的函数值，等利用排除法可得【详解】当x0时，f（x），排除A，B（A中的f（x）0）；当x0时f（x）0，而选项B中x0时，f（x）0，选项D中f（x）0，排除B，D；故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性、符号，极限等，考查数形结合思想利用特殊点，特殊的取值是快速解决这类问题的关键本题是一道中档题6.函数在区间上至少存在个不同的零点，则正整数的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】函数f（x）sin（x）在区间0，2上至少存在5个不同的零点，,根据题意得到只需要.最小整数为3.故选：B【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若的面积为，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p即可【详解】抛物线y22px的焦点为F，点P为抛物线上一点，过P作抛物线的准线的垂线，垂足是E，若EPF60，由抛物线的定义可得：|PF|PE|，PEF是正三角形，所以|PE|=2p，PEF的面积为16，16得p4，故选：C【点睛】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。8.设实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最小值即可【详解】先根据实数x，y满足，画出可行域，A（2，0），B（0，3），C（2，0），当直线z7x+3y1过点A时，目标函数取得最小值，7x+3y1最小是：15，故选：A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，则该四面体在平面内的投影为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用空间坐标系的应用和射影的应用求出结果【详解】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，2，0），B（0，2，1），C（1，0，1），则建立空间直角坐标系：如图所示：所以该四面体在平面yoz平面内的射影为矩形，其中AC的射影为实线，OB为虚线故选：D【点睛】本题考查的知识要点：空间直角坐标系的应用，射影的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型10.已知为双曲线右支上任意一点，与关于轴对称，为双曲线的左、右焦点，则（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】设出P的坐标，求出Q坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可【详解】P为双曲线x2y21右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1（，0），F2（，0）为双曲线的左，右焦点，设P（t，m），则Q（t，m），根据点P在双曲线上得到：t2m21，则（t，m）（t，-m）t2m22121故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力11.已知球的半径为，矩形的顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为，则此矩形的最大面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出BD4，当ABAD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD22AB248，由此能求出此矩形的最大面积【详解】球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，2，BD4，由不等式性质得到得到：当ABAD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2DB248，解得AB2AD224，此矩形的最大面积SAB224故选：C【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12.已知正数满足，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令axy，bx+y，（xy0），由此a2+b2ab+1可化为（xy）2+（x+y）2（xy）（x+y）+1，即x2+3y21（xy），然后再令xcos，结合三角函数性质可求.【详解】令axy，bx+y，（xy0），则a2+b2ab+1化为（xy）2+（x+y）2（xy）（x+y）+1，即x2+3y21（xy），令xcos，xy0，cos0，0，则z（）a+2b（1）（xy）+2（x+y）（1）x（3）y，（1）cos（3）2sin（），0，当sin（）1时有最大值2，故选：A【点睛】本题考查了不等式的基本性质、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.成都某市区三所学校进行高三联考后，准备用分层抽样的方法从所有参考的高三理科学生中抽取容量为的样本进行成绩分析，已知三所学校参考的理科学生分别有人，人，人，则应从校中抽取的学生人数为_【答案】50【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】A，B，C三所学校参考的理科学生分别有300人，400人，500人，应从C校中抽取的学生人数为12050，故答案为：50【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础14.在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于_【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cos的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2的值【详解】角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，x，r1，cos，cos22cos212（）21故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题15.已知函数在点处的切线方程为，则_【答案】3【解析】【分析】根据曲线yf（x）在x=1点处的切线方程是y4x-2，建立关于a和b的方程组，解之即可；【详解】因为：函数f（x）x2+alnx+b，所以f（x）2x（x0），又f（x）在x1处的切线方程为y4x2，所以2+a4解得：a2，f（1）422，可得21+2ln1+bb1，所以a+b3故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，注意切点既在曲线上又在切线上，计算能力，属于中档题利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.16.在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于点，若，则_ 【答案】2【解析】【分析】根据点点的距离公式可得y1212a1，y2212a2，根据对数的运算性质即可得到y1y21，可得2.【详解】因为r1|1a1|，则y1212a1，同理可得y2212a2，又因为，则（12a1）（12a2）1，即2a1a2a1+a2，则2，故答案为：2.【点睛】这个题目考查了圆的几何性质的应用，属于基础题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项等比数列的前项和为，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）bnan2+log2an2nn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，前n项和为Sn，a10是8a2和6a6的等差中项，可得2a108a2+6a6，即有2a1q98a1q+6a1q5，即为q83q440，解得q，S830+15，可得30+15，解得a1，可得an（）n；（2）bnan2+log2an2nn，数列bn的前n项和为（2+4+2n）（1+2+n）n（n+1）2n+12（n2+n）【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题18.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进性试销售，其单价（元）与销量（个）相关数据如下表：（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性相关方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：.参考数据：.【答案】（1）；（2）10【解析】【分析】（1）由表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x为何值时函数值最大【详解】（1）由表中数据，计算（8.5+9+9.5+10+10.5）9.5，（12+11+9+7+6）9，则3.2，所以y关于x的线性相关方程为y3.2x+39.4；（2）设定价为x元，则利润函数为y（3.2x+39.4）（x7.7），其中x7.7；则y3.2x2+64.04x303.38，所以x10（元），为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值19.如图，在三棱柱中，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD，由中位线定理可得ODBC1，故而BC1平面A1CD；（2）根据棱锥和棱柱的体积公式即可得出结论【详解】（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，CC1AA1，CC1AA1，四边形AA1C1C是平行四边形，O是AC1的中点，又D是AB的中点，ODBC1，又OD平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（2）设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1ABC的体积VSABCh，又VVV，VVSABCh，V，CC1BB1，CC1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，CC1平面ABB1A1，VV，SS，VV，三棱锥CAA1E的体积与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题20.已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，当时，求直线的斜率.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据点与点的距离，点到直线的距离，再根据点P在椭圆上；（2）设直线PA的方程为ynk（xm），则直线PB的方程为ynk（xm），分别与椭圆联立，求出点A，B的横坐标，根据斜率公式化简整理即可求出【详解】（1）椭圆C：1的左，右焦点为F1，F2，则F2（1，0），P（m，n）在椭圆C上，1，d4m，|PF2|m2|4m|，2（2）0m2，则n0，则直线PA，PB的斜率一定存在，设直线PA的方程为ynk（xm），则直线PB的方程为ynk（xm），由，消y可得（3+4k2）8k（nkm）x+4（nkm）2120，mxA，即xA，同理可得xB，yAyBk（xAm）+n+k（xBm）nk（xA+xB2m）k（2m），xAxB，1，3m24n212，kABm，当m1，n0时，kAB【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数.（1）当时，比较与大小，并证明；（2）若存在两个极值点，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)将a=2代入表达式，对函数求导得到函数的单调性，函数零点，进而得到结果；（2）对函数求导得到是方程的两根，由韦达定理得，又因为进而得到结果.【详解】（1）当时，则所以函数在上单调递减，且所以当时，；当时， 当时，.（2）函数，则当时，在上恒成立，即在不存在极值，与题意不符， 所以又是方程的两根，不妨设， 由